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高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題2 突破點5 數(shù)列的通項與求和 理-人教高三數(shù)學(xué)試題

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高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 專題2 突破點5 數(shù)列的通項與求和 理-人教高三數(shù)學(xué)試題_第1頁
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1、突破點5 數(shù)列的通項與求和 提煉1 an和Sn的關(guān)系  若an為數(shù)列{an}的通項,Sn為其前n項和,則有an=在使用這個關(guān)系式時,一定要注意區(qū)分n=1,n≥2兩種情況,求出結(jié)果后,判斷這兩種情況能否整合在一起. 提煉2 求數(shù)列通項常用的方法  (1)定義法:①形如an+1=an+c(c為常數(shù)),直接利用定義判斷其為等差數(shù)列.②形如an+1=kan(k為非零常數(shù))且首項不為零,直接利用定義判斷其為等比數(shù)列. (2)疊加法:形如an+1=an+f(n),利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1),求其通項公式. (3)疊乘法:形如=f(n)≠0

2、,利用an=a1···…·,求其通項公式. (4)待定系數(shù)法:形如an+1=pan+q(其中p,q均為常數(shù),pq(p-1)≠0),先用待定系數(shù)法把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-t=p(an-t),其中t=,再轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解. (5)構(gòu)造法:形如an+1=pan+qn(其中p,q均為常數(shù),pq(p-1)≠0),先在原遞推公式兩邊同除以qn+1,得=·+,構(gòu)造新數(shù)列{bn},得bn+1=·bn+,接下來用待定系數(shù)法求解. (6)取對數(shù)法:形如an+1=pa(p>0,an>0),先在原遞推公式兩邊同時取對數(shù),再利用待定系數(shù)法求解. 提煉3 數(shù)列求和  數(shù)列求和的關(guān)鍵是分析其通項,數(shù)列的基

3、本求和方法有公式法、裂(拆)項相消法、錯位相減法、分組法、倒序相加法和并項法等,而裂項相消法,錯位相減法是常用的兩種方法. 回訪1 an與Sn的關(guān)系 1.(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,則Sn=__________. - ∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1, ∴Sn+1-Sn=SnSn+1. 又Sn≠0,∴-=1,即-=-1. 又=-1,∴是首項為-1,公差為-1的等差數(shù)列, ∴=-1+(n-1)×(-1)=-n,即Sn=-.] 2.(2013·全國卷Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項和Sn=an+,則{a

4、n}的通項公式是an=________. (-2)n-1 當(dāng)n=1時,S1=a1+,∴a1=1. 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=an+-=(an-an-1), ∴an=-2an-1,即=-2, ∴{an}是以1為首項的等比數(shù)列,其公比為-2, ∴an=1×(-2)n-1,即an=(-2)n-1.] 回訪2 數(shù)列求和 3.(2015·全國卷Ⅰ改編)Sn為數(shù)列{an}的前n項和.已知an>0,a+2an=4Sn+3,則 (1){an}的通項公式為__________; (2)設(shè)bn=,則數(shù)列{bn}的前n項和為__________. (1)an=2n+1 (2) (1)由a

5、+2an=4Sn+3,① 可知a+2an+1=4Sn+1+3.② ②-①,得a-a+2(an+1-an)=4an+1, 即2(an+1+an)=a-a=(an+1+an)(an+1-an). 由an>0,得an+1-an=2. 又a+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3. 所以{an}是首項為3,公差為2的等差數(shù)列,通項公式為an=2n+1. (2)由an=2n+1可知 bn=== . 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則 Tn=b1+b2+…+bn= =.] 4.(2012·全國卷)數(shù)列{an}滿足an+1+(-1)nan=2n-1,則{an}的前

6、60項和為________. 1 830 ∵an+1+(-1)nan=2n-1, ∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1,a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,…,a57=a1,a58=113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1, ∴a1+a2+…+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+…+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+…+234 ==1 830.] 熱點題型1 數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系 數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系

7、題型分析:以數(shù)列中an與Sn間的遞推關(guān)系為載體,考查數(shù)列通項公式的求法,以及推理論證的能力.  數(shù)列{an}中,a1=1,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,且滿足=1(n≥2).求數(shù)列{an}的通項公式. 【導(dǎo)學(xué)號:85952024】 解] 由已知,當(dāng)n≥2時,=1, 所以=1,2分 即=1, 所以-=.4分 又S1=a1=1, 所以數(shù)列是首項為1,公差為的等差數(shù)列,6分 所以=1+(n-1)=, 即Sn=.8分 所以當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=-=-.10分 因此an=12分 給出Sn與an的遞推關(guān)系,求an,常用思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)

