《（統(tǒng)考版）高考數學二輪專題復習 課時作業(yè)14 圓錐曲線中的證明、定點及定值問題 文（含解析）-人教版高三全冊數學試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（統(tǒng)考版）高考數學二輪專題復習 課時作業(yè)14 圓錐曲線中的證明、定點及定值問題 文（含解析）-人教版高三全冊數學試題（4頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、課時作業(yè)14　圓錐曲線中的證明、定點及定值問題 [A·基礎達標] 1．設橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點．若橢圓E的離心率為，△ABF2的周長為4. (1)求橢圓E的方程； (2)設不經過橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點C，D，設弦AB，CD的中點分別為M，N，證明：O，M，N三點共線． 2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，左、右焦點分別為F1，F2，A為橢圓C上一點，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝. (1)求橢圓C的標準方程； (2)設橢圓C的左、右頂點分別為A1，A2，

2、過A1，A2分別作x軸的垂線l1，l2，橢圓C的一條切線l：y＝kx＋m與l1，l2分別交于M，N兩點，求證：∠MF1N為定值． [B·素養(yǎng)提升] 1．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點為M，上頂點為N，直線2x＋y－6＝0與直線MN垂直，垂足為點B，且點N是線段MB的中點． (1)求橢圓C的方程； (2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓C交于E，F兩點，點G在橢圓C上，且四邊形OEGF(O為坐標原點)為平行四邊形，求證：四邊形OEGF的面積S為定值． 2．[2020·長沙市統(tǒng)一模擬考試]已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的右頂點與拋物線C2

3、：y2＝2px(p>0)的焦點重合，橢圓C1的離心率為，過橢圓C1的右焦點F且垂直于x軸的直線截拋物線所得弦的長度為4. (1)求橢圓C1和拋物線C2的方程． (2)過點A(－4,0)的直線l與橢圓C1交于M，N兩點，點M關于x軸的對稱點為E.當直線l繞點A旋轉時，直線EN是否經過一定點？請判斷并證明你的結論． 課時作業(yè)14　圓錐曲線中的證明、定點及定值問題 [A·基礎達標] 1．解析：(1)由題意知，4a＝4，a＝. 又e＝，∴c＝，b＝， ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)當直線AB，CD的斜率不存在時，由橢圓的對稱性知，中點M，N

4、在x軸上O，M，N三點共線； 當直線AB，CD的斜率存在時，設其斜率為k，且設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 則，兩式相減，得＋－＝0， ∴＝－，＝－， ∴·＝－，·＝－， 即k·kOM＝－. ∴kOM＝－. 同理可得kON＝－，∴kOM＝kON， ∴O，M，N三點共線． 2．解析：(1)由AF2⊥F1F2，|AF2|＝，得＝. 又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8. 故橢圓C的標準方程為＋＝1. (2)由題意可知，l1的方程為x＝－3，l2的方程為x＝3. 直線l分別與直線l1，l2的方程聯(lián)立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3

5、k＋m)， 所以＝(－2，－3k＋m)，＝(4,3k＋m)， 所以·＝－8＋m2－9k2. 聯(lián)立，得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0， 因為直線l與橢圓C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)·(9m2－72)＝0， 化簡得m2＝9k2＋8. 所以·＝－8＋m2－9k2＝0， 所以⊥， 故∠MF1N為定值. [B·素養(yǎng)提升] 1．解析：(1)由題意知M(－a,0)，N(0，b)，直線MN的斜率k＝＝，所以a＝2b.① 因為點N是線段MB的中點，所以點B的坐標為(a,2b)． 又點B在直線2x＋y－6＝0上，所以2a＋2b＝6，② 聯(lián)立①②，解得

6、a＝2，b＝. 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設E(x1，y1)，F(x2，y2)， 由消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0. 易知Δ>0，則x1＋x2＝－，x1x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝. 因為四邊形OEGF為平行四邊形， 所以＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)， 可得G. 將點G的坐標代入橢圓C的方程，得m2＝(1＋4k2)． 又點O到直線EF的距離d＝，|EF|＝|x1－x2|， 所以平行四邊形OEGF的面積S＝d×|EF|＝|m||x1－x2|＝|m|×＝4×＝4×＝＝3. 于是四邊形OEGF的面積S為定值，且定值為3

7、. 2．解析：(1)設橢圓C1的半焦距為c.依題意，可得a＝，則C2：y2＝4ax， 代入x＝c，得y2＝4ac，即y＝±2，所以4＝4， 則有，所以a＝2，b＝， 所以橢圓C1的方程為＋＝1，拋物線C2的方程為y2＝8x. (2)依題意，當直線l的斜率不為0時，設其方程為x＝ty－4. 由，得(3t2＋4)y2－24ty＋36＝0. 設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則E(x1，－y1)．由Δ>0，得t<－2或t>2， 且y1＋y2＝，y1y2＝. 根據橢圓的對稱性可知，若直線EN過定點，此定點必在x軸上，設此定點為Q(m,0)． 因為kNQ＝kEQ，所以＝，(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0， 即(ty1－4－m)y2＋(ty2－4－m)y1＝0,2ty1y2－(m＋4)(y1＋y2)＝0， 即2t·－(m＋4)·＝0，得(3－m－4)t＝(－m－1)t＝0， 由t是大于2或小于－2的任意實數知m＝－1，所以直線EN過定點Q(－1,0)． 當直線l的斜率為0時，直線EN的方程為y＝0，也經過點Q(－1,0)， 所以當直線l繞點A旋轉時，直線EN恒過一定點Q(－1,0)．