《2017-2018學年度高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學案【含解析】新人教A版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018學年度高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象學案【含解析】新人教A版必修4（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1.4.3　正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象 正切函數(shù)的性質(zhì) 　　[提出問題] 問題1：正切函數(shù)y＝tan x的定義域是什么？ 提示：. 問題2：誘導公式tan(π＋x)＝tan x說明了正切函數(shù)的什么性質(zhì)？tan(kπ＋x)(k∈Z)與tan x的關系怎樣？ 提示：周期性．tan(kπ＋x)＝tan x(k∈Z)． 問題3：誘導公式tan(－x)＝－tan x說明了正切函數(shù)的什么性質(zhì)？ 提示：奇偶性． 問題4：從正切線上觀察，正切函數(shù)值是有界的嗎？ 提示：不是，正切函數(shù)沒有最大值和最小值． 問題5：從正切線上觀察，正切函數(shù)值在上是增大的嗎？ 提示：是的． [導入新知

2、] 正切函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) y＝tan x 定義域 值域 R 周期 T＝π 奇偶性 奇函數(shù) 單調(diào)性 在每個開區(qū)間(k∈Z)上都是增函數(shù) [化解疑難] 細解正切函數(shù)的性質(zhì) (1)正切函數(shù)y＝tan x的定義域是xx∈R且x≠＋kπ，k∈Z，值域是全體實數(shù)． (2)正切函數(shù)y＝tan x的最小正周期是π.一般地，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的最小正周期是T＝.若不知ω正負，則該函數(shù)的最小正周期為T＝. (3)正切函數(shù)無單調(diào)遞減區(qū)間，在每一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)都是遞增的，并且每個單調(diào)區(qū)間均為開區(qū)間，不能寫成閉區(qū)間． 正切函數(shù)的圖象 [提出問題

3、] 問題1：你還記得給定一個角在單位圓中的正切線怎樣畫嗎？ 提示：過單位圓與x正半軸的交點A，作垂直于x軸的直線，交角的終邊或其反向延長線于點T，則有向線段AT即為該角的正切線． 問題2：仿照利用正弦線作正弦曲線的作法，你能根據(jù)正切線作出正切曲線嗎？ 提示：能． [導入新知] 正切函數(shù)的圖象 (1)正切函數(shù)的圖象： (2)正切函數(shù)的圖象叫做正切曲線． (3)正切函數(shù)的圖象特征： 正切曲線是由被相互平行的直線x＝＋kπ，k∈Z所隔開的無窮多支曲線組成的． [化解疑難] 正切函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，與x軸有無數(shù)個交點，因此有無窮多個對稱中心，對稱中心坐標是，k∈

4、Z，正切函數(shù)的圖象無對稱軸. 正切函數(shù)的定義域、值域問題 [例1]　求下列函數(shù)的定義域和值域： (1)y＝tan；(2)y＝. [解]　(1)由x＋≠kπ＋(k∈Z)得， x≠kπ＋，k∈Z， 所以函數(shù)y＝tan的定義域為xx≠kπ＋，k∈Z，其值域為(－∞，＋∞)． (2)由－tan x≥0得，tan x≤. 結合y＝tan x的圖象可知，在上， 滿足tan x≤的角x應滿足－

5、保證正切函數(shù)y＝tan x有意義，即x≠＋kπ，k∈Z.而對于構建的三角不等式，常利用三角函數(shù)的圖象求解．解形如tan x>a的不等式的步驟： [活學活用] 求函數(shù)y＝的定義域． 答案： 正切函數(shù)的單調(diào)性及應用 [例2]　(1)求函數(shù)y＝tan的單調(diào)區(qū)間； (2)比較tan與tan的大?。? [解]　(1)由kπ－

6、n－tan， 即tan>tan. [類題通法] 1．求函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常數(shù))的單調(diào)區(qū)間的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一個單調(diào)區(qū)間上都是增函數(shù)，故可用“整體代換”的思想，令kπ－<ωx＋φ

7、比較大小關系． [活學活用] 1．比較tan 1，tan 2，tan 3的大?。? 答案：tan 2

8、函數(shù)有關的函數(shù)的周期性、奇偶性問題的解決策略 (1)一般地，函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為T＝，常常利用此公式來求周期． (2)判斷函數(shù)的奇偶性要先求函數(shù)的定義域，判斷其是否關于原點對稱．若不對稱，則該函數(shù)無奇偶性；若對稱，再判斷f(－x)與f(x)的關系． [活學活用] 關于x的函數(shù)f(x)＝tan(x＋φ)有以下幾種說法： ①對任意的φ，f(x)都是非奇非偶函數(shù)； ②f(x)的圖象關于對稱； ③f(x)的圖象關于(π－φ，0)對稱； ④f(x)是以π為最小正周期的周期函數(shù)． 其中不正確的說法的序號是________． 答案：① 　　　　 [典例]　(

