《【學(xué)海導(dǎo)航】2012屆高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 9.4 線面垂直與面面垂直課件（第2課時）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【學(xué)海導(dǎo)航】2012屆高三數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 9.4 線面垂直與面面垂直課件（第2課時）（21頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第九章直線、平面、簡單的幾何體 1. 如圖，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2， AB=4. (1)求直線PQ與平面 ADQ所成的角; (2)求異面直線AQ與PB所成的角.題型4 空間角的計算第二課時 解：(1)連結(jié)AC、BD，設(shè)其交點為O，則PO平面ABCD，QO平面ABCD，從而P、O、Q三點共線. 分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則由已知可得A( ，0，0)，Q(0，0，-2)，D(0，- ，0)，P(0，0，1). 22 22 所以 =(0，0，-3)， =(- ，0，-2)， =(0， ，-2).設(shè)n=(x，y，z)是平

2、面ADQ的一個法向量.由 ，得取x=1，則z=- ，y=-1，所以n=(1，-1，- ).PQAQ 22DQ 22 00DQn AQn 0222 0222 zy zx2 2 設(shè)直線PQ與平面ADQ所成的角為，則sin=|cosn， |所以= .故直線PQ與平面ADQ所成的角為 .(2)因為B(0， ，0)，所以 =(0， ，-1).又 =(- ，0，-2)，所以cos ， = .故異面直線AQ與PB所成的角為arccos .PQ 22 |PQn PQn|4 422 22PBAQ 22 AQ PB 93PBAQ PBAQ 93 點評：兩向量的夾角公式可直接用來求兩直線的夾角；而線面角可轉(zhuǎn)化為直線

3、對應(yīng)的向量與平面的法向量所成的角；二面角可轉(zhuǎn)化為兩個平面的法向量所成的角.另外還需注意所求角與兩向量夾角之間的關(guān)系. 如圖，在長方體ABCD-A1 B1 C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2.E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB=FB=1. (1)求二面角C-DE-C1的正切值； (2)求直線EC1與FD1所成角的余弦值. 解：(1)以A為原點，AB,AD,AA1分別為x軸，y軸，z軸的正向，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz. 則有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2).于是 =(3,-3,0), =(1,3,2), =(-4,2

4、,2).設(shè)向量n=(x,y,z)與平面C1DE垂直，則有 取z=2,則n=(-1,-1,2).則n是一個與平面C1DE垂直的向量.DE 1EC 1FD 1ECn DEn 21023 033 yxzyx yx 因為向量 =(0，0，2)與平面CDE垂直 觀察圖形知，n與 所成的角即為二面角C-DE-C1的平面角. 因為cos= 所以tan= . 所以二面角C-DE-C1的正切值為 . (2)設(shè)EC1與FD1所成的角為，則1AA 1AA 36400411 22010111 AAn AAn22 22 1 1 2 2 2 2 2 21 1 1 4 3 2 2 2 21cos 141 3 2 4 2 2

5、EC FD (- ) EC FD ( ) 2. 長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=6，AA1=4，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且CP=2，Q是DD1的中點，求： (1)點M到直線PQ的距離; (2)點M到平面AB1P的距離. 解：(1)如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，則A(4，0，0)，M(2，3，4)，P(0，4，0)，Q(4，6，2). 題型5 空間距離的計算 因為 =(-2，-3，2)， =(-4，-2，-2)，所以 在 上的射影長為故點M到PQ的距離為QMOP QM OP 6652410224 222342 222 )()()( )(-)(-)(-)(

6、-)(-QPQPQM .-)-(|MQ|d 646262517665 22 (2)設(shè)n=(x，y，z)是平面AB1P的法向量，則n ，n .因為 =(-4，0，4)， =(-4，4，0)，所以.因此可取n=(1，1，1).由于 =(2，-3，-4)，那么點M到平面AB1P的距離為1AB 點評：利用求向量的長度可求兩點間的距離，而點到直線的距離或點到平面的距離可轉(zhuǎn)化為向量的投影長度問題. .|)(-)(-|n n|MA|d 3353 141312 AP1AB AP 044 044 yx- zx-1AB 在四棱錐P-ABCD中，底面AB C D為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，AB = ，BC=1，P

7、A=2，E為PD的中點. (1)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE平面PAC，并求出點N到AB和AP的距離； (2)求(1)中的點N到平面PAC的距離.3 解：(1)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別是A(0,0,0)、B( ,0,0)、C( ,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0, ,1).依題意設(shè)N(x,0,z)，則 =(-x, ,1-z).由于 平面PAC，所以3 321 NE 21NE ,ACNE APNE 00 則 ，即解得 ，即點N的坐標(biāo)為( ,0,1)，從而點N到AB、AP的距離分別為1， .(2)設(shè)點N到平面PAC的距離為d，則 0013(

8、121 0200(121 ),-z),(-x, ),-z),(-x, ,x - z- 0213 01 163zx 63 633 3 10 1 0 1 36 6 2 3 12 123 1 06 2|( , , ) (- , , )| AN NE|d NE ( , , ) 1. 運用空間向量的坐標(biāo)運算解決立體幾何問題時，一般步驟為： (1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系(例如:底面是矩形的直四棱柱，以底面其中一個頂點為原點建立空間直角坐標(biāo)系；底面是菱形的直四棱柱，往往以底面對角線的交點為原點建立空間直角坐標(biāo)系); (2)求出相關(guān)點的坐標(biāo)； (3)寫出向量的坐標(biāo); (4)結(jié)合公式進行論證、計算; (5)轉(zhuǎn)

9、化為幾何結(jié)論. 建立空間直角坐標(biāo)系，必須牢牢抓住相交于同一點的兩兩垂直的三條直線，要在題目中找出或構(gòu)造出這樣的三條直線，因此，要充分利用題目中所給的垂直關(guān)系(即線線垂直、線面垂直、面面垂直)，同時要注意，所建立的坐標(biāo)系必須是右手空間直角坐標(biāo)系. 2. 求空間角和距離有如下一些基本原理： (1)平面的法向量的求法：設(shè)n=(x，y，z)，利用n與平面內(nèi)的兩個不共線向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個三元一次方程，聯(lián)立后取一組解(如圖1). (2)線面角的求法：設(shè)n是平面的法向量， 是直線l的方向向量，則直線l與平面所成的角為 (如圖2). (3)二面角的求法： AB、CD分別是二面角-l-的兩個

10、半平面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為 ， (如圖3). 設(shè)n1，n2是二面角-l-的兩個平面、的法向量，則就是二面角的平面角或其補角(如圖4).AB nAB |nAB|arcsin AB CD 21 2121 arccos nn nn,nn (4)異面直線間的距離的求法：l1、l2是兩條異面直線，n是l1、l2的公垂線段AB的方向向量，又C、D分別是l1、l2上的任意兩點，則 (如圖5).n n|CD|AB| (5)點面距離的求法：設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線段，則點B到平面的距離為 (如圖6). (6)線面距離、面面距離均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用(5)中方法求解. n nAB|