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2019-2020年高中數(shù)學 第三章《不等式》學案 北師大版必修5 【知識網(wǎng)絡(luò)】 同加性 傳遞性 同乘性 對稱性 不等式的性質(zhì) 實數(shù)比較大小 不等式的證明 綜合法 分析法 比較法 常規(guī)方法 特殊方法 換元法 放縮法 判別式法法 反證法 數(shù)學歸納法法 解不等式 基本類型不等式的解法 n元均值不等式 絕對值不等式的性質(zhì) 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 一元一次不等式 1．1 不等式的性質(zhì) 【考點透視】 一、考綱指要 1．理解不等式的性質(zhì)及其證明. 二、命題落點 1．不等式的性質(zhì)主要以客觀題形式出現(xiàn)往往融于其他問題之中，.如例1，例2 2．利用不等式的性質(zhì)結(jié)合已知條件比較大小、判斷不等式有關(guān)結(jié)論是否成立或利用不等式研究變量的范圍，求字母的取值或取值范圍等..如練習9. 【典例精析】 例1 : 若則下列不等式不能成立的是（ ） A． B． C． D． 解析: 由 知 ab >0, 因此成立; 由 得 由于是減函數(shù), 所以亦成立,故一定不成立的是B． 答案：B． 例2：（xx?北京）設(shè)a，b，c，d∈R，且a>b，c>d，則下列結(jié)論中正確的是（ ） A．a(chǎn)+c>b+d B．a(chǎn)－c>b－d C．a(chǎn)c>bd D． 解析：∵a>b，c>d，∴a+c>b+D． 答案：A． 例3：（xx?福建）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 解析:不等式的解是x>或x<. 答案：A． 【常見誤區(qū)】 1．不等式的“運算”只有加法法則和乘法法則，沒有減法法則和除法法則，再利用數(shù)的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化時往往出錯； 2．在運用不等式的性質(zhì)是對不等式進行了非同解變形. 【基礎(chǔ)演練】 1．（xx?北京）已知a、b、c滿足，且，那么下列選項中不一定成立的是 （ ） A． B． C． D． 2．（xx?湖北) 若，則下列不等式①；②③；④中，正確的不等式有 （ ） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 3．（xx?遼寧）對于，給出下列四個不等式 （ ） ① ② ③ ④ 其中成立的是 （ ） A．①與③ B．①與④ C．②與③ D．②與④ 4. 對“、、是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷： ①； ②＞與＜及≠中至少有一個成立； ③≠，≠，≠不能同時成立．其中判斷正確的個數(shù)為 （ ） A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 5．二次函數(shù)的部分對應值如下表： x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 則不等式的解集是_________________． 6．若不等式有且只有一個解，則實數(shù) ． 7．比較大?。号c（且）. 8．已知, 求證． 9．定義在上的函數(shù)滿足: 如果對任意x1, x2∈R, 都有 ≤ 則稱函數(shù) 是上的凹函數(shù)． 已知二次函數(shù) 求證: 當時, 函數(shù)是凹函數(shù)． 1．2 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 【考點透視】 一、考綱指要 1．掌握兩個(不擴展到三個)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應用. 二、命題落點 1．以二元均值不等式的考查最為常見，命題形式往往在選擇題或填空題中，如例1，例2，例3. 2．在解答題中常與最值問題結(jié)合在一起以及函數(shù)的值域等知識一起考查，試題解法突出常規(guī)方法，淡化特殊技巧，一般以求最值的形式來問如練習題9. 【典例精析】 例1:（xx?全國1）當時，函數(shù)的最小值為（ ） A．2 B． C．4 D． 解析： ，當且僅當，即時，取“”，∵，∴存在使，這時， 答案：C． 例2：(xx?福建) 下列結(jié)論正確的是（ ） A．當 B． C．