8、轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系,再求其通項公式;二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系,先求出Sn與n之間的關(guān)系,再求an. 提醒:在利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求通項公式時,務(wù)必驗證n=1時的情形. 變式訓(xùn)練1] (1)(2016·合肥三模)已知數(shù)列{an}前n項和為Sn,若Sn=2an-2n ,則Sn=__________. (2)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),其前n項和為Sn,且2Sn+2=3an(n∈N*),則an=__________. (1)n·2n(n∈N*) (2)2×3n-1(n∈N*) (1)由Sn=2an-2n得當(dāng)n=1時,S1=a1=2;當(dāng)n≥2時,Sn=2(Sn-Sn-1)-

9、2n,即-=1,所以數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,則=n,Sn=n·2n(n≥2),當(dāng)n=1時,也符合上式,所以Sn=n·2n(n∈N*). (2)因為2Sn+2=3an,① 所以2Sn+1+2=3an+1,② 由②-①,得2Sn+1-2Sn=3an+1-3an,所以2an+1=3an+1-3an,即=3. 當(dāng)n=1時,2+2S1=3a1,所以a1=2,所以數(shù)列{an}是首項為2,公比為3的等比數(shù)列, 所以an=2×3n-1(n∈N*).] 熱點題型2 裂項相消法求和 題型分析:裂項相消法是指把數(shù)列與式中的各項分別裂開后,某些項可以相互抵消從而求和的方法,主要適用于或(其中

10、{an}為等差數(shù)列)等形式的數(shù)列求和.  已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0, 它的前n項和為Sn,若S5=70,且a2,a7,a22成等比數(shù)列, (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若數(shù)列的前n項和為Tn,求證:≤Tn<. 解] (1)由已知及等差數(shù)列的性質(zhì)得S5=5a3,∴a3=14,1分 又a2,a7,a22成等比數(shù)列,即a=a2·a22.2分 由(a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)且d≠0, 解得a1=d,∴a1=6,d=4.4分 故數(shù)列{an}的通項公式為an=4n+2,n∈N*.6分 (2)證明:由(1)得Sn==2n2+4n,==,8分 ∴T

11、n=1-+-+…+- =-.10分 又Tn≥T1=-=, 所以≤Tn<.12分 裂項相消法的基本思想就是把通項an分拆成an=bn+k-bn(k≥1,k∈N*)的形式,常見的裂項方式有: (1)=; (2)=; (3)=(-). 提醒:在裂項變形時,務(wù)必注意裂項前的系數(shù). 變式訓(xùn)練2] (名師押題)已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列,且a1+a4=9,a2a3=8. (1)求數(shù)列{an}的通項公式; (2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,bn=,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解] (1)由題設(shè)知a1·a4=a2·a3=8,2分 又a1+a4=9,可得或(舍去)4分

12、 由a4=a1q3得公比q=2,故an=a1qn-1=2n-1.6分 (2)Sn==2n-1.8分 又bn===-,10分 所以Tn=b1+b2+…+bn=++…+=-=1-.12分 熱點題型3 錯位相減法求和 題型分析:限于數(shù)列解答題的位置較為靠前,加上錯位相減法的運算量相對較大,故在近5年中僅有1年對該命題點作了考查,但其仍是命題的熱點之一,務(wù)必加強(qiáng)訓(xùn)練.  已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1(n∈N*). (1)求an與bn; (2)記數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn,求Tn.

13、解] (1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(n∈N*).2分 由題意知: 當(dāng)n=1時,b1=b2-1,故b2=2.3分 當(dāng)n≥2時,bn=bn+1-bn.4分 整理得=,所以bn=n(n∈N*).6分 (2)由(1)知anbn=n·2n, 因此Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n, 2Tn=22+2·23+3·24+…+n·2n+1,8分 所以Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1.9分 故Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N*).12分 運用錯位相減法求和應(yīng)注意:一是判斷模型,即判斷數(shù)列{an},{bn}中一個為等差數(shù)列,一個為等比數(shù)列

14、;二是錯開位置,一般先乘以公比,再把前n項和退后一個位置來書寫,這樣避免兩式相減時看錯列;三是相減,相減時一定要注意式中最后一項的符號,考生常在此步出錯,一定要細(xì)心. 提醒:為保證結(jié)果正確,可對得到的和取n=1,2進(jìn)行驗證. 變式訓(xùn)練3] 已知在公比大于1的等比數(shù)列{an}中,a2,a4是函數(shù)f(x)=(x-2)(x-8)的兩個零點. (1)求數(shù)列{an }的通項公式; (2)求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn. 解] (1)因為a2,a4是函數(shù)f(x)=(x-2)(x-8)的兩個零點,且等比數(shù)列{an}的公比q大于1,所以a2=2,a4=8,2分 所以q=2,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1(n∈N*).6分 (2)由(1)知2nan=n×2n ,所以Sn=1×2+2×22+…+n×2n,①7分 2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,②8分 由①-②,得-Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1,11分 所以Sn=2+(n-1)×2n+1(n∈N*).12分

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