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(統(tǒng)考版)高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓15 選考系列(含解析)(文)-人教版高三數(shù)學試題

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1、專題限時集訓(十五) 選考系列 1.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程](2019·全國卷Ⅰ)在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為2ρcos θ+ρsin θ+11=0. (1)求C和l的直角坐標方程; (2)求C上的點到l距離的最小值. [解] (1)因為-1<≤1,且x2+=+=1,所以C的直角坐標方程為x2+=1(x≠-1). l的直角坐標方程為2x+y+11=0. (2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(α為參數(shù),-π<α<π). C上的點到l的距離為 =. 當α=-時,4cos+11

2、取得最小值7,故C上的點到l距離的最小值為. [選修4-5:不等式選講](2020·全國卷Ⅲ)設(shè)a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1. (1)證明:ab+bc+ca<0; (2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,證明:max{a,b,c}≥. [證明] (1)由題設(shè)可知,a,b,c均不為零,所以 ab+bc+ca=[(a+b+c)2-(a2+b2+c2)] =-(a2+b2+c2) <0. (2)不妨設(shè)max{a,b,c}=a,因為abc=1,a=-(b+c), 所以a>0,b<0,c<0. 由bc≤,可得abc≤,故a≥, 所以max{a,b,c}≥.

3、 2.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程] (2019·全國卷Ⅱ)在極坐標系中,O為極點,點M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲線C:ρ=4sin θ上,直線l過點A(4,0)且與OM垂直,垂足為P. (1)當θ0=時,求ρ0及l(fā)的極坐標方程; (2)當M在C上運動且P在線段OM上時,求P點軌跡的極坐標方程. [解] (1)因為M(ρ0,θ0)在曲線C上,當θ0=時, ρ0=4sin =2. 由已知得|OP|=|OA|cos =2. 設(shè)Q(ρ,θ)為l上除P外的任意一點. 在Rt△OPQ中,ρcos=|OP|=2. 經(jīng)檢驗,點P在曲線ρcos=2上. 所以,l的極坐標方程為ρcos

4、=2. (2)設(shè)P(ρ,θ),在Rt△OAP中,|OP|=|OA|cos θ=4cos θ,即ρ=4cos θ. 因為P在線段OM上,且AP⊥OM,故θ的取值范圍是. 所以,P點軌跡的極坐標方程為ρ=4cos θ,θ∈. [選修4-5:不等式選講](2019·全國卷Ⅱ)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)當a=1時,求不等式f(x)<0的解集; (2)若x∈(-∞,1)時,f(x)<0,求a的取值范圍. [解] (1)當a=1時,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1). 當x<1時,f(x)=-2(x-1)2<0;當x≥1時,f(x)≥0. 所以,

5、不等式f(x)<0的解集為(-∞,1). (2)因為f(a)=0,所以a≥1. 當a≥1,x∈(-∞,1)時,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0. 所以,a的取值范圍是[1,+∞). 3.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程] (2019·全國卷Ⅲ)如圖,在極坐標系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,π),弧,,所在圓的圓心分別是(1,0),,(1,π),曲線M1是弧,曲線M2是弧,曲線M3是弧. (1)分別寫出M1,M2,M3的極坐標方程; (2)曲線M由M1,M2,M3構(gòu)成,若點P在M上,且|OP|=,求P的極坐標. [解] (1)由題設(shè)

6、可得,弧,,所在圓的極坐標方程分別為ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ.所以M1的極坐標方程為ρ=2cos θ,M2的極坐標方程為ρ=2sin θ,M3的極坐標方程為ρ=-2cos θ. (2)設(shè)P(ρ,θ),由題設(shè)及(1)知: 若0≤θ≤,則2cos θ=,解得θ=; 若≤θ≤,則2sin θ=,解得θ=或θ=; 若≤θ≤π,則-2cos θ=,解得θ=. 綜上,P的極坐標為或或或. [選修4-5:不等式選講](2019·全國卷Ⅲ)設(shè)x,y,z∈R,且x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值; (2)若(x-2)2+(y-

7、1)2+(z-a)2≥成立,證明:a≤-3或a≥-1. [解] (1)由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)] ≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2], 故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥,當且僅當x=,y=-,z=-時等號成立. 所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值為. (2)證明:因為[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2 =(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(

8、z-a)(x-2)] ≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2], 故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥,當且僅當x=,y=,z=時等號成立. 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值為. 由題設(shè)知≥,解得a≤-3或a≥-1. 1.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程](2020·福清模擬)已知曲線C1:x2+(y-2)2=4在伸縮變換 下得到曲線C2,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)把C1化為極坐標方程并求曲線C2的極坐標方程; (2)射線θ=α(ρ>0,0<α<π)與C1,C2交點為A,B,|AB|=2,求α. [解] 