的最小值為2 D．當無最大值 解析：A中l(wèi)gx不滿足大于零,C中的最小值為2的x值取不到,D 當x=2時有最大值,選B． 答案：B 例3：（xx?重慶）若 是正數(shù)，則的最小值是（ ） A．3 B． C．4 D． 解析： 當且僅當 得時. 答案：C 【常見誤區(qū)】 1．在運用均值不等式時，對等號成立的條件不注意往往出錯； 2．不注意各種不等式成立的條件，誤用公式，特別是非負性的考慮. 【基礎(chǔ)演練】 1．(xx?陜西) 已知不等式(x+y)( + )≥9對任意正實數(shù)x,y恒成立,則正實數(shù)a的最小值為 （ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（xx?全國）的最小值為 （ ） A．－ B．－ C．－－ D．+ 3．已知函數(shù)的反函數(shù)為則的最小值為 （ ） A．1 B． C． D． 4．函數(shù)的最大值是 （ ） A． B． C． D． 5．（xx全國3）已知在△ABC中，∠ACB=90，BC=3，AC=4，P是AB上的點，則點P到AC、BC的距離乘積的最大值是 . 6．已知正數(shù)則滿足不等式的實數(shù)的取值范圍是　?。? 7．是否存在常數(shù)，使得不等式對任意正實數(shù) 、恒成立？證明你的結(jié)論． 8．已知，且，求： （1）的最小值； （2）若直線與軸，軸分別交于，求面積的最小值. 9．在交通擁擠地段，為了確保交通安全，規(guī)定機動車相互之間的距離d(米)與車速v(千米/ 小時)需遵循的關(guān)系是d≥(其中a(米)是車身長，a為常量)，同時規(guī)定d≥． （1）當d=時，求機動車車速的變化范圍； （2）設(shè)機動車每小時流量Q=，應規(guī)定怎樣的車速，使機動車每小時流量Q最大？ 1．3 不等式的證明 【考點透視】 一、考綱指要 1．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式； 2．理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 二、命題落點 1．不等式的證明的考查主要是與數(shù)列、函數(shù)、導數(shù)、向量等知識相結(jié)合考察不等式的證明方法特別是數(shù)學歸納法、綜合法、比較法等方法的掌握，如例1. 2．考查不等式的基礎(chǔ)知識、分類討論的思想、綜合思維能力，如例2，例3. 【典例精析】 例1：(xx?江蘇)已知函數(shù)滿足下列條件：對任意的實數(shù)x1，x2都有 和，其中是大于0的常數(shù).設(shè)實數(shù)a0，a，b滿足 和． （1）證明：，并且不存在，使得； （2）證明：； （3）證明：. 解析：（1）任取 和 ② 可知 ， 從而 . 假設(shè)有①式知 ∴不存在 （2）由 ③ 可知 ④ 由①式，得 ⑤ 由和②式知， ⑥ 由⑤、⑥代入④式，得 ． （3）由③式可知 （用②式） （用①式） 例2：(xx?北京) 設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，且滿足條件： ① ②對任意的 （1）證明：對任意的 （2）證明：對任意的 （3）在區(qū)間[－1，1]上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)，且使得 若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由. 解析：（1）由題設(shè)條件可知，當時，有 即 （2）對任意的 當不妨設(shè)則 所以， 綜上可知，對任意的都有 由（1）可得，當時， 當 所以，當因此，對任意的 當時，當 時，有 且 所以 綜上可知，對任意的都有 （3）滿足所述條件的函數(shù)不存在. 理由如下，假設(shè)存在函數(shù)滿足條件，則由 得 又所以① 又因為為奇數(shù)，所以由條件 得 ② ①與②矛盾，所以假設(shè)不成立，即這樣的函數(shù)不存在. 例3：正項數(shù)列滿足． （1）求及; （2）　試確定一個正整數(shù)N, 使當時, 不等式 >成立; （3）求證: (1+)<． 解析：（1）(－1)(+1)=0, 又∵ ，故=, ， ==, =, =, …, = ． （2） 由==－(), =1+(－)+(－)+ … +(－)=2－ 從而有2－>, ∴<, 即n！>121． ∵5！=120, 6！=720, ∴n>5取N=5, n>N時, 原不等式成立. （3） (1+)展開式通項: T=C()= … <(r=0, 1, 2, 3, …, n) (1+)<++++ … += . 