2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 4.3 函數(shù)模型及其應(yīng)用教案 新課標(biāo).doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 4.3 函數(shù)模型及其應(yīng)用教案 新課標(biāo) 知識(shí)歸納 1.求解函數(shù)應(yīng)用問題的思路和方法 2.函數(shù)建模的基本流程 誤區(qū)警示 求解函數(shù)應(yīng)用題時(shí),關(guān)鍵環(huán)節(jié)是審題,審題時(shí): 一要弄清問題的實(shí)際背景,注意隱含條件; 二是將文字語言恰當(dāng)準(zhǔn)確的翻譯為數(shù)學(xué)語 言,用數(shù)學(xué)表達(dá)式加以表示; 三是弄清給出什么條件,解決什么問題,通 過何種數(shù)學(xué)模型加以解決; 四是嚴(yán)格按各種數(shù)學(xué)模型的要求進(jìn)行推理運(yùn) 算,并對(duì)運(yùn)算結(jié)果作出實(shí)際解釋. 3.常見函數(shù)模型的理解 (1)一次函數(shù)模型(其增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線上升(的系數(shù)),通過圖象可很直觀地認(rèn)識(shí)它)、 二次函數(shù)型、正反比例函數(shù)型 (2)指數(shù)函數(shù)模型:能用指數(shù)型函數(shù)表達(dá)的函數(shù)模型,其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快,常形象地稱之為“指數(shù)爆炸”。 (3)對(duì)數(shù)函數(shù)模型:能用對(duì)數(shù)函數(shù)表達(dá)式表達(dá)的函數(shù)模型,其增長(zhǎng)特點(diǎn)是開始階段增長(zhǎng)得較快,但隨著的逐漸增大,其函數(shù)值變化越來越慢,常稱之為“蝸牛式增長(zhǎng)”。 (4)冪函數(shù)模型:能用冪函數(shù)表示表達(dá)的函數(shù)模型,其增長(zhǎng)情況隨中的取值變化而定,常見的有二次函數(shù)模型。 (5)分式(“勾”) 函數(shù)模型:形如的函數(shù)模型,在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用,常利用“基本不等式”解決,有時(shí)通過利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性來求最值。 四.典例解析 題型1:正比例、反比例、一次函數(shù)型和二次函數(shù)型 例1.某種商品原來定價(jià)為每件a元時(shí),每天可售出m件,現(xiàn)在把定價(jià)降低x個(gè)百分點(diǎn)(即x%)后,售出數(shù)量增加了y個(gè)百分點(diǎn),且每天的銷售額是原來的k倍。 (1) 設(shè)y=nx,其中n是大于1的常數(shù),試將k寫成x的函數(shù); (2) 求銷售額最大時(shí)x的值(結(jié)果可用喊n的式子表示); (3) 當(dāng)n=2時(shí),要使銷售額比原來有所增加,求x的取值范圍。 解:(1)依題意有a(1-x%)m(1+y%)=kam,將y=nx代入,化簡(jiǎn)得 (2)由(1)知當(dāng)時(shí),k值最大。因?yàn)殇N售額為amk,所以此時(shí)銷售額也最大,且銷售額最大為元。 (3)當(dāng)n=2時(shí),要使銷售額有所增加,需k>1,所以>0,故x∈(0,50),這就是說,當(dāng)銷售額有所增加時(shí),降價(jià)幅度的范圍需要在原價(jià)的一半以內(nèi)。 題型2:分段函數(shù)型 例2某廠生產(chǎn)某種零件,每個(gè)零件的成本為40元,出廠單價(jià)定為60元,該廠為鼓勵(lì)銷售商訂購,決定當(dāng)一次訂購量超過100個(gè)時(shí),每多訂購一個(gè),訂購的全部零件的出廠單價(jià)就降低0.02元,但實(shí)際出廠單價(jià)不能低于51元。 (I)當(dāng)一次訂購量為多少個(gè)時(shí),零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元? (II)設(shè)一次訂購量為x個(gè),零件的實(shí)際出廠單價(jià)為P元,寫出函數(shù)的表達(dá)式; (III)當(dāng)銷售商一次訂購500個(gè)零件時(shí),該廠獲得的利潤(rùn)是多少元?如果訂購1000個(gè),利潤(rùn)又是多少元?(工廠售出一個(gè)零件的利潤(rùn)=實(shí)際出廠單價(jià)-成本) [解題思路]根據(jù)題意及“工廠售出一個(gè)零件的利潤(rùn)=實(shí)際出廠單價(jià)-成本”建立函數(shù)模型進(jìn)行求解 【解析】(1)設(shè)每個(gè)零件的實(shí)際出廠價(jià)恰好降為51元,一次訂購量為個(gè),則。 因此,當(dāng)一次定購量為550個(gè)時(shí),零件的實(shí)際出廠單價(jià)恰降為51元。 (2)當(dāng)時(shí),P=60; 當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),P=51。 所以 (3)設(shè)銷售商的一次訂購量為個(gè)時(shí),該廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)元,則 , 當(dāng)時(shí),L=6000;當(dāng)時(shí),L=11000。 