專題限時集訓(xùn)(四)B [第4講　不等式與不等式選講、簡單的線性規(guī)劃] (時間：30分鐘) 1．已知關(guān)于x的不等式|2x－m|≤1的整數(shù)解有且僅有一個值為2，則整數(shù)m的值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 2．某汽車運輸公司，購買了一批豪華大客車投入運營，據(jù)市場分析每輛客車運營的總利潤y(單位：10萬元)與運營年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為y＝－(x－6)2＋11(x∈N*)，則要使每輛客車運營的年平均利潤最大，每輛客車的運營年限為(　　) A．3年 B．4年 C．5年 D．6年 3．已知x，y滿足不等式組則z＝2x＋y的最大值與最小值的比值為(　　) A. B. C. D．2 4．已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，則的最小值為(　　) A. B．4 C. D．2 5．若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則實數(shù)s的取值范圍是(　　) A．0<s≤2或s≥4 B．0<s≤2 C．s≥4 D．s≤2或s≥4 6．設(shè)x，y滿足約束條件則的取值范圍是(　　) A．[1，5] B．[2，6] C．[3，10] D．[3，11] 7．已知O為坐標(biāo)原點，A，B兩點的坐標(biāo)均滿足不等式組則tan∠AOB的最大值等于(　　) A. B. C. D. 8．某企業(yè)準(zhǔn)備投資A，B兩個項目建設(shè)，資金來源主要靠企業(yè)自籌和銀行貸款兩份資金構(gòu)成，具體情況如下表．投資A項目資金不超過160萬元，B項目不超過200萬元，預(yù)計建成后，自籌資金每份獲利12萬元，銀行貸款每份獲利10萬元，為獲得總利潤最大，那么兩份資金分別投入的份數(shù)是(　　) 單位：萬元 項目 自籌每份資金 銀行貸款每份資金 A 20 30 B 40 30 A.自籌資金4份，銀行貸款2份 B．自籌資金3份，銀行貸款3份 C．自籌資金2份，銀行貸款4份 D．自籌資金2份，銀行貸款2份 9．已知函數(shù)g(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時g(x)＝－ln(1－x)，函數(shù)f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，則實數(shù)x的取值范圍是(　　) A．(－2，1)　　　B．(－∞，－2)∪(1，)∪(，＋∞) C．(－1，2)　　　D．(－2，－)∪(－，0)∪(0，1) 10．已知a，b為非零實數(shù)，且a<b，則下列不等式 ①a2<b2；②ab2<a2b；③<；④<；⑤a3b2<a2b3.其中恒成立的序號是________． 11．已知M，N為平面區(qū)域內(nèi)的兩個動點，向量a＝(1，3)，則·a的最大值是________． 12．設(shè)x，y∈(0，2]，且xy＝2，且6－2x－y≥a(2－x)(4－y)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 專題限時集訓(xùn)(四)B 【基礎(chǔ)演練】 1．C　[解析] 由題得?又m為整數(shù)，故m＝4. 2．C　[解析] ＝－x＋＋12≤－2＋12，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝5時等號成立． 3. D　[解析] 不等式組表示的平面區(qū)域如圖，目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y，即y＝－2x＋z，z的幾何意義是直線y＝－2x＋z在y軸上的截距，則過點A時取得最小值，過點C時取得最大值．由y＝x，x＋y＝2解得A(1，1)，故目標(biāo)函數(shù)的最小值為3；由x＝2，y＝x得C(2，2)，故目標(biāo)函數(shù)的最大值為6.所以目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值的比為＝2. 4．C　[解析] 由2a＋b＝4，得4≥2，所以ab≤2，所以≥. 【提升訓(xùn)練】 5．A　[解析] 如圖，表示的區(qū)域是圖中的△OAB，其中A(2，0)，B(0，4)，由于區(qū)域y＋x≤s是直線x＋y＝s及其下方的區(qū)域，顯然當(dāng)s≥4時就是區(qū)域其圖形是三角形；當(dāng)2<s<4時，區(qū)域是一個四邊形；當(dāng)0<s≤2時，區(qū)域又是三角形；當(dāng)s＝0時區(qū)域變成了坐標(biāo)原點；當(dāng)s<0時，區(qū)域是空集．