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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《幾個三角恒等式》教案1 蘇教版必修4 【三維目標(biāo)】： 一、知識與技能 1. 能運(yùn)用兩角和的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶). 揭示知識背景，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識與建模意識. 2.能夠推導(dǎo)“和差化積”及“積化和差”公式，并對此有所了解. 3.能較熟練地運(yùn)用公式進(jìn)行化簡、求值、探索和證明一些恒等關(guān)系，進(jìn)一步體會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會如何綜合利用這些公式解決問題. 4.梳理公式體系，通過本章知識結(jié)構(gòu)圖，進(jìn)一步加強(qiáng)對各公式之間內(nèi)在聯(lián)系的理解。 5.通過例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對變換對象目標(biāo)進(jìn)行對比、分析，促使學(xué)生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力． 二、過程與方法 1.讓學(xué)生自己導(dǎo)出“和差化積”及“積化和差”公式，領(lǐng)會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣；同時讓學(xué)生初步體會如何利用三角函數(shù)研究簡單的實際問題.通過例題講解，總結(jié)方法.通過做練習(xí),鞏固所學(xué)知識. 2.通過總結(jié)知識結(jié)構(gòu)圖，發(fā)展學(xué)生推理能力和運(yùn)算能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、推廣、特殊化和化歸思想方法。 3.通過解決問題，引導(dǎo)學(xué)生明確三角變換是三角函數(shù)式的結(jié)構(gòu)形式變換；角的變換；不同三角函數(shù)之間的變換。 4.通過恒等變換公式的簡單應(yīng)用，提升解決問題的基本能力。 5.提高三角變換的能力 三、情感、態(tài)度與價值觀 1.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，使同學(xué)們對三角恒等變形公式的意義和作用有一個初步的認(rèn)識；理解并掌握三角函數(shù)各個公式的靈活變形，體會公式所蘊(yùn)涵的和諧美，增強(qiáng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力. 2.讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探索和發(fā)現(xiàn)的欲望和信心，體驗成功的感覺． 3.通過公式的推導(dǎo)和應(yīng)用培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范的思維品質(zhì)和辯證唯物主義觀點(diǎn). 4.通過知識結(jié)構(gòu)圖和公式應(yīng)用使學(xué)生了解三角恒等變換及三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)，規(guī)范的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，發(fā)展正向、逆向思維和發(fā)散思維能力。 5.通過和差化積公式和積化和差公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)探索和發(fā)現(xiàn)過程，激發(fā)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的欲望和信心 【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】： 重點(diǎn): 三角恒等變形（梳理三角恒等變換公式體系，滲透觀察、類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法；熟練恒等變換公式，解決簡單問題的應(yīng)用）。 難點(diǎn):“和差化積”及“積化和差”公式的推導(dǎo)（公式推導(dǎo)，解決問題中觀察、類比、推廣、特殊化、化歸等思想方法的滲透）。 【學(xué)法與教學(xué)用具】： 1. 學(xué)法：(1)自主+探究性學(xué)習(xí)：讓學(xué)生自己根據(jù)已有的知識導(dǎo)出“和差化積”及“積化和差”公式，領(lǐng)會這些三角恒等變形公式的意義和作用，體會公式所蘊(yùn)涵的和諧美，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。 (2)反饋練習(xí)法：以練習(xí)來檢驗知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距. 2.教學(xué)方法：觀察、歸納、啟發(fā)、探究相結(jié)合的教學(xué)方法。 3. 教學(xué)用具：多媒體、實物投影儀. 【授課類型】：新授課 【課時安排】：1課時 【教學(xué)思路】： 一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題 請回憶兩角和與差的余弦公式、正弦公式；問你能否用sin與sin表示sincos和cos sin？類似地能否用cos與cos來表示coscos和sinsin？ 二、研探新知 1.和差化積與積化和差公式的推導(dǎo) 師：右邊的兩個角如何用左邊的兩個角表示？ 引導(dǎo)學(xué)生觀察等式兩邊角度之間的關(guān)系，右邊的兩個角分別是左邊兩個角的和、差的一半。 師：通過類比，對任意兩個角，應(yīng)該等于什么？運(yùn)用已知的公式加以推導(dǎo)驗證。 兩式相加得： 　(1) 設(shè)，，則，，公式(1)可以寫成： 師：公式(1)實際上還可以變形成 兩角的正弦與余弦的乘積可以轉(zhuǎn)化成另兩個角的正弦的和。讓學(xué)生通過類比，猜測任意兩個角的其它三角函數(shù)的積、和的規(guī)律并在下一步加以證明。 回憶兩角和與差的三角函數(shù)公式： 由公式（1）的推導(dǎo)過程，請學(xué)生進(jìn)行類比，寫出所有的積化和差的公式： 師：這組公式稱為三角函數(shù)的積化和差公式。只要求熟悉公式結(jié)構(gòu)，不要求記憶。其特點(diǎn)是化成和之后都是同名的三角函數(shù)，注意每個公式前面的系數(shù)。由積化和差公式，變形可以得到： ， 再通過換元，請學(xué)生自行整理和差化積公式。 師：這組公式稱為和差化積公式，其特點(diǎn)是同名的正（余）弦才能使用，它與積化和差公式相輔相成，配合使用。利用四個和差化積的公式和其他三角函數(shù)關(guān)系式，我們可以把某些三角函數(shù)的和差化成積的形式。 在投影儀上，將例1與練習(xí)A的第1,3題，打出來，讓學(xué)生做，教師巡視檢查完成情況，并訂正。 提醒學(xué)生注意，化積問題的結(jié)果必須是幾個三角函數(shù)的積的形式。 2.萬能公式 證明：（1） （2） （3） 3.常用的恒等式 1.（1） 分析：本題考查二倍角與和差角公式； 類似的恒等式還有： （2） （3） 三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 例1 已知，，tana =，tanb =，求2a + b 解： ∴ 又∵tan2a < 0，tanb < 0 ∴， ∴ ∴2a + b = 例3 已知sina - cosa = ，，求和tana的值 解：∵sina - cosa = ∴ 化簡得： ∴ ∵ ∴ ∴ 即 例4 已知cosa - cos b = ，sina - sinb = ，求sin(a + b)、tan(a + b)的值 解：∵cosa - cos b = ，∴ ① sina - sin b =，∴ ② ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 例5 求證：sin3asin3a + cos3acos3a = cos32a 證明：左邊 = (sin3asina)sin2a + (cos3acosa)cos2a = -(cos4a - cos2a)sin2a + (cos4a + cos2a)cos2a = -cos4asin2a +cos2asin2a +cos4acos2a +cos2acos2a = cos4acos2a + cos2a = cos2a(cos4a + 1) = cos2a2cos22a = cos32a = 右邊 ∴原式得證 例6試以表示． 解：我們可以通過二倍角和來做此題． 因為，可以得到； 因為，可以得到． 又因為． 思考：代數(shù)式變換與三角變換有什么不同？ 代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換．對于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系，這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn)． 例7 把下列各式化成積的形式：(1) (2) (3) (4) (5) 例8 已知A＋B＋C＝180，求證： 四、鞏固深化，反饋矯正 1.化簡①；②；③ 2.要使半徑為R的半圓形木料截成長方形（如圖），應(yīng)怎樣截取才能使長方形的面積最大？ 五、歸納整理，整體認(rèn)識 （1）本節(jié)重點(diǎn)學(xué)習(xí)了兩組公式，不要求記住這兩組公式，但要學(xué)會運(yùn)用這些公式進(jìn)行三角函數(shù)和差與積的互化，并能夠運(yùn)用公式解決求值、化簡和證明等問題。 （2）化積的問題注意最后結(jié)果的形式要寫成幾個三角函數(shù)的積的形式。 （3）推導(dǎo)公式的過程中用了換元法，這是一種很常用的方法，要注意該方法在解題中的應(yīng)用。 六、承上啟下，留下懸念 七、板書設(shè)計（略） 八、課后記： gkxx