故當(dāng)銷售商一次訂購 500 個(gè)零件時(shí),該廠獲得的利潤(rùn)是6000元;如果訂購1000個(gè),利潤(rùn)是11000元. [名師指引]求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題必須突破三關(guān): (1)閱讀理解關(guān):一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量都比較大,要通過閱讀審題,找出關(guān)鍵詞、句,理解其意義. (2)建模關(guān):即建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型,將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題. (3)數(shù)理關(guān):運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決已建立的數(shù)學(xué)模型. 題型3:指數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù) 例3.按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄,本金為a元,每期利率為r,設(shè)本利和為y,存期為x,寫出本利和y歲存期x變化的函數(shù)式,如果存入本金1000元,每期利率2.25%,試計(jì)算5期后的本利和是多少? 解:已知本金為a元,1期后的本利和為y1=a+ar=a(1+r),2期后的的本利和為y2=a(1+r)2,。。。。x期后的本利和為:y=a(1+r)x, 將a=1000,r=2.25%,x=5代入得y=1000(1+2.25%)5 用計(jì)算器可得y=1117.68(元) 點(diǎn)評(píng):對(duì)于指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)要熟練應(yīng)用近似計(jì)算的知識(shí),來對(duì)事件進(jìn)行合理的解析。 題型4:分式(不等式)型 例4.對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為: 為, 要求清洗完后的清潔度為. 有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質(zhì)量變?yōu)? 設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是, 用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是, 其中是該物體初次清洗后的清潔度.。 (Ⅰ)分別求出方案甲以及時(shí)方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少; (Ⅱ)若采用方案乙, 當(dāng)為某固定值時(shí), 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時(shí)對(duì)最少總用水量多少的影響. 解析:(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有=0.99,解得x=19. 由得方案乙初次用水量為3, 第二次用水量y滿足方程: 解得y=4,故z=4+3. 即兩種方案的用水量分別為19與4+3. 因?yàn)楫?dāng),故方案乙的用水量較少. (II)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為與,類似(I)得 ,(*) 于是+ 當(dāng)為定值時(shí),, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.此時(shí) 將代入(*)式得 故時(shí)總用水量最少, 此時(shí)第一次與第二次用水量分別為, 最少總用水量是. 當(dāng),故T()是增函數(shù),這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量. 點(diǎn)評(píng):該題建立了函數(shù)解析式后,通過基本不等式“”解釋了函數(shù)的最值情況,而解決了實(shí)際問題。該問題也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷。 五.思維總結(jié) 1.將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型,比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異,結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義。 2.怎樣選擇數(shù)學(xué)模型分析解決實(shí)際問題 數(shù)學(xué)應(yīng)用問題形式多樣,解法靈活。在應(yīng)用題的各種題型中,有這樣一類題型:信息由表格數(shù)據(jù)的形式給出,要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化處理,建立數(shù)學(xué)模型,解答有關(guān)的實(shí)際問題。