《(統(tǒng)考版)高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓15 選考系列(含解析)(文)-人教版高三數(shù)學試題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(統(tǒng)考版)高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓15 選考系列(含解析)(文)-人教版高三數(shù)學試題(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、專題限時集訓(十五) 選考系列
1.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程](2019·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為2ρcos θ+ρsin θ+11=0.
(1)求C和l的直角坐標方程;
(2)求C上的點到l距離的最小值.
[解] (1)因為-1<≤1,且x2+=+=1,所以C的直角坐標方程為x2+=1(x≠-1).
l的直角坐標方程為2x+y+11=0.
(2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(α為參數(shù),-π<α<π).
C上的點到l的距離為
=.
當α=-時,4cos+11
2、取得最小值7,故C上的點到l距離的最小值為.
[選修4-5:不等式選講](2020·全國卷Ⅲ)設(shè)a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.
(1)證明:ab+bc+ca<0;
(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,證明:max{a,b,c}≥.
[證明] (1)由題設(shè)可知,a,b,c均不為零,所以
ab+bc+ca=[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)]
=-(a2+b2+c2)
<0.
(2)不妨設(shè)max{a,b,c}=a,因為abc=1,a=-(b+c),
所以a>0,b<0,c<0.
由bc≤,可得abc≤,故a≥,
所以max{a,b,c}≥.
3、
2.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程] (2019·全國卷Ⅱ)在極坐標系中,O為極點,點M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲線C:ρ=4sin θ上,直線l過點A(4,0)且與OM垂直,垂足為P.
(1)當θ0=時,求ρ0及l(fā)的極坐標方程;
(2)當M在C上運動且P在線段OM上時,求P點軌跡的極坐標方程.
[解] (1)因為M(ρ0,θ0)在曲線C上,當θ0=時,
ρ0=4sin =2.
由已知得|OP|=|OA|cos =2.
設(shè)Q(ρ,θ)為l上除P外的任意一點.
在Rt△OPQ中,ρcos=|OP|=2.
經(jīng)檢驗,點P在曲線ρcos=2上.
所以,l的極坐標方程為ρcos
4、=2.
(2)設(shè)P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ.
因為P在線段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范圍是.
所以,P點軌跡的極坐標方程為ρ=4cos θ,θ∈.
[選修4-5:不等式選講](2019·全國卷Ⅱ)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).
(1)當a=1時,求不等式f(x)<0的解集;
(2)若x∈(-∞,1)時,f(x)<0,求a的取值范圍.
[解] (1)當a=1時,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).
當x<1時,f(x)=-2(x-1)2<0;當x≥1時,f(x)≥0.
所以,
5、不等式f(x)<0的解集為(-∞,1).
(2)因為f(a)=0,所以a≥1.
當a≥1,x∈(-∞,1)時,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0.
所以,a的取值范圍是[1,+∞).
3.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程] (2019·全國卷Ⅲ)如圖,在極坐標系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,π),弧,,所在圓的圓心分別是(1,0),,(1,π),曲線M1是弧,曲線M2是弧,曲線M3是弧.
(1)分別寫出M1,M2,M3的極坐標方程;
(2)曲線M由M1,M2,M3構(gòu)成,若點P在M上,且|OP|=,求P的極坐標.
[解] (1)由題設(shè)
6、可得,弧,,所在圓的極坐標方程分別為ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ.所以M1的極坐標方程為ρ=2cos θ,M2的極坐標方程為ρ=2sin θ,M3的極坐標方程為ρ=-2cos θ.
(2)設(shè)P(ρ,θ),由題設(shè)及(1)知:
若0≤θ≤,則2cos θ=,解得θ=;
若≤θ≤,則2sin θ=,解得θ=或θ=;
若≤θ≤π,則-2cos θ=,解得θ=.
綜上,P的極坐標為或或或.
[選修4-5:不等式選講](2019·全國卷Ⅲ)設(shè)x,y,z∈R,且x+y+z=1.
(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;
(2)若(x-2)2+(y-
7、1)2+(z-a)2≥成立,證明:a≤-3或a≥-1.
[解] (1)由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]
≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],
故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥,當且僅當x=,y=-,z=-時等號成立.
所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值為.
(2)證明:因為[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2
=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(
8、z-a)(x-2)]
≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2],
故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥,當且僅當x=,y=,z=時等號成立.
因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值為.
由題設(shè)知≥,解得a≤-3或a≥-1.
