專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)(九) [第9講　數(shù)列的概念與表示、等差數(shù)列與等比數(shù)列] (時(shí)間：45分鐘) 　　　　 　　 　　　 　　 　　　　　 　 1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝2an－1，那么數(shù)列{an－1}(　　) A．是等差數(shù)列 B．是等比數(shù)列 C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列 2．在等差數(shù)列{an}中，若a1＋a5＋a9＝，則tan(a4＋a6)＝(　　) A. B. C．1 D．－1 3．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a5＝13，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的公差等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 4．在數(shù)列{an}中，若a1＝2，且對(duì)任意的正整數(shù)p，q都有ap＋q＝ap·aq，則a8的值為(　　) A．256 B．128 C．64 D．32 5．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6＝(　　) A．5 B．7 C．6 D．4 6．在等差數(shù)列{an}中，已知公差d＝2，且a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2＝(　　) A．－4 B．－6 C．－8 D．－10 7．函數(shù)f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)且為奇函數(shù)，數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a3＞0，則f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值(　　) A．恒為正數(shù) B．恒為負(fù)數(shù) C．恒為0 D．可正可負(fù) 8．已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝則a2 012等于(　　) A. B. C. D. 9．已知遞增的等比數(shù)列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，則＝________． 10．觀察下列等式 1＝1， 2＋3＋4＝9， 3＋4＋5＋6＋7＝25， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49， …… 照此規(guī)律，第n個(gè)等式為_(kāi)_________________． 11．若關(guān)于x的方程x2－x＋a＝0與x2－x＋b＝0的四個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則a＋b＝________． 12．定義一種運(yùn)算：(1at－1at－2…a2a1a0)＝2t＋at－1×2t－1＋at－2×2t－2＋…＋a1×2＋a0，其中ak∈{0，1}(k＝0，1，2，…，t－1)，給定x1＝(1at－1at－2…a2a1a0)，構(gòu)造無(wú)窮數(shù)列{xk}：x2＝(1a0at－1at－2…a2a1)，x3＝(1a1a0at－1at－2…a3a2)，x4＝(1a2a1a0at－1at－2…a4a3)，…. (1)若x1＝30，則x4＝________；(用數(shù)字作答) (2)若x1＝22m＋3＋22m＋2＋2m＋1＋1(m∈N*)，則滿足xk＝x1(k≥2，k∈N*)的k的最小值為_(kāi)_______．(用含m的式子作答) 13．在數(shù)列{an}中，a1＝，點(diǎn)(an，an＋1)在直線y＝x＋上． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)記bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 14．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)． (1)寫(xiě)出a2，a3的值(只寫(xiě)結(jié)果)，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝＋＋＋…＋，求bn的最大值． 15．已知數(shù)列{an}滿足：a1＋a2＋a3＋…＋an＝n－an(n＝1，2，3，…)， (1)求證：數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列； (2)令bn＝(2－n)(an－1)(n＝1，2，3，…)，如果對(duì)任意n∈N*，都有bn＋t≤t2，求實(shí)數(shù)t的取值范圍． 專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)(九) 【基礎(chǔ)演練】 1．B　[解析] 由an＋1＝2an－1得an＋1－1＝2(an－1)，而a1－1＝2≠0，所以＝2.故選B. 2．A　[解析] 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a1＋a5＋a9＝3a5，a4＋a6＝2a5，所以a4＋a6＝(a1＋a5＋a9)＝×＝， 所以tan(a4＋a6)＝tan＝.故選A. 3．B　[解析] 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍1，a2，a5成等比數(shù)列，所以a＝a1a5，則(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，得a1＝①. 又a1＋a2＋a5＝3a1＋5d＝13②，由①②解得d＝2.故選B. 4．