解答此類題型主要有如下三種方法: (1)直接法:若由題中條件能明顯確定需要用的數(shù)學(xué)模型,或題中直接給出了需要用的數(shù)學(xué)模型,則可直接代入表中的數(shù)據(jù),問題即可獲解; (2)列式比較法:若題所涉及的是最優(yōu)化方案問題,則可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)先列式,然后進(jìn)行比較; (3)描點(diǎn)觀察法:若根據(jù)題設(shè)條件不能直接確定需要用哪種數(shù)學(xué)模型,則可根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行描點(diǎn),作出散點(diǎn)圖,然后觀察這些點(diǎn)的位置變化情況,確定所需要用的數(shù)學(xué)模型,問題即可順利解決。下面舉例進(jìn)行說明。 六:作業(yè) 《走向高考》 課后練習(xí) 1某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元/(千瓦時(shí)),年用電量為a千瓦時(shí).本年度計(jì)劃將電價(jià)降到0.55元/(千瓦時(shí))至0.75元/(千瓦時(shí))之間,而用戶期望電價(jià)為0.4元/(千瓦時(shí)).經(jīng)測(cè)算,下調(diào)電價(jià)后新增的用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶期望電價(jià)的差成反比(比例系數(shù)為k).該地區(qū)電力的成本價(jià)為0.3元/(千瓦時(shí)). (1)寫出本年度電價(jià)下調(diào)后,電力部門的收益y與實(shí)際電價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式; (2)設(shè)k=0.2a,當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)仍可保證電力部門的收益比上年至少增長(zhǎng)20%? 〔注:收益=實(shí)際用電量(實(shí)際電價(jià)-成本價(jià))〕 [解題思路]先根據(jù)題意寫出收益y與實(shí)際電價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式,然后再列出不等式求解 [解析] (1)設(shè)下調(diào)后的電價(jià)為x元/(千瓦時(shí)),依題意知用電量增至+a,電力部門的收益為y=(+a)(x-0.3)(0.55≤x≤0.75). (2)依題意有 整理得 解此不等式得0.60≤x≤0.75. 答:當(dāng)電價(jià)最低定為0.60元/(千瓦時(shí))時(shí),仍可保證電力部門的收益比去年至少增長(zhǎng)20%. 2.運(yùn)貨卡車以每小時(shí)千米的速度勻速行駛130千米路程, 按交通法規(guī)限制50≤x≤100 (單位: 千米/小時(shí)). 假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元, 而汽車每小時(shí)耗油升, 司機(jī)的工資是每小時(shí)14元. (Ⅰ)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于y的表達(dá)式; (Ⅱ)當(dāng)為何值時(shí), 這次行車的總費(fèi)用最低, 并求出最低費(fèi)用的值(精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位,). [解題思路]根據(jù)題意建立y與x的函數(shù)關(guān)系,然后再求y的最小值 (Ⅰ)設(shè)行車所用時(shí)間為 ∴ 所以,這次行車總費(fèi)用關(guān)于的表達(dá)式是: (或:) (Ⅱ), 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),上述不等式中等號(hào)成立 答:當(dāng)約為56.88km/h時(shí),這次行車的總費(fèi)用最低,最低費(fèi)用的值約為82.16元. 3.某廠家擬在xx年舉行促銷活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測(cè)算,該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元(m≥0)滿足,如果不搞促銷活動(dòng),則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件。已知xx年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金,不包括促銷費(fèi)用)。 (1)將xx年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù); (2)該廠家xx的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大? 解:(1)由題意可知,當(dāng), 每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為(元), (2), (萬元)時(shí),(萬元)。所以該廠家xx年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大,最大值為21萬元。- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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