《高三數(shù)學二輪復習 第1部分 專題1 突破點1 三角函數(shù)問題 理-人教高三數(shù)學試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高三數(shù)學二輪復習 第1部分 專題1 突破點1 三角函數(shù)問題 理-人教高三數(shù)學試題（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、突破點1　三角函數(shù)問題 提煉1 三角函數(shù)的圖象問題 (1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)解析式的確定：利用函數(shù)圖象的最高點和最低點確定A，利用周期確定ω，利用圖象的某一已知點坐標確定φ. (2)三角函數(shù)圖象的兩種常見變換 提煉2 三角函數(shù)奇偶性與對稱性 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)；當φ＝kπ＋(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，對稱中心的橫坐標可由ωx＋φ＝kπ，(k∈Z)解得． (2)y＝Acos(ωx＋φ)，當φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數(shù)；當φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝

2、kπ(k∈Z)求得，對稱中心的橫坐標可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得． y＝Atan(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)；對稱中心的橫坐標可由ωx＋φ＝(k∈Z)解得，無對稱軸. 提煉3 三角變換常用技巧 (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)項的分拆與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦. 提煉4 三角函數(shù)最值問題 (1)y＝asin x＋bcos x＋c型

3、函數(shù)的最值：可將y轉化為y＝sin(x＋φ)＋c其中tan φ＝的形式，這樣通過引入輔助角φ可將此類函數(shù)的最值問題轉化為y＝sin(x＋φ)＋c的最值問題，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質求解． (2)y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x型函數(shù)的最值：可利用降冪公式sin2x＝，sin xcos x＝，cos2x＝，將y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x轉化整理為y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C，這樣就可將其轉化為(1)的類型來求最值． 回訪1　三角函數(shù)的圖象問題 1．(理)(2016·全國甲卷)若將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個單位長度

4、，則平移后圖象的對稱軸為(　　) A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z) C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z) B　[將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)y＝2sin 2＝2sin的圖象．由2x＋＝kx＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后圖象的對稱軸為x＝＋(k∈Z)．] 2．(理)(2014·全國卷Ⅰ)如圖1-1，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M.將點M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)在[0，π]的圖象大致為(　　) 圖1-1

5、 B　[如圖所示，當x∈時，則P(cos x，sin x)，M(cos x,0)，作MM′⊥OP，M′為垂足，則＝sin x， ∴＝sin x，∴f(x)＝sin xcos x＝sin 2x， 則當x＝時，f(x)max＝； 當x∈時，有＝sin(π－x)， f(x)＝－sin xcos x＝－sin 2x， 當x＝時，f(x)max＝. 只有B選項的圖象符合．] 回訪2　三角函數(shù)的性質問題 3．(2015·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖1-2所示，則f(x)的單調遞減區(qū)間為(　　) 圖1-2 A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈

6、Z D.，k∈Z D　[由圖象知，周期T＝2＝2， ∴＝2，∴ω＝π. 由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝， ∴f(x)＝cos. 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－

7、奇數(shù))． 又T＝，所以ω＝k(k為奇數(shù))． 又函數(shù)f(x)在上單調， 所以≤×，即ω≤12. 若ω＝11，又|φ|≤，則ω＝－，此時，f(x)＝sin，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，不滿足條件． 若ω＝9，又|φ|≤，則φ＝，此時，f(x)＝sin，滿足f(x)在上單調的條件．故選B.] 5．(理)(2013·全國卷Ⅰ)設當x＝θ時，函數(shù)f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，則cos θ＝________. －　[∵f(x)＝sin x－2cos x＝， 設＝cos α，＝sin α， 則y＝(sin xcos α－cos xsin α)＝sin(x－α)．

8、∵x∈R，∴x－α∈R，∴ymax＝. 又∵x＝θ時，f(x)取得最大值， ∴f(θ)＝sin θ－2cos θ＝. 又sin2θ＋cos2θ＝1， ∴即cos θ＝－.] 回訪3　三角恒等變換 6．(2015·全國卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－　　　B. C．－　　　D. D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故選D.] 7．(2016·全國甲卷)若cos＝，則sin 2α＝(　　)