9、(1)曲線C1:x2+(y-2)2=4, 轉(zhuǎn)換為極坐標方程為:ρ=4sin θ. 伸縮變換 轉(zhuǎn)換為: 代入曲線C1:x2+(y-2)2=4, 得到極坐標方程為ρ=8sin θ. (2)把θ=α代入ρ=4sin θ,即ρ=4sin α, 轉(zhuǎn)換為A(4sin α,α), 同理B(8sin α,α), 由于0<α<π, 所以|AB|=|8sin α-4sin α|=4sin α=2, 解得sin α=,故α=或. [選修4-5:不等式選講](2020·安陽一模)已知a,b,c∈R+,?x∈R,不等式|x-1|-|x-2|≤a+b+c恒成立. (1)求證:a2+b2+c2≥;

10、 (2)求證:++≥. [解] (1)∵|x-1|-|x-2|≤|x-1-x+2|=1,∴a+b+c≥1. ∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac, ∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac, ∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac =(a+b+c)2≥1, ∴a2+b2+c2≥. (2)∵a2+b2≥2ab,2≥a2+2ab+b2=(a+b)2, 即a2+b2≥, 兩邊開平方得≥|a+b|=(a+b). 同理可得≥(b+c),≥(c+a). 三式相加,得 ++≥(a+b+c)≥. 2.[選修4-4:坐標系與

11、參數(shù)方程](2020·汨羅一模)在平面直角坐標系xOy中,傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標原點為極點,以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程是ρsin2θ-4cos θ=0. (1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程; (2)若直線l經(jīng)過曲線C的焦點F且與曲線C相交于A,B兩點,設(shè)線段AB的中點為Q,求的值. [解] (1)∵直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),∴直線l的普通方程為y=tan α·x+1 , 由ρsin2θ-4cos θ=0,得ρ2sin2θ-4ρcos θ=0,即y2-4x=0, ∴曲線C的直角坐標方程為y2=4x. (2)

12、∵直線l經(jīng)過曲線C的焦點F, ∴tan α=-1,直線l的傾斜角α=. ∴直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)) 代入y2=4x,得t2+4t-8=0, 設(shè)A,B兩點對應的參數(shù)為t1,t2. ∵Q為線段AB的中點, ∴點Q對應的參數(shù)值為=-2. 又點F,則==2.  [選修4-5:不等式選講](2020·石家莊二中模擬)已知兩個正數(shù)a,b滿足a+2b=2. (1)求a2+b2的最小值; (2)若不等式++1≥3a+4b-2ab對任意的x∈R恒成立,求實數(shù)a的取值范圍. [解] (1)兩個正數(shù)a,b滿足a+2b=2,可得a=2-2b, a2+b2=(2-2b)2+b2=5b

13、2-8b+4=5+, 由a>0,b>0,可得2-2b>0,即有00,即0

14、實數(shù)a的取值范圍是(0,1]. 3.[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程](2020·西安模擬)在平面直角坐標系xOy中,l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ2=. (1)求l的普通方程和曲線C的直角坐標方程; (2)求曲線C上的點到l距離的最大值及該點坐標. [解] (1)由 (t為參數(shù)),得x≠1. 消去參數(shù)t,得l的普通方程為x-2y+1=0(x≠1). 將ρ2=去分母得3ρ2+ρ2sin2θ=12, 將y=ρsin θ,ρ2=x2+y2代入,得+=1, 所以曲線C的直角坐標方程為+=1. (2)由(1)可設(shè)

15、曲線C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)), 則曲線C上的點到l的距離 d==, 當cos=1,即α=-+2kπ,k∈Z時, dmax==, 此時, (k∈Z). 所以曲線C上的點到直線l距離的最大值為,該點坐標為.  [選修4-5:不等式選講](2020·長郡中學模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-1|. (1)若函數(shù)F(x)=f(x)+ax有最小值,求a的取值范圍; (2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤|2x+1|-|x+m|的解集為A,且?A,求實數(shù)m的取值范圍. [解] (1)F(x)=f(x)+ax= 使F(x)有最小值的充要條件為 即a∈[-2,2]. (2)由題意知:|2x-1|≤|2x+1|-|x+m|在上恒成立,即|x+m|≤2x+1-(2x-1). 即|x+m|≤2在x∈上恒成立,則-2≤x+m≤2. 故(-x-2)max≤m≤(-x+2)min,解得-≤m≤0. 故實數(shù)m的取值范圍為.

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