《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù) 分層限時跟蹤練57-人教版高三數(shù)學(xué)試題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一章 算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù) 分層限時跟蹤練57-人教版高三數(shù)學(xué)試題（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、分層限時跟蹤練(五十七) (限時40分鐘) 一、選擇題 1．(2015·合肥模擬)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理(　　) A．結(jié)論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．全不正確 【解析】　因為f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確． 【答案】　C 2．[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[π]＝3. S1＝[]＋[]＋[]＝3， S2＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝10， S3＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21， …， 依此規(guī)律，那么S10等于(

2、　　) A．210　　　B．230 C．220　　　D．240 【解析】　∵[x]表示不超過x的最大整數(shù)， ∴S1＝[]＋[]＋[]＝1×3＝3， S2＝[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝2×5＝10， S3＝[]＋[]＋…＋[]＝3×7＝21 …， Sn＝[]＋[]＋[]＋…＋[]＝n(2n＋1)， ∴S10＝10×21＝210. 【答案】　A 3．在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則＝，推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則＝(　　) A. B. C. D. 【解析

3、】　正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3，故＝. 【答案】　D 4. (2015·上海模擬)如圖11-2-3所示，有一個六邊形的點陣，它的中心是1個點(算第1層)，第2層每邊有2個點，第3層每邊有3個點，…，依此類推，如果一個六邊形點陣共有169個點，那么它的層數(shù)為(　　) 圖11-2-3 A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】　由題意知，第1層的點數(shù)為1，第2層的點數(shù)為6，第3層的點數(shù)為2×6，第4層的點數(shù)為3×6，第5層的點數(shù)為4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)層的點數(shù)為6(n－1)．設(shè)一個點陣有n(n≥2，n∈N*)層，則共有的點數(shù)為1＋6＋6×2＋…＋6(n－

4、1)＝1＋×(n－1)＝3n2－3n＋1，由題意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8層． 【答案】　C 5．我們知道，在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點到三邊的距離之和為定值a，類比上述結(jié)論，在邊長為a的正四面體內(nèi)任一點到其四個面的距離之和為定值(　　) A.a B.a C.a D.a 【解析】　正四面體內(nèi)任一點與四個面組成四個三棱錐，它們的體積之和為正四面體的體積，設(shè)點到四個面的距離分別為h1，h2，h3，h4，每個面的面積為a2，正四面體的體積為a3， 則有×a2(h1＋h2＋h3＋h4)＝a3， 得h1＋h2＋h3＋h4＝a.

5、【答案】　A 二、填空題 6．(2015·棗莊模擬)在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在凸四邊形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在凸五邊形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，…，依此類推，在凸n邊形A1A2…An中，不等式＋＋…＋≥____________成立． 【解析】　∵＋＋≥＝，＋＋＋≥＝，＋＋＋＋≥＝，…，∴＋＋…＋≥(n∈N*，n≥3)． 【答案】　(n∈N*，n≥3) 7．在平面幾何中：△ABC中∠C的平分線CE分AB所成的線段的比為＝(如圖11-2-4(1))．把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐A-BCD中(如圖11-2-4(2))，面DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交

6、于E，則類比得到的結(jié)論是______________． 圖11-2-4 【解析】　由平面中線段的類比空間中面積的比可得＝. 【答案】?。? 8．(2015·陜西高考)觀察下列等式 1－＝， 1－＋－＝＋， 1－＋－＋－＝＋＋， …， 據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為______________． 【解析】　等式的左邊的通項為－，前n項和為1－＋－＋…＋－；右邊的每個式子的第一項為，共有n項，故為＋＋…＋. 【答案】　1－＋－＋…＋－＝＋＋… 三、解答題 9．觀察下表： 1， 2,3， 4,5,6,7， 8,9,10,11,12,13,14,15， … 問：(1)

7、此表第n行的最后一個數(shù)是多少？ (2)此表第n行的各個數(shù)之和是多少？ (3)2 016是第幾行的第幾個數(shù)？ 【解】　(1)∵第n＋1行的第1個數(shù)是2n， ∴第n行的最后一個數(shù)是2n－1. (2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1) ＝＝3·22n－3－2n－2. (3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024＜2 016＜2 048， ∴2 016在第11行，該行第1個數(shù)是210＝1 024， 由2 016－1 024＋1＝993，知2 016是第11行的第993個數(shù)． 10．(2015·沈陽二模)已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)

8、于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關(guān)的定值．試對雙曲線－＝1寫出類似的性質(zhì)． 【解】　類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線－＝1上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點P的位置無關(guān)的定值． 證明：設(shè)點M、P的坐標分別為(m，n)、(x，y)， 則N(－m，－n)． 因為點M(m，n)在已知雙曲線上， 所以n2＝m2－b2. 同理，y2＝x2－b2. 則kPM·kPN＝·＝＝ ＝(定值)． 1