9、A. B. C．－ D．－ D　[因為cos＝， 所以sin 2α＝cos＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.] 熱點題型1　三角函數(shù)的圖象問題 題型分析：高考對該熱點的考查方式主要體現(xiàn)在以下兩方面：一是考查三角函數(shù)解析式的求法；二是考查三角函數(shù)圖象的平移變換，常以選擇、填空題的形式考查，難度較低. 　(1)(2016·山西四校聯(lián)考)將函數(shù)y＝cos x＋sin x(x∈R)的圖象向左平移m(m＞0)個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. (2)(2016·衡水中學四調)已知A，B，C，D是

10、函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)一個周期內的圖象上的四個點，如圖1-3所示，A，B為y軸上的點，C為圖象上的最低點，E為該圖象的一個對稱中心，B與D關于點E對稱，在x軸上的投影為，則(　　) 圖1-3 A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝ C．ω＝，φ＝ D．ω＝，φ＝ (1)A　(2)A　[(1)設f(x)＝cos x＋sin x＝2＝2sin，向左平移m個單位長度得g(x)＝2sin.∵g(x)的圖象關于y軸對稱，∴g(x)為偶函數(shù)，∴＋m＝＋kπ(k∈Z)，∴m＝＋kπ(k∈Z)，又m＞0，∴m的最小值為. (2)由題意可知＝＋＝，∴T＝π，ω＝＝2.又sin＝0,0＜φ＜

11、，∴φ＝，故選A.] 1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的確定 (1)A由最值確定，A＝； (2)ω由周期確定； (3)φ由圖象上的特殊點確定． 提醒：根據(jù)“五點法”中的零點求φ時，一般先依據(jù)圖象的升降分清零點的類型． 2．在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換．變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向． [變式訓練1]　(1)為了得到函數(shù)y＝sin的圖象，可以將函數(shù)y＝cos 2x的圖象(　　) 【導學號：85952009】 A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平

12、移個單位長度 D．向左平移個單位長度 (2)(2016·江西八校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)的部分圖象如圖1-4所示，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)的值為(　　) 圖1-4 A．0　　　B．3　　　C．6　　　D．－ (1)B　(2)A　[(1)∵y＝cos 2x＝sin，∴y＝cos 2x的圖象向右平移個單位長度，得y＝sin＝sin的圖象．故選B. (2)由題圖可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝， ∴f(x)＝2sinx. ∴f(1)＝，f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－2，f(7)＝－，f(8

13、)＝0， 而2 016＝8×252， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝0.] 熱點題型2　三角函數(shù)的性質問題 題型分析：三角函數(shù)的性質涉及周期性、單調性以及最值、對稱性等，是高考的重要命題點之一，常與三角恒等變換交匯命題，難度中等. 　(2016·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝4tan x·sin·cos－. (1)求f(x)的定義域與最小正周期； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調性． [解]　(1)f(x)的定義域為xx≠＋kπ，k∈Z. 1分 f(x)＝4tan xcos xcos－＝4sin xcos－ ＝4sin x－ ＝2sin xcos x＋2sin

14、2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 4分 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 6分 (2)令z＝2x－，則函數(shù)y＝2sin z的單調遞增區(qū)間是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 8分 設A＝，B＝x－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝. 10分 所以當x∈時，f(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減. 12分 研究函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質的“兩種”意識 1．轉化意識：利用三角恒等變換把待求函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式． 2．整體意識：類比于

15、研究y＝sin x的性質，只需將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”代入求解便可． [變式訓練2]　(1)(名師押題)已知函數(shù)f(x)＝2sin，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象．關于函數(shù)g(x)，下列說法正確的是(　　) A．在上是增函數(shù) B．其圖象關于直線x＝－對稱 C．函數(shù)g(x)是奇函數(shù) D．當x∈時，函數(shù)g(x)的值域是[－2,1] (2)已知函數(shù)f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若是f(x)的一個單調遞增區(qū)間，則φ的取值范圍為(　　) 【導學號：85952010】 A. B. C.