【常見誤區(qū)】 1．不注意挖掘隱含條件從而導致錯誤； 2．例用均值不等式時不注意非負性導致錯誤； 3．特別是在運用放縮法時可能會出現(xiàn)過大或過小的情形. 【基礎(chǔ)演練】 1．若a＞b＞1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg（），則 （ ） A．R＜P＜Q B．P＜Q＜R C．Q＜P＜R D．P＜R＜Q 2．若x>0，y>0，且恒成立，則a的最小值是 （ ） A．2 B． C．2 D．1 3．已知則一定有 （ ） A． B． C． D． 4．已知,則 （ ） A． B． C． D． 5．給出下列3個命題：①若，則；②若，則；③若 且，則，其中真命題的序號為______________． 6．已知兩個正數(shù)滿足，則使不等式≥恒成立的實數(shù)m的取值范圍 是 ． 7．（1）求證； （2） 求證 8．已知函數(shù)的最大值不大于，又當 （1）求a的值； （2）設(shè) 9．數(shù)列由下列條件確定： （1）證明：對于, （2）證明：對于． 1.4不等式的解法. 【考點透視】 一、考綱指要 1．掌握簡單不等式的解法. 二、命題落點 1．主要考查一元二次不等式、對數(shù)不等式、指數(shù)不等式的解法主要考查非整式不等式的轉(zhuǎn)化方法；如例1，例2； 2．考查含參分式不等式的解法以及分類討論的思想方法.如例3. 【典例精析】 例1：（xx?重慶）不等式組的解集為（ ） A． B． C． D． 解析：∵的解集為，的解集為 ∴不等式的解集為 答案：C 例2：（xx?遼寧）若，則a的取值范圍是（　?。? A． B． C． D． 解析：法一：代特殊值驗證 法二：①當，即時，無解； ②當，即時，． 答案:C． 例3：（xx?江西）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）且方程f(x)－x+12=0有兩個實根為x1=3, x2=4. （1）求函數(shù)f(x)的解析式； （2）設(shè)，解關(guān)于x的不等式；． 解析：（1）將，得 （2）不等式即為， 即 ①當 ②當 ③． 【常見誤區(qū)】 1．解分式不等式時忘掉分式成立的條件或?qū)瘮?shù)的單調(diào)形運用錯誤； 2．解含參數(shù)不等式時對字母討論不全面. 【基礎(chǔ)演練】 1．(xx?天津) 不等式的解集為 （ ） A． B． C． D． 2．不等式的解集為則實數(shù)a的取值集合為 （ ） A． B． {1 } C． {a| a>1} D． 3．（xx?遼寧）在Ｒ上定義運算：．若不等式對 任意實數(shù)x成立，則 （ ） A． B． C． D． 4．設(shè)函數(shù) ，則使得的自變量的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 5．已知則不等式≤5的解集是 . 6．( xx?全國)設(shè)函數(shù)則實數(shù)a的取值范圍是 ． 7．實系數(shù)方程的一根大于0且小于1, 另一個根大于1且小于2, 求的 取值范圍. 8．解關(guān)于x的不等式＜0（a∈R）． 9．記函數(shù)f(x)=的定義域為A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定義域為B． （1）求A； （2）若BA, 求實數(shù)a的取值范圍. 1．5 含有絕對值的不等式 【考點透視】 一、考綱指要 1．掌握絕對值不等式的概念及其性質(zhì). 2．理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│. 二、命題落點 1．含絕對值不等式的解法主要出現(xiàn)在選擇題、填空題中；如例1，例2； 2．證明主要出現(xiàn)在解答題中對能力要求較高.如例3. 【典例精析】 例1： (xx?遼寧) 設(shè)全集U=R 解關(guān)于x的不等式． 解析： 由 當時，解集是R； 當時，解集是 例2:（xx?山東），下列不等式一定成立的是（　?。? A． B． C． D． 解析：∵ 01，0<1－a<1, , ∴． 答案: A． 例3：（xx?浙江）已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點對稱，且f(x)＝x2＝2x． （1）求函數(shù)g(x)的解析式； （2）解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|． 