2、關于直線y=x對稱的拋物線方程為 ( )
A.y2=13x B.x2=3y
C.x2=13y D.y2=3x
【解題指南】利用點(x,y)關于y=x的對稱點為(y,x)進行求解.
【解析】選B.因為點(x,y)關于y=x的對稱點為(y,x),所以y2=3x關于y=x對稱的拋物線方程為x2=3y.
3.拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是 ( )
A.43 B.75 C.85 D.3
【解析】選A.設拋物線y=-x2上一點為(m,-m2),該點到直線4x+3y-8=0的距離為|4m-3m2-8|5,
當m=23時,取得最小值為
3、43.
【一題多解】選A.設與4x+3y-8=0平行的直線l方程為:4x+3y+m=0,
由y=-x2,4x+3y+m=0消去y得,3x2-4x-m=0,
由Δ=0得,16+12m=0,解得m=-43.
所以l的方程為4x+3y-43=0.
因此拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是d=-8--4342+32=43.
4.已知正三角形AOB的一個頂點O是坐標原點,另外兩個頂點A,B在拋物線y2=2px(p>0)上,且△AOB的面積等于43,則拋物線的方程是 ( )
A.y2=233x B.y2=833x
C.y2=4x D.y2=8x
【
4、解析】選A.設點A(xA,yA)(yA>0),B(xB,yB)(yB<0),
由于△AOB為正三角形,所以yAxA=33,
所以xA=3yA,
又S△AOB=12(2yA)xA=43,
所以xA=23,yA=2,代入方程得y2=233x.
5.(2015全國卷Ⅰ)已知橢圓E的中心為坐標原點,離心率為12,E的右焦點與拋物線C:y2=8x的焦點重合,點A,B是C的準線與E的兩個交點,則AB= ( )
A.3 B.6 C.9 D.12
【解析】選B.設橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),
右焦點為(c,0),依題意得c=2,ca=12,解得a=4,
5、由b2=a2-c2=16-4=12,
所以橢圓E的方程為x216+y212=1,
因為拋物線C:y2=8x的準線為x=-2,
將x=-2代入到x216+y212=1,解得y=3,
可得A(-2,3),B(-2,-3),故AB=6.
6.已知拋物線y2=2px(p>0),過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,若線段AB的中點的縱坐標為2,則該拋物線的準線方程為 ( )
A.x=1 B.x=-1
C.x=2 D.x=-2
【解析】選B.設A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得:y12=2px1?、?y22=2px2?、?①-②得,
(y1+y2)(
6、y1-y2)=2p(x1-x2).
又因為y1+y2=4,所以y1-y2x1-x2=2p4=p2=k=1,所以p=2.
所以所求拋物線的準線方程為x=-1.
7.(2017蘭州高二檢測)斜率為1,過拋物線y=14x2的焦點的直線被拋物線所截得的弦長為 ( )
A.8 B.6 C.4 D.10
【解析】選A.設弦的端點為A(x1,y1),B(x2,y2),
易知直線方程為y=x+1,
直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消元得:14x2-x-1=0,
所以x1+x2=4,x1x2=-4,
所以弦長l=2(x1+x2)2-4x1x2=8.
8.(2017商丘高二檢測)已知拋
7、物線x2=4y上有一條長為6的動弦AB,則AB的中點到x軸的最短距離為 ( )
A.34 B.32 C.1 D.2
【解析】選D.由題意知,拋物線的準線l:y=-1,
過A作AA1⊥l于A1,過B作BB1⊥l于B1,
設弦AB的中點為M,過M作MM1⊥l于M1,
則|MM1|=|AA1|+|BB1|2.
|AB|≤|AF|+|BF|(F為拋物線的焦點),
即|AF|+|BF|≥6,|AA1|+|BB1|≥6,
2|MM1|≥6,|MM1|≥3,
故M到x軸的距離d≥2.
【拓展延伸】“兩看兩想”的應用
與拋物線有關的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關
8、.“看到準線想焦點,看到焦點想準線”,這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑.
【補償訓練】已知點P是拋物線y2=2x上的一個動點,則點P到點(0,2)的距離與點P到該拋物線準線的距離之和的最小值為 ( )
A.172 B.3 C.5 D.92
【解析】選A.拋物線y2=2x的焦點為F12,0,準線是l,由拋物線的定義知點P到焦點F的距離等于它到準線l的距離,因此要求點P到點(0,2)的距離與點P到拋物線的準線的距離之和的最小值,可以轉化為求點P到點(0,2)的距離與點P到焦點F的距離之和的最小值,不難得出相應的最小值就等于焦點F到點(0,2)的距離.因此所求的最小值
9、等于122+(-2)2=172.
二、填空題(每小題5分,共10分)
9.拋物線y=x2上到直線2x-y=4的距離最短的點坐標是 .
