《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1.1 變化率問題 3.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念課后提升訓(xùn)練【含解析】新人教A版選修1-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1.1 變化率問題 3.1.2 導(dǎo)數(shù)的概念課后提升訓(xùn)練【含解析】新人教A版選修1-1（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 變化率問題　導(dǎo)數(shù)的概念 (30分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.若函數(shù)f(x)=-x2+10的圖象上一點(diǎn)32,314及鄰近一點(diǎn)32+Δx,314+Δy,則ΔyΔx=　(　　) A.3　　　　　　　　　　 B.-3 C.-3-(Δx)2 D.-Δx-3 【解析】選D.因?yàn)棣=f32+Δx-f32 =-3Δx-(Δx)2, 所以ΔyΔx=-3Δx-(Δx)2Δx =-3-Δx. 2.(2017天津高二檢測)如圖,函數(shù)y=f(x)在A,B兩點(diǎn)間的平均變化率是　 (　　) A.1　　　B.-1　　　C.2　　　D.-2 【解題指南】可直

2、接求直線AB的斜率. 【解析】選B.ΔyΔx=f(3)-f(1)3-1=1-32=-1. 3.將半徑為R的球加熱,若半徑從R=1到R=m時(shí)球的體積膨脹率(體積的變化量與半徑的變化量之比)為28π3,則m的值為　(　　) A.-3　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.7 【解析】選B.因?yàn)棣=4π3m3-4π313=4π3(m3-1), 所以ΔVΔR=4π3(m3-1)m-1=28π3, 即m2+m+1=7,解得m=2或m=-3(舍去). 4.過曲線y=f(x)=x1-x圖象上一點(diǎn)(2,-2)及鄰近一點(diǎn)(2+Δx,-2+Δy)作割線,則當(dāng)Δx=0.5時(shí)割線的斜率為　(　　)

3、A.13 B.23 C.1 D.-53 【解題指南】利用平均變化率的幾何意義解題. 【解析】選B.limΔx→0.5ΔyΔx=limΔx→0.5f(2+Δx)-f(2)Δx =limΔx→0.52+Δx1-(2+Δx)-(-2)Δx=limΔx→0.511+Δx=23. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=2x2-1的圖象上一點(diǎn)(1,1)及鄰近一點(diǎn)(1+Δx,1+ Δy),則ΔyΔx等于　(　　) A.4　　　　　　　 B.4+2Δx C.4+Δx D.4Δx+(Δx)2 【解析】選B.因?yàn)閒(x)=2x2-1,所以f(1+Δx)=2(1+Δx)2-1=2(

4、Δx)2+ 4Δx+1,f(1)=1, 所以ΔyΔx=f(1+Δx)-f(1)1+Δx-1=f(1+Δx)-f(1)Δx =2(Δx)2+4Δx+1-1Δx=4+2Δx. 5.f(x)在x=x0處可導(dǎo),則limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx　(　　) A.與x0,Δx有關(guān) B.僅與x0有關(guān),而與Δx無關(guān) C.僅與Δx有關(guān),而與x0無關(guān) D.與x0,Δx均無關(guān) 【解析】選B.式子limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx表示的意義是求f′(x0),即求f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù),它僅與x0有關(guān),與Δx無關(guān). 【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)f(x)在x=x0處可導(dǎo),則limΔx→0f

5、(x0-Δx)-f(x0)Δx等于　(　　) A.-f′(x0)　　　　 B.f′(-x0) C.f′(x0) D.2f′(x0) 【解析】選A.limΔx→0f(x0-Δx)-f(x0)Δx =limΔx→0-f(x0)-f(x0-Δx)Δx =-limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=-f′(x0). 6.函數(shù)y=1x2+2在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)為　(　　) A.-2 B.52 C.1 D.0 【解析】選A.Δy=1(x+Δx)2+2-1x2+2 =-2xΔx-(Δx)2(x+Δx)2x2,ΔyΔx=-2x-Δx(x+Δx)2x2, 所以

6、y′=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0-2x-Δx(x+Δx)2x2=-2x3, 所以y′|x=1=-2. 7.(2017潮州高二檢測)物體甲、乙在時(shí)間0到t1范圍內(nèi)路程的變化情況如圖所示,下列說法正確的是　(　　) A.在0到t0范圍內(nèi)甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范圍內(nèi)甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t0到t1范圍內(nèi)甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范圍內(nèi)甲的平均速度小于乙的平均速度 【解析】選C.在0到t0范圍內(nèi),甲、乙所走的路程相同,時(shí)間一樣,所以平均速度相同,在t0到t1范圍內(nèi),時(shí)間相同,而甲走的路程較大,所以甲的平均速度較大.