A　[解析] 由ap＋q＝ap·aq，令p＝n，q＝1，則an＋1＝an·a1，即＝2，所以{an}是以2為公比的等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，故a8＝2×27＝28＝256. 【提升訓(xùn)練】 5．A　[解析] 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比數(shù)列，又等比數(shù)列{an}中各項(xiàng)均為正數(shù)，所以a4a5a6＝＝5. 6．B　[解析] 由題意，a＝a1a4，則(a2＋d)2＝(a2－d)(a2＋2d)，即(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得a2＝－6.故選B. 7．A　[解析] f(0)＝0，a3＞0，f(a3)＞f(0)＝0，又a1＋a5＝2a3＞0，所以a1＞－a5即f(a1)＞f(－a5)，于是f(a1)＋f(a5)＞0. 8．C　[解析] 當(dāng)a1＝時(shí)，a2＝2×－1＝，a3＝2×－1＝，a4＝2×＝，a5＝2×＝.所以數(shù)列{an}的周期為4，而＝503，所以a2 012＝a4＝.故選C. 9.　[解析] 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由條件a3·a7＝a2·a8＝2，又a2＋a8＝3，且{an}是遞增數(shù)列，知a2<a8且q>0，解得a2＝1，a8＝2，所以q6＝2，故＝q3＝. 10．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 [解析] 依題意，等式的第一項(xiàng)依次為1，2，3，…，由此知等式的第n項(xiàng)為n；最后一項(xiàng)為1，4，7，10，…，由此知最后一項(xiàng)為3n－2.于是，第n個(gè)等式為n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.故填n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2. 11.　[解析] 設(shè)兩個(gè)方程的根分別為x1、x4和x2、x3.因?yàn)閤1＋x4＝x2＋x3＝1，所以x1＝，x4＝，從而x2＝，x3＝.則a＝x1x4＝，b＝x2x3＝，或a＝，b＝.于是a＋b＝＋＝. 12．(1)29　(2)2m＋4　[解析] (1)因?yàn)閤1＝2t＋at－12t－1＋at－22t－2＋…＋a1×2＋a0＝30， 又因?yàn)?4＋1×23＋1×22＋1×2＋0＝30， 所以一定有t＝4，a3＝1，a2＝1，a1＝1，a0＝0. 因此，x4＝24＋a223＋a122＋a02＋a3＝16＋1×23＋1×22＋0×2＋1＝29. (2)x1＝(1100…00,\s\do4(m個(gè)0))100…00,\s\do4(m個(gè)0))1) x2＝(11100…00,\s\do4(m個(gè)0))100…00,\s\do4(m個(gè)0))) …… xm＋2＝(100…00,\s\do4(m個(gè)0))1100…00,\s\do4(m個(gè)0))1) xm＋3＝(1100…00,\s\do4(m個(gè)0))1100…00,\s\do4(m個(gè)0))) …… x2m＋3＝(100…00,\s\do4(m個(gè)0))100…00,\s\do4(m個(gè)0))11) x2m＋4＝(1100…00,\s\do4(m個(gè)0))100…00,\s\do4(m個(gè)0))1)＝x1， 所以滿足xk＝x1的k的最小值為2m＋4. 13．解：(1)由已知得an＋1＝an＋，即an＋1－an＝. 所以數(shù)列{an}是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列， 即an＝＋(n－1)＝. (2)由(1)得bn＝＝，即bn＝4－， 所以Tn＝4＝41－＝. 14．解：(1)因?yàn)閍1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)， 所以a2＝6，a3＝12. 當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝2n，an－1－an－2＝2(n－1)，…，a3－a2＝2×3，a2－a1＝2×2， 所以an－a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]， 即an＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2·＝n(n＋1)． 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1×(1＋1)＝2也滿足上式． 于是數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n(n＋1)． (2)bn＝＋＋…＋＝＋ ＋…＋ ＝－＋－＋…＋－ ＝－＝＝. 令f(x)＝2x＋(x≥1)，則f′(x)＝2－， 當(dāng)x≥1時(shí)，f′(x)>0恒成立， 所以f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，故當(dāng)x＝1時(shí)， f(x)min＝f(1)＝3， 即當(dāng)n＝1時(shí)，(bn)max＝. 15．解：(1)證明：由題可知：a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝n－an①，a1＋a2＋a3＋…＋an＋an＋1＝n＋1－an＋1②， ②－①可得2an＋1－an＝1， 即an＋1－1＝(an－1)，又a1－1＝－， 所以數(shù)列{an－1}是以－為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)可得，an＝1－，bn＝， 由bn＋1－bn＝－＝＝>0可得n<3， 由bn＋1－bn<0可得n>3， 所以b1<b2<b3＝b4>b5>…>bn>…，故bn有最大值b3＝b4＝， 所以，對(duì)任意n∈N*，有bn≤， 如果對(duì)任意n∈N*，都有bn＋t≤t2，即bn≤t2－t成立， 則(bn)max≤t2－t，故有≤t2－t， 解得t≥或t≤－， 所以，實(shí)數(shù)t的取值范圍是∪.