【解析】設P(x,y)為拋物線y=x2上任一點,
則P到直線的距離d=|2x-y-4|5=|x2-2x+4|5
=|(x-1)2+3|5,
所以x=1時d取最小值355,
此時P(1,1).
答案:(1,1)
10.(2017全國甲卷)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,Μ是C上一點,FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點,則|FN|= .
【解析】設N(0,a),F(2,0),那么M1,a2,點M在拋物線上,所以a24=8,
10、解得
a=42,
所以N(0,42),
那么|FN|=(2-0)2+(042)2=6.
答案:6
三、解答題(每小題10分,共20分)
11.(2017寧波高二檢測)已知拋物線C:y2=4x,F是拋物線C的焦點,過點F的直線l與C相交于A,B兩點,O為坐標原點.
(1)如果l的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程.
(2)設|FA|=2|BF|,求直線l的方程.
【解析】設A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)因為y2=4x,所以F(1,0),
又因為直線l的斜率為1,
所以直線l的方程為y=x-1,
代入y2=4x,得x2-6x+1=0,
由根與系數(shù)的關系得x
11、1+x2=6,x1x2=1,易得AB的中點,
即圓心的坐標為(3,2),
又|AB|=x1+x2+p=8,
所以圓的半徑r=4,
所以所求的圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16.
(2)因為|FA|=2|BF|,所以FA→=2BF→,
而FA→=(x1-1,y1),BF→=(1-x2,-y2),
所以x1-1=2(1-x2),y1=-2y2,
易知直線l的斜率存在,設直線l的斜率為k,
則直線l的方程為y=k(x-1),
代入y2=4x,
得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
由根與系數(shù)的關系得x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,
因為x1-1=2(1
12、-x2),
所以x1=1,x2=1或x1=2,x2=12,所以k=22,
所以直線l的方程為y=22(x-1).
【補償訓練】已知頂點在原點,焦點在x軸的負半軸的拋物線截直線y=x+32所得的弦長|P1P2|=42,求此拋物線的方程.
【解析】設拋物線方程為y2=-2px(p>0),
把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得y=x+32,y2=-2px,消元得x2+(3+2p)x+94=0?、?
判別式Δ=(3+2p)2-9=4p2+12p>0,
解得p>0或p<-3(舍去),
設P1(x1,y1),P2(x2,y2),
則①中由根與系數(shù)的關系得x1+x2=-(3+2p),
x1x2=
13、94,
代入弦長公式得1+1(3+2p)2-9=42,
解得p=1或p=-4(舍去),
把p=1代入拋物線方程y2=-2px(p>0)中,
得y2=-2x.
綜上,所求拋物線方程為y2=-2x.
12.(2017淮安高二檢測)如圖,已知拋物線y2=4x的焦點為F,過點P(2,0)的直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,直線AF,BF分別與拋物線交于點M,N.
(1)求y1y2的值.
(2)證明直線MN與直線AB的斜率之比為定值.
【解析】(1)依題意,設AB的方程為x=my+2,
代入y2=4x,得y2-4my-8=0,從而y1y2=-8.
(2)設M
14、(x3,y3),N(x4,y4),
直線MN的斜率為k1,直線AB的斜率為k2,
k1k2=y3-y4x3-x4x1-x2y1-y2=y3-y4y324-y424y124-y224y1-y2=y1+y2y3+y4,
設直線AM的方程為x=ny+1,代入y2=4x,消去x得y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,
k1k2=y1+y2y3+y4=y1+y2-4y1+-4y2=y1y2-4,
由(1)知y1y2=-8,所以k1k2=2為定值.
所以直線MN與直線AB的斜率之比為定值2.
【能力挑戰(zhàn)題】
已知拋物線方程為y2=-2px,其準線方程為x=14,直線
15、l:y=k(x+1)與拋物線交于A,B兩個不同的點,O為坐標原點.
(1)求證:OA⊥OB.
(2)當△OAB的面積等于5時,求k的值.
【解析】(1)因為拋物線y2=-2px的準線方程為x=14,所以p2=14,得p=12,
即拋物線的方程為y2=-x,聯(lián)立y=k(x+1),
消去x后,整理得:ky2+y-k=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),
由根與系數(shù)的關系得:y1+y2=-1k,y1y2=-1,
因為A,B兩點在拋物線y2=-x上,
所以y12=-x1,y22=-x2,y12y22=x1x2,
所以kOAkOB=y1x1y2x2=y1y2x1x2=1y1y2=-1,
所以OA⊥OB.
(2)設直線l與x軸交于N,由題意可得k≠0,
令y=0,則x=-1,即N(-1,0),
因為S△OAB=S△OAN+S△OBN=12|ON|y1+12|ON|y2
=121|y1-y2|=12(y1+y2)2-4y1y2
=12-1k2+4=5,所以k=-14或k=14.
9
2017-2018學年度高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2.2 拋物線方程及性質的應用課后提升訓練【含解析】新人教A版選修1-1
