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1、專題限時集訓(xùn)(二十三)B
[第23講 幾何證明選講]
(時間：30分鐘)
1．如圖23－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB上，DE⊥EB.
(1)求證：AC是△BDE的外接圓的切線；
(2)若AD＝2，AE＝6，求EC的長．
圖23－5
2．如圖23－6，E是圓O內(nèi)兩弦AB和CD的交點，F(xiàn)是AD延長線上一點，F(xiàn)G與圓O相切于點G，且EF＝FG.
求證：(1)△EFD∽△AFE；
(2)EF∥BC.
圖23－6
2、
3．如圖23－7所示，已知AB是圓O的直徑，AC是弦，AD⊥CE，垂足為D，AC平分∠BAD.
(1)求證：直線CE是圓O的切線；
(2)求證：AC2＝AB·AD.
圖23－7
4．如圖23－8，已知△ABC中的兩條角平分線AD和CE相交于H，∠B＝60°，F(xiàn)在AC上，且AE＝AF.
(1)證明：B，D，H，E四點共圓；
(2)證明：CE平分∠DEF.
圖23－8
專題限時集訓(xùn)(二十三)B
1．解：(1)證明：取BD的中點O，連接OE.
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.
又∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠B
3、EO，
∴∠CBE＝∠BEO，∴BC∥OE.
∵∠C＝90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圓的切線．
(2)設(shè)⊙O的半徑為r，則在△AOE中，
OA2＝OE2＋AE2，即(r＋2)2＝r2＋62，解得r＝2，
∴OA＝2OE，∴∠A＝30°，∠AOE＝60°.
∴∠CBE＝∠OBE＝30°.
∴EC＝BE＝×r＝××2＝3.
2．證明：(1)∵FG與圓O相切于點G，
∴FG2＝FD·FA.∵EF＝FG，
∴EF2＝FD·FA，∴＝.
又∠EFD＝∠AFE，∴△EFD∽△AFE.
(2)由(1)知，∠FED＝∠FAE，
∵∠FAE＝∠BCD，∴∠FED＝∠B
4、CD，∴EF∥BC.
3．證明：(1)連接OC，因為OA＝OC，所以∠OCA＝∠OAC，
又因為AD⊥CE，所以∠ACD＋∠CAD＝90°，
又因為AC平分∠BAD，所以∠OAC＝∠CAD，
所以∠OCA＋∠ACD＝90°，即OC⊥CE，所以CE是⊙O的切線．
(2)連接BC，因為AB是圓O的直徑，
所以∠BCA＝∠ADC＝90°，
因為∠OAC＝∠CAD，
所以△ABC∽△ACD，所以＝，即AC2＝AB·AD.
4．證明：
(1)在△ABC中，因為∠B＝60°，
所以∠BAC＋∠BCA＝120°.
因為AD，CE是角平分線，
所以∠HAC＋∠HCA＝60°.
故∠AHC＝120°.
于是∠EHD＝∠AHC＝120°，
因為∠EBD＋∠EHD＝180°，
所以B，D，H，E四點共圓．
(2)連接BH，則BH為∠ABC的平分線，得∠HBD＝30°，
由(1)知B，D，H，E四點共圓，所以∠CED＝∠HBD＝30°，
由已知可得EF⊥AD，又∠EHA＝180°－∠AHC＝60°，所以∠CEF＝30°，
所以∠CEF＝∠CED，所以CE平分∠DEF.
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