故實數(shù)s的取值范圍是0<s≤2或s≥4. 6．D　[解析] 變換求解目標(biāo)為1＋2·，令z＝，其幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到點M(－1，－1)連線的斜率．如圖，顯然z的值滿足kMA≤z≤kMB，kMA＝1，kMB＝5，故1≤z≤5，所以3≤≤11. 7.B　[解析] 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的△ABC.根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，在∠AOB為銳角的情況下，當(dāng)∠AOB最大時tan∠AOB最大．結(jié)合圖形，在點A，B位于圖中位置時∠AOB最大．由x－3y＋1＝0，x＋y－3＝0得A(2，1)，由x＝1，x＋y－3＝0得B(1，2)．所以tan∠xOA＝，tan∠xOB＝2，所以tan∠AOB＝tan(∠xOB－∠xOA)＝＝. 8．C　[解析] 設(shè)自籌資金x份，銀行貸款資金y份，由題意目標(biāo)函數(shù)z＝12x＋10y. 由于目標(biāo)函數(shù)直線的斜率為－，不等式組區(qū)域邊界的直線斜率為－，－，而－<－<－，所以目標(biāo)函數(shù)取得最大值的點一定是直線20x＋30y＝160，40x＋30y＝200的交點，解得交點坐標(biāo)為(2，4)，故當(dāng)x＝2，y＝4時，zmax＝64. 9．D　[解析] 當(dāng)x>0時，g(x)＝－g(－x)＝ln(1＋x)，而當(dāng)x＝0時，x3＝ln(1＋x)＝0，則根據(jù)y＝x3，y＝ln(1＋x)都是單調(diào)遞增的，可得函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(2－x2)>f(x)等價于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1.注意到函數(shù)的定義域，還應(yīng)該有2－x2≠0，x≠0，即x≠±，x≠0，所以實數(shù)x的取值范圍是(－2，－)∪(－，0)∪(0，1)．(注：本題極易忽視函數(shù)的定義域?qū)е洛e誤) 10．③⑤　[解析] a2<b2?(a＋b)(a－b)<0，在a<b時，這個不等式只有當(dāng)a＋b>0時才成立，已知不能保證，故①不恒成立； ab2<a2b?ab(b－a)<0，在a<b的情況下，只有ab<0時才成立，已知條件不具備，故②不恒成立； <?－<0?<0?<0?a－b<0?a<b，故③恒成立； <?<0?<0，在a<b時只有當(dāng)＜0才能成立，這個不等式不是恒成立的，故④不恒成立； a3b2<a2b3?a2b2(a－b)<0?a－b<0?a<b，故⑤恒成立．能夠恒成立的不等式的序號是③⑤. 11．40　[解析] 不等式組表示的平面區(qū)域如圖中的△ABC.設(shè)區(qū)域內(nèi)的點M(x1，y1)，N(x2，y2)，則·a＝(x2－x1，y2－y1)·(1，3)＝(x2＋3y2)－(x1＋3y1)，只有當(dāng)x2＋3y2最大且x1＋3y1最小時·a取得最大值．設(shè)z＝x＋3y，則目標(biāo)函數(shù)的最值與直線y＝－x＋在y軸上的截距成正比， 結(jié)合圖形，在點B處目標(biāo)函數(shù)取得最大值，在點A處目標(biāo)函數(shù)取得最小值．由3x－y－6＝0，x－y＋2＝0得B(4，6)；由x＝0，3x－y－6＝0得A(0，－6)．所以目標(biāo)函數(shù)的最大值zmax＝4＋3×6＝22，最小值zmin＝0＋3×(－6)＝－18，所以·a的最大值為22＋18＝40，此時點M，N分別位于圖中的點A，B. 12．(－∞，1]　[解析] 不等式6－2x－y≥a(2－x)(4－y)，即6－2x－y≥a(10－4x－2y)，令t＝2x＋y，即不等式6－t≥a(10－2t)，即(2a－1)t＋6－10a≥0恒成立．由于xy＝2，所以y＝≤2，x∈[1，2]，所以t＝2x＋，t′＝2－，當(dāng)x∈[1，2]時，t′≥0，所以函數(shù)t＝2x＋在[1，2]上單調(diào)遞增，所以t的取值范圍是[4，5]．設(shè)f(t)＝(2a－1)t＋6－10a，則f(t)≥0在區(qū)間[4，5]恒成立，因此只要f(4)≥0且f(5)≥0即可，即2－2a≥0且1≥0，解得a≤1，故實數(shù)a的取值范圍是(－∞，1]．