16、 D.∪ (1)D　(2)C　[(1)因為f(x)＝2sin，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移個單位，得g(x)＝f＝2sin＝2sin＝2cos 2x. 對于A，由x∈可知2x∈，故g(x)在上是減函數(shù)，故A錯；又g＝2cos＝0，故x＝－不是g(x)的對稱軸，故B錯；又g(－x)＝2cos 2x＝g(x)，故C錯；又當x∈時，2x∈，故g(x)的值域為[－2,1]，D正確． (2)令2kπ＋＜2x＋φ＜2kπ＋，k∈Z， 所以kπ＋－≤x≤kπ＋－，k∈Z， 所以函數(shù)f(x)在上單調遞增． 因為是f(x)的一個單調遞增區(qū)間， 所以≤kπ＋－，且kπ＋－≤，k∈Z， 解得2

17、kπ＋≤φ≤2kπ＋，k∈Z，又|φ|＜π，所以≤φ≤.故選C.] 熱點題型3　三角恒等變換 題型分析：高考對該熱點的考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個方面：一是直接利用和、差、倍、半角公式對三角函數(shù)式化簡求值；二是以三角恒等變換為載體，考查y＝Asin(ωx＋φ)的有關性質. 　(1)(2016·江西八校聯(lián)考)如圖1-5，圓O與x軸的正半軸的交點為A，點C，B在圓O上，且點C位于第一象限，點B的坐標為，∠AOC＝α，若|BC|＝1，則cos2－sincos －的值為________． 圖1-5 (2)已知函數(shù)f(x)＝sin2－cos2＋2sin·cos＋λ的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)f(x)

18、在區(qū)間上的最大值為________． (1)　(2)－　[(1)由題意可知|OB|＝|BC|＝1，∴△OBC為正三角形． 由三角函數(shù)的定義可知，sin∠AOB＝sin＝， ∴cos2－sincos－＝－－＝cos α－sin α＝sin＝. (2)f(x)＝sin2－cos2＋2sin·cos ＋λ＝－cos＋sin＋λ＝2sin＋λ. 由f(x)的圖象過點，得λ＝－2sin＝－2sin＝－， 故f(x)＝2sin－. 因為0≤x≤，所以－≤－≤. 因為y＝sin x在上單調遞增， 所以f(x)的最大值為f＝2sin－＝－.] 1．解決三角函數(shù)式的化簡求值要堅持“三看”

19、原則：一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分；二是“函數(shù)名稱”，是需進行“切化弦”還是“弦化切”等，從而確定使用的公式；三看“結構特征”，了解變式或化簡的方向． 2．在研究形如f(x)＝asin ωx＋bcos ωx的函數(shù)的性質時，通常利用輔助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)把函數(shù)f(x)化為Asin(ωx＋φ)的形式，通過對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質的研究得到f(x)＝asin ωx＋bcos ωx的性質． [變式訓練3]　(1)(2014·全國卷Ⅰ)設α∈，β∈，且tan α＝，則(　　) A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β

20、＝ D．2α＋β＝ (2)已知sin＋sin α＝－，－＜α＜0，則cos等于(　　) A．－ B．－ C. D. (1)B　(2)C　[(1)法一：由tan α＝得＝， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin. ∵α∈，β∈， ∴α－β∈，－α∈， 由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α， ∴2α－β＝. 法二：tan α＝＝＝＝cot ＝tan ＝tan， ∴α＝kπ＋，k∈Z， ∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z. 當k＝0時，滿足2α－β＝，故選B. (2)∵sin＋sin α＝－，－＜α＜0， ∴sin α＋cos α＝－， ∴sin α＋cos α＝－， ∴cos＝cos αcos －sin αsin ＝－cos α－sin α＝.]