9、山東高考)函數(shù)y＝xcos x＋sin x的圖象大致為(　　) [解析]　由函數(shù)y＝xcos x＋sin x是奇函數(shù)，排除B.當x＝π時，y＝πcos π＋sin π＝－π，排除A.當x＝時，y＝cos ＋sin >0，排除C.故選D. [答案]　D [多維探究] 函數(shù)圖象與解析式的對應在近幾年高考中出現(xiàn)得并不頻繁，多以選擇題的形式出現(xiàn)，解題時常從函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、圖象上的特殊點著手逐一排除錯誤選項，從而得出正確結論． [活學活用] 1．(浙江高考)函數(shù)f(x)＝cos x(－π≤x≤π且x≠0)的圖象可能為(　　) 答案：D 2．已知a是實數(shù)，則函數(shù)f(x)＝1＋

10、asin ax的圖象不可能是(　　) 答案：D 3．(浙江高考)函數(shù)y＝sin x2的圖象是(　　) 答案：D [隨堂即時演練] 1．下列函數(shù)中，既是以π為周期的奇函數(shù)，又是上的增函數(shù)的是(　　) A．y＝tan x B．y＝tan 2x C．y＝tan D．y＝|sin x| 答案：A 2．函數(shù)y＝tan(cos x)的值域是(　　) A. B. C．[－tan 1，tan 1] D．以上均不對 答案：C 3．函數(shù)y＝5tan的最小正周期是________． 答案：2π 4．函數(shù)y＝tan x－1，x∈的值域為________． 答案

11、：[－2，－1] 5．求函數(shù)y＝tan的定義域、最小正周期及單調(diào)區(qū)間． 答案：定義域為；最小正周期為2π；單調(diào)遞增區(qū)間為－＋2kπ，＋2kπ(k∈Z) [課時達標檢測] 一、選擇題 1．與函數(shù)y＝tan的圖象不相交的一條直線是(　　) A．x＝　　　　　　　 　B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 答案：D 2．在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)y＝tan x與函數(shù)y＝sin x的圖象交點的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 3．函數(shù)y＝的定義域是(　　) A．x＋kπ，k∈Z B．x，k∈Z C．x，k∈Z D．x

12、4．下列圖形分別是①y＝|tan x|，②y＝tan x，③y＝tan(－x)，④y＝tan |x|在x∈內(nèi)的大致圖象，那么由a到d對應的函數(shù)關系式應是(　　) A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③ 答案：D 5．下列關于函數(shù)y＝tan的說法正確的是(　　) A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．最小正周期是π C．圖象關于點成中心對稱 D．圖象關于直線x＝成軸對稱 答案：B 二、填空題 6．函數(shù)f(x)＝tan ωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝1所得線段長為，則f的值是________． 答案： 7．已知函數(shù)y＝tan ωx在內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)，則

13、ω的取值范圍是________． 答案：[－1,0) 8．若直線x＝(|k|≤1)與函數(shù)y＝tan的圖象不相交，則k＝________. 答案：或－ 三、解答題 9．作出函數(shù)y＝tan x＋|tan x|的圖象，并求其定義域、值域、單調(diào)區(qū)間及最小正周期． 解：y＝tan x＋|tan x|＝ 其圖象如圖所示， 由圖象可知，其定義域是(k∈Z)；值域是[0，＋∞)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)；最小正周期T＝π. 10．若x∈[－，]，求函數(shù)y＝＋2tan x＋1的最值及相應的x值． 解：y＝＋2tan x＋1 ＝＋2tan x＋1 ＝tan2x＋2tan x＋2 ＝(tan x＋1)2＋1. ∵x∈[－，]，∴tan x∈[－，1]． 故當tan x＝－1，即x＝－時，y取最小值1； 當tan x＝1，即x＝時，y取最大值5. 11．已知－≤x≤，f(x)＝tan2x＋2tan x＋2，求f(x)的最值及相應的x值． 解：∵－≤x≤，∴－≤tan x≤1， f(x)＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1， 當tan x＝－1即x＝－時，f(x)有最小值1， 當tan x＝1即x＝時，f(x)有最大值5. - 10 -