7、 8.函數(shù)y=f(x)=x2在區(qū)間[x0,x0+Δx]上的平均變化率為k1,在區(qū)間[x0-Δx,x0]上的平均變化率為k2,則k1與k2的大小關(guān)系為　(　　) A.k1>k2 B.k10,所以k1>k2. 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.已知曲線y=1x

8、-1上兩點(diǎn)A2,-12,B(2+Δx,-12+Δy),當(dāng)Δx=1時(shí),割線AB的斜率為　　　. 【解析】Δy=12+Δx-1-12-1 =12+Δx-12=2-(2+Δx)2(2+Δx)=-Δx2(2+Δx), 所以ΔyΔx=-Δx2(2+Δx)Δx=-12(2+Δx), 所以當(dāng)Δx=1時(shí),割線AB的斜率為 k=ΔyΔx=-12(2+Δx)=-16. 答案:-16 10.(2017武漢高二檢測)在自行車比賽中,運(yùn)動(dòng)員的位移s與比賽時(shí)間t存在函數(shù)關(guān)系s=10t+5t2(s單位:m,t單位:s),則t=20s時(shí)的瞬時(shí)速度為　　　. 【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義知 v=ΔsΔt=10(t+Δ

9、t)+5(t+Δt)2-10t-5t2Δt =10+10t+5Δt. 當(dāng)Δt趨于0時(shí),v趨于10+10 t, 在t=20s時(shí)的瞬時(shí)速度為v=1020+10 =210m/s. 答案:210m/s 【規(guī)律總結(jié)】做直線運(yùn)動(dòng)的物體,它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可以用函數(shù)s=s(t)描述,設(shè)Δt為時(shí)間改變量,在t0+Δt這段時(shí)間內(nèi),物體的位移(即位置)改變量是Δs=s(t0+ Δt)-s(t0),那么位移改變量Δs與時(shí)間改變量Δt的比就是這段時(shí)間內(nèi)物體的平均速度v,即v=ΔsΔt=s(t0+Δt)-s(t0)Δt. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】若物體運(yùn)動(dòng)方程為s(t)=-2t2+t,則其初速度為　　　　. 【解析】物

10、體的初速度即t=0時(shí)的瞬時(shí)速度,ΔsΔt=[-2(0+Δt)2+(0+Δt)]-0Δt=-2Δt+1,當(dāng)Δt趨于0時(shí),ΔsΔt趨于1,即初速度為1. 答案:1 三、解答題 11.(10分)(2017濟(jì)南高二檢測)已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s=3t2+2做直線運(yùn)動(dòng)(位移s單位:cm,時(shí)間t單位:s). (1)當(dāng)t=2,Δt=0.01時(shí),求ΔsΔt. (2)求質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度. 【解析】ΔsΔt=s(t+Δt)-s(t)Δt =3(t+Δt)2+2-(3t2+2)Δt =6t+3Δt. (1)當(dāng)t=2,Δt=0.01時(shí),ΔsΔt=62+30.01 =12.03cm/s. (2

11、)當(dāng)Δt趨于0時(shí),6t+3Δt趨于6t, 所以質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為12cm/s. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.(2017聊城高二檢測)求函數(shù)y=x在x=1處的導(dǎo)數(shù). 【解析】Δy=1+Δx-1, ΔyΔx=1+Δx-1Δx=11+Δx+1, 所以limΔx→0=11+Δx+1 =12,即函數(shù)y=x在x=1處的導(dǎo)數(shù)為12. 2.質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s(t)=at2+1做直線運(yùn)動(dòng)(位移s的單位:m,時(shí)間t的單位:s).問是否存在常數(shù)a,使質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s? 【解析】假設(shè)存在常數(shù)a,則Δs=s(2+Δt)-s(2)=a(2+Δt)2+1-a22-1=4a+ 4aΔt+a(Δ

12、t)2+1-4a-1 =4aΔt+a(Δt)2, 所以ΔsΔt=4aΔt+a(Δt)2Δt=4a+aΔt. 當(dāng)Δt趨于0時(shí),4a+aΔt趨于4a,4a=8,解得a=2. 所以存在常數(shù)a=2,使質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s. 【規(guī)律總結(jié)】對(duì)于是否存在的探究性問題,可先假設(shè)其存在,然后按瞬時(shí)速度的定義求解即可. 【能力挑戰(zhàn)題】 路燈距地面8m,一個(gè)身高1.6m的人以84m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影C沿某直線離開路燈, (1)求身影的長度y與人距路燈的距離x之間的關(guān)系式. (2)求人離開路燈第10秒時(shí)身影的瞬時(shí)變化率. 【解析】(1)如圖所示,設(shè)人從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B處的路程為xm,AB為身影長度,AB的長度為ym. 由于CD∥BE,則ABAC=BECD, 即yy+x=1.68,所以y=14x. (2)設(shè)人離開路燈的時(shí)間為t, 因?yàn)?4m/min=1.4m/s,而x=1.4t. 所以y=14x=141.4t=720t,t∈[0,+∞). Δy=720(10+Δt)-72010=720Δt, 所以limΔt→0ΔyΔt=720. 即人離開路燈第10秒時(shí)身影的瞬時(shí)變化率為720. 8