1.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程](2020·福清模擬)已知曲線C1:x2+(y-2)2=4在伸縮變換 下得到曲線C2,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)把C1化為極坐標方程并求曲線C2的極坐標方程;
(2)射線θ=α(ρ>0,0<α<π)與C1,C2交點為A,B,|AB|=2,求α.
[解]
9、(1)曲線C1:x2+(y-2)2=4,
轉(zhuǎn)換為極坐標方程為:ρ=4sin θ.
伸縮變換 轉(zhuǎn)換為:
代入曲線C1:x2+(y-2)2=4,
得到極坐標方程為ρ=8sin θ.
(2)把θ=α代入ρ=4sin θ,即ρ=4sin α,
轉(zhuǎn)換為A(4sin α,α),
同理B(8sin α,α),
由于0<α<π,
所以|AB|=|8sin α-4sin α|=4sin α=2,
解得sin α=,故α=或.
[選修4-5:不等式選講](2020·安陽一模)已知a,b,c∈R+,?x∈R,不等式|x-1|-|x-2|≤a+b+c恒成立.
(1)求證:a2+b2+c2≥;
10、
(2)求證:++≥.
[解] (1)∵|x-1|-|x-2|≤|x-1-x+2|=1,∴a+b+c≥1.
∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,
∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac,
∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
=(a+b+c)2≥1,
∴a2+b2+c2≥.
(2)∵a2+b2≥2ab,2≥a2+2ab+b2=(a+b)2,
即a2+b2≥,
兩邊開平方得≥|a+b|=(a+b).
同理可得≥(b+c),≥(c+a).
三式相加,得
++≥(a+b+c)≥.
2.[選修4-4:坐標系與
11、參數(shù)方程](2020·汨羅一模)在平面直角坐標系xOy中,傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是ρsin2θ-4cos θ=0.
(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)若直線l經(jīng)過曲線C的焦點F且與曲線C相交于A,B兩點,設(shè)線段AB的中點為Q,求的值.
[解] (1)∵直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),∴直線l的普通方程為y=tan α·x+1 ,
由ρsin2θ-4cos θ=0,得ρ2sin2θ-4ρcos θ=0,即y2-4x=0,
∴曲線C的直角坐標方程為y2=4x.
(2)
12、∵直線l經(jīng)過曲線C的焦點F,
∴tan α=-1,直線l的傾斜角α=.
∴直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))
代入y2=4x,得t2+4t-8=0,
設(shè)A,B兩點對應的參數(shù)為t1,t2.
∵Q為線段AB的中點,
∴點Q對應的參數(shù)值為=-2.
又點F,則==2.
[選修4-5:不等式選講](2020·石家莊二中模擬)已知兩個正數(shù)a,b滿足a+2b=2.
(1)求a2+b2的最小值;
(2)若不等式++1≥3a+4b-2ab對任意的x∈R恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
[解] (1)兩個正數(shù)a,b滿足a+2b=2,可得a=2-2b,
a2+b2=(2-2b)2+b2=5b
13、2-8b+4=5+,
由a>0,b>0,可得2-2b>0,即有00,即0
14、實數(shù)a的取值范圍是(0,1].
3.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程](2020·西安模擬)在平面直角坐標系xOy中,l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ2=.
(1)求l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)求曲線C上的點到l距離的最大值及該點坐標.
[解] (1)由 (t為參數(shù)),得x≠1.
消去參數(shù)t,得l的普通方程為x-2y+1=0(x≠1).
將ρ2=去分母得3ρ2+ρ2sin2θ=12,
將y=ρsin θ,ρ2=x2+y2代入,得+=1,
所以曲線C的直角坐標方程為+=1.
(2)由(1)可設(shè)
15、曲線C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),
則曲線C上的點到l的距離
d==,
當cos=1,即α=-+2kπ,k∈Z時,
dmax==,
此時, (k∈Z).
所以曲線C上的點到直線l距離的最大值為,該點坐標為.
[選修4-5:不等式選講](2020·長郡中學模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-1|.
(1)若函數(shù)F(x)=f(x)+ax有最小值,求a的取值范圍;
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤|2x+1|-|x+m|的解集為A,且?A,求實數(shù)m的取值范圍.
[解] (1)F(x)=f(x)+ax=
使F(x)有最小值的充要條件為
即a∈[-2,2].
(2)由題意知:|2x-1|≤|2x+1|-|x+m|在上恒成立,即|x+m|≤2x+1-(2x-1).
即|x+m|≤2在x∈上恒成立,則-2≤x+m≤2.
故(-x-2)max≤m≤(-x+2)min,解得-≤m≤0.
故實數(shù)m的取值范圍為.