9、．(2015·南昌模擬)如圖11-2-5所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b)． 圖11-2-5 若EF∥AB，EF到CD與AB的距離之比為m∶n，則可推算出：EF＝.用類比的方法，推想出下面問題的結(jié)果．在上面的梯形ABCD中，分別延長梯形的兩腰AD和BC交于O點，設(shè)△OAB，△ODC的面積分別為S1，S2，則△OEF的面積S0與S1，S2的關(guān)系是(　　) A．S0＝　　　　　 B．S0＝ C.＝ D.＝ 【解析】　在平面幾何中類比幾何性質(zhì)時，一般是由平面幾何中點的性質(zhì)類比推理線的性質(zhì)；由平面幾何中線段的性質(zhì)類比推理面積的性質(zhì)．故由EF＝類比到關(guān)于△

10、OEF的面積S0與S1，S2的關(guān)系是＝. 【答案】　C 2．(2015·杭州模擬)設(shè)f為實系數(shù)三次多項式函數(shù)．已知五個方程式的相異實根個數(shù)如下表所述： f(x)－20＝0 1 f(x)＋10＝0 1 f(x)－10＝0 3 f(x)＋20＝0 1 f(x)＝0 3 關(guān)于f的極小值α，試問下列選項中正確的是(　　) A．0<α<10 B．－20<α<－10 C．－10<α<0 D．α不存在 【解析】　f(x)分別向上向下平移10個單位和20個單位分別得到f(x)＋10，f(x)＋20，f(x)－10，f(x)－20，由題意可近似畫出f(x)的草圖，由圖可知

11、f(x)極小值α∈(－10,0)． 【答案】　C 3．(2015·長沙一模)如圖11-2-6所示，小正六邊形沿著大正六邊形的邊按順時針方向滾動，小正六邊形的邊長是大正六邊形的邊長的一半．如果小正六邊形沿著大正六邊形的邊滾動一周后返回出發(fā)時的位置，在這個過程中，向量圍繞著點O旋轉(zhuǎn)了θ角，其中O為小正六邊形的中心，則sin ＋cos ＝________. 圖11-2-6 【解析】　從題圖可得，向量轉(zhuǎn)了6個60°的角，6個120°的角，∴θ＝6×60°＋6×120°＝1 080°，所以sin ＋cos ＝sin 180°＋cos 180°＝－1. 【答案】?。? 4．已知“整數(shù)對

12、”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個“整數(shù)對”是________． 【解析】　依題意，把“整數(shù)對”的和相同的分為一組，不難得知第n組中每個“整數(shù)對”的和均為n＋1，且第n組共有n個“整數(shù)對”，這樣的前n組一共有個“整數(shù)對”，注意到<60<，因此第60個“整數(shù)對”處于第11組(每個“整數(shù)對”的和為12的組)的第5個位置，結(jié)合題意可知每個“整數(shù)對”的和12的組中的各對數(shù)依次為：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60個“整數(shù)對”是(5,7)

13、． 【答案】　(5,7) 5．(2015·陜西第二次質(zhì)量檢測)如圖11-2-7，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，E為棱CC1的中點． 圖11-2-7 (1)求證：B1D⊥AE； (2)求證：AC∥平面B1DE. 【證明】　(1)如圖，連接BD，則BD∥B1D1. ∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD. ∵CE⊥平面ABCD，∴CE⊥BD. 又AC∩CE＝C，∴BD⊥平面ACE. ∵AE?平面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE. (2)取BB1的中點F，連接AF，CF，EF， 則FC∥B1E， ∴CF∥平面B1DE. ∵E，F(xiàn)分別是CC

14、1，BB1的中點，∴EFBC. 又BCAD，∴EFAD， ∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥ED. ∵AF?平面B1DE，ED?平面B1DE， ∴AF∥平面B1DE. ∵AF∩CF＝F，∴平面ACF∥平面B1DE. 又AC?平面ACF，∴AC∥平面B1DE. 6．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：＝＋，那么在四面體ABCD中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由． 【證明】　 如圖所示，由射影定理，得 AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC， AC2＝BC·DC，∴＝ ＝＝. 又BC2＝AB2＋AC2，∴＝＝＋. 猜想，在四面體ABCD中，AB，AC，AD兩兩垂直，AE⊥平面BCD，則＝＋＋. 證明：如圖，連接BE并延長交CD于F，連接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A， ∴AB⊥平面ACD， 又AF?平面ACD，∴AB⊥AF. 在Rt△ABF中，AE⊥BF， ∴＝＋. 在Rt△ACD中，AF⊥CD， ∴＝＋，∴＝＋＋.