解析：（1）設(shè)函數(shù)y=f(x)的圖象上任一點Q(xq,yq關(guān)于原點的對稱點(x,y), 則即∵點 在函數(shù)的圖象上, ∴ 故． （2）由g(x)≥f(x)－|x－1|，可得2x2-|x-1|≤0． 當x≥1時,2x2-x+1≤0,此時不等式無解； 當x<1時,2x2+x-1≤0,∴-1≤x≤． 因此，原不等式的解集為[-1,]． 【常見誤區(qū)】 1．運用不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│時出現(xiàn)錯誤； 2．對絕對值的意義理解有誤，分類不全面導致錯誤. 【基礎(chǔ)演練】 1．不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是 （ ） A． B． C． D． 3．若不等式的解集為（－1，2），則實數(shù)a等于 （ ） A．8 B．2 C．－4 D．－8 4．若，∈R，則不等式≥的解集為R的充要條件是 （ 　） A． B． C．且≤ D．且≥ 5．不等式|x+2|≥|x|的解集是 . 6．不等式的解集 . 7．解不等式. 8．設(shè)且求證： 9．某段城鐵線路上依次有A、B、C三站，AB=5km，BC=3km，在列車運行時刻表上，規(guī)定列車8時整從A站發(fā)車，8時07分到達B站并停車1分鐘，8時12分到達C站.在實際運行中，假設(shè)列車從A站正點發(fā)車，在B站停留1分鐘，并在行駛時以同一速度勻速行駛，列車從A站到達某站的時間與時刻表上相應時間之差的絕對值稱為列車在該站的運行誤差. （1）分別寫出列車在B、C兩站的運行誤差; （2）若要求列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，求的取值范圍. 1．6 不等式的應用 【考點透視】 一、考綱指要 1．考查運用不等式在幾何、函數(shù)，以及實際生活中的運用 二、命題落點 1．常結(jié)合函數(shù)、數(shù)列考查不等式的運用，特別是均值不等式的運用如例1，例2，例3. 【典例精析】 例1：（xx?廣西卷）某村計劃建造一個室內(nèi)面積為800的矩形蔬菜溫室。在溫室內(nèi)，沿左．右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3寬的空地。當矩形溫室的邊長各為多少時？蔬菜的種植面積最大。最大種植面積是多少？ 解析：設(shè)矩形溫室的左側(cè)邊長為a m，后側(cè)邊長為b m，則 ab=800. 圖5-6-1 蔬菜的種植面積 所以 當 答：當矩形溫室的左側(cè)邊長為40m，后側(cè)邊長為20m時，蔬菜的種植面積最大，最大種植面積為648m2. 例2：（xx?上海）某單位用木料制作如圖5-6-1所示的框架, 框架的下部是邊長分別為x、y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積8m2. 問x、y分別為多少(精確到0.001m) 時用料最省? 解析：由題意得xy+x2=8, ∴y==(02），則 （ ） A．p>q B．p25時, Q=≤, ∴當=50時Q最大為. 1．3 不等式的證明 1. B 2. C 3. D 4. B　　5. ② 6. 7. （1）令， 由 知， ．于是，原不等式等價于．一方面，令 ， 則有，當 ，有 從而可以知道，函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以有，即得　　 ． 另一面，令 ，則有 ，當時，有，從而可以知道，函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以有 ，即得． 綜上可知 　　　． （2）聯(lián)系不等式（１）和（２），就會發(fā)現(xiàn)，令 時，不等式 也成立，于是代入，將所得各不等式相加，得　　 即 　 8．（1）由于的最大值不大于所以 ① 又所以. ② 由①②得 （2）（i）當n=1時，，不等式成立； 因時不等式也成立. （ii）假設(shè)時，不等式成立， 因為的對稱軸為知為增函數(shù)， 所以由得 于是有 所以當時，不等式也成立. 根據(jù)（i）（ii）可知，對任何，不等式成立. 9． (1) 2）當時， = 1．4 不等式的解法 1. A 2. A 3. C 4. A　　5. 6. . 7. 設(shè)方程的兩個根為由根與系數(shù)關(guān)系的得 依題意得 8. 原式（x－a）（x－a2）＜0，∴x1＝a，x2＝a2． 當a=a2時，a=0或a=1，x∈，當a＜a2時，a＞1或a＜0，a＜x＜a2， 當a＞a2時0＜a＜1，a2＜x＜a， ∴當a＜0時a＜x＜a2，當0＜a＜1時，a2＜x＜a，當a＞1時，a＜x＜a2，當a=0或a=1時，x∈． 9. (1)2－≥0, 得≥0, x<－1或x≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞) (2) 由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).∵BA, ∴2 a≥1或a +1≤－1, 即a≥或a≤－2, 而a <1,∴≤a <1或a≤－2, 故當BA時, 實數(shù) a的取值范圍是 (－∞,－2)∪[,1]． 1．5 含有絕對值的不等式 1. D2. D3. C4. D　5. {x|x≥－1} 6. 7. 原不等式 因為 又 . 所以，原不等式組的解集為 8. 9. （1）列車在B，C兩站的運行誤差（單位：分鐘）分別是和. （2）由于列車在B，C兩站的運行誤差之和不超過2分鐘，所以 . （*） 當時，（*）式變形為, 解得 ; 當時，（*）式變形為, 解得 ; 當時，（*）式變形為, 解得.綜上所述，的取值范圍是[39，]． 1．6 不等式的應用 1. B 2. D 3. C 4. B．　5. xx 6. ； 7. （1）=. （2）解不等式 ＞0,得 ＜＜. ∵　， 　∴　3 ≤≤ 17.故從第3年工廠開始盈利. （3）(i) ∵　≤40 當且僅當時，即x=7時，等號成立. ∴　到xx年，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲利127+30=114萬元. (ii)　　 ，=10時， 故到2011年，盈利額達到最大值，工廠共獲利102+12=114萬元. 8. 設(shè)裁員人，可獲得的經(jīng)濟效益為萬元,則 = 依題意 ≥，∴0<≤.又140<<420, 70<<210. (1)當0<≤,即70<≤140時， , 取到最大值; (2)當>,即140<<210時， , 取到最大值; 綜上所述，當70<≤140時，應裁員人；當140<<210時，應裁員人. 9. （1）安全負荷為正常數(shù)） 翻轉(zhuǎn) ，安全負荷變大.…4分當 ，安全負荷變小. （2）如圖，設(shè)截取的寬為a，高為d，則. ∵枕木長度不變，∴u=ad2最大時，安全負荷最大. ，當且僅當，即取， 取時，u最大， 即安全負荷最大. 本章測試題 一、選擇題 1.A 　2.B　 3.B 　4.C 　5.A 　6.A　7.A 　8.A 　9.B 　10.B 　11. A　12.B 二、填空題 13. －2; 14.－2; 15. 1 16. 4 三、解答題 17.． （1）當時，得，且， 此時． （2）當時，，得且， 此時． （3）當時，與題設(shè)矛盾. 18. （1）∵　 ， ∴，等號當且僅當，　 　　即時取得．∴的最小值為． ?。?）不等式即為，也就是， 　　令，則在上恒成立， 　　∴，解得. 19. 當|a|≤|b|時，不等式顯然成立．當|a|>|b|時， 左=≥≥ =． 20.（1） 由或x>3，任取x10 且(x1+3)(x2-3)>0 ,∴ 當a>1時，f(x1)-f(x2)<0, ∴ f(x)單調(diào)遞增，當00,∴f(x)單調(diào)遞減. （2）若f(x)=g(x)有實根，即：．∴ ∴ 即方程：有大于3的實根． （∵ x>3） ． “=”當且僅當x-3=即下＝3＋2時成立，∴a∈（0，） （3） h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-=ln(x-3)-，（x）=,由＝0有x2-3x-4=0,解得x1=4;x2=-1（舍去）．當x∈[4,6]時，h!(x)<0,h(x)單調(diào)遞減；所以函數(shù)h(x)在[4，6]上的最小值為h(6)=ln3-4，最大值為h(4)=-2. 21.（1）由，當時，由題意，可得， 所以. （2）由 ． 當且僅當，即時取等號，所以第8年工廠的利潤最高，最高為520萬元. 22. 可以組建如下命題： 命題一：△中，若、、成等差數(shù)列，求證：（1）0＜B≤;（2）； 命題二：△中，若、、成等差數(shù)列,求證：（1）0＜B≤; （2）1＜≤ 命題三：△中，若、、成等差數(shù)列,求證：（1）; （2）1＜≤ 命題四：△中，若、、成等比數(shù)列, 求證：（1）0＜B≤; （2）1＜≤ ． 證明：（1）∵,,成等差數(shù)列∴b=． ∴≥， 且∴0＜≤； （2）； （3）． ∵0＜B≤ ，∴， ∴， ∴． （4）∵、、成等比數(shù)列，∴，∴且，∴0＜≤ ．