《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2.1 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課后提升訓(xùn)練【含解析】新人教A版選修1-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.3.2.1 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課后提升訓(xùn)練【含解析】新人教A版選修1-1（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) (45分鐘　70分) 一、選擇題(每小題5分,共40分) 1.在拋物線y2=2px上,橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5,則p的值為　(　　) A.12　　　　 B.1　　　　 C.2　　　　 D.4 【解析】選C.y2=2px的準(zhǔn)線為x=-p2, 所以p2+4=5,p=2. 2.經(jīng)過拋物線y2=2x的焦點(diǎn)且平行于直線3x-2y+5=0的直線l的方程是　(　　) A.6x-4y-3=0 B.3x-2y-3=0 C.2x+3y-2=0 D.2x+3y-1=0 【解析】選A.設(shè)直線l的方程為3x-2y+c=0,拋物線y2=2x的焦點(diǎn)F12,

2、0, 所以312-20+c=0, 所以c=-32,故直線l的方程是6x-4y-3=0. 3.(2017衡水高二檢測(cè))若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓x26+y22=1的右焦點(diǎn)重合,則p的值為　(　　) A.-2 B.2 C.-4 D.4 【解析】選D.橢圓x26+y22=1的右焦點(diǎn)為(2,0), 所以p2=2,所以p=4. 4.已知拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一點(diǎn),|AF|=54x0,則x0=　(　　) A.4 B.2 C.1 D.8 【解析】選C.如圖,F14,0,過A作AA′⊥準(zhǔn)線l,所以|AF|=|AA′|,所以54x0=

3、x0+p2=x0+14,所以x0=1. 5.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線y=2x-4與C交于A,B兩點(diǎn),則cos∠AFB= 　(　　) A.45 B.35 C.-35 D.-45 【解析】選D.由y2=4x,y=2x-4得x2-5x+4=0, 所以x=1或x=4.不妨設(shè)A(4,4),B(1,-2), 則|FA→|=5,|FB→|=2,FA→FB→=(3,4)(0,-2)=-8,所以cos∠AFB =FA→FB→|FA→||FB→|=-852=-45. 6.(2017全國(guó)甲卷)過拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)F,且斜率為3的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸上

4、方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上且MN⊥l,則M到直線NF的距離為　(　　) A.5 B.22 C.23 D.33 【解析】選C.由題意知,MF:y=3(x-1),與拋物線y2=4x聯(lián)立得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3,所以M(3,23),因?yàn)镸N⊥l,所以N(-1,23), 又F(1,0),所以NF:y=-3(x-1), 即3x+y-3=0, 所以M到直線NF的距離為|33+23-3|(3)2+12 =23. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)M(x0,y0)為拋物線C:x2=8y上一點(diǎn),F為拋物線C的焦點(diǎn),以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交,則y

5、0的取值范圍是　(　　) A.(0,2)　　　　　　　 B.[0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 【解析】選C.因?yàn)閤2=8y,所以焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,2),準(zhǔn)線方程為y=-2.由拋物線的定義知|FM|=y0+2. 以F為圓心、|FM|為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-2)2=(y0+2)2. 由于以F為圓心、|FM|為半徑的圓與準(zhǔn)線相交, 又圓心F到準(zhǔn)線的距離為4,故42. 7.(2016全國(guó)卷Ⅰ)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩點(diǎn).已知|AB|=42,|DE|=25,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為　(　　)

6、 A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】選B.以開口向右的拋物線為例來(lái)解答,其他開口同理可得.設(shè)拋物線為y2=2px(p>0),設(shè)圓的方程為x2+y2=r2,題目條件翻譯如圖: 設(shè)A(x0,22),D-p2,5, 點(diǎn)A(x0,22)在拋物線y2=2px上,所以8=2px0.　① 點(diǎn)D-p2,5在圓x2+y2=r2上, 所以5+-p22=r2.?、? 點(diǎn)A(x0,22)在圓x2+y2=r2上,所以x02+8=r2.?、? 聯(lián)立①②③解得:p=4,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p=4. 8.(2017天津高二檢測(cè))若拋物線x2=2y上距離點(diǎn)A(0,a)的最近點(diǎn)恰好是拋物線的頂

7、點(diǎn),則a的取值范圍是　(　　) A.a>0 B.00,即a>1時(shí),y=a-1時(shí)d2取到最小值,不符合題意. 綜上可知a≤1. 【易錯(cuò)警示】忽視了y的取值范圍是[0,+∞),只想到當(dāng)點(diǎn)在y軸負(fù)半軸時(shí),d最小,導(dǎo)致錯(cuò)選D

8、,或胡亂猜測(cè)以致錯(cuò)選B. 二、填空題(每小題5分,共10分) 9.(2017青島高二檢測(cè))拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線x23-y23=1相交于A,B兩點(diǎn),若△ABF為等邊三角形,則p=________. 【解析】由于x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線為y=-p2, 由y=-p2,x2-y2=3, 解得準(zhǔn)線與雙曲線x2-y2=3的交點(diǎn)為 A-3+14p2,-p2,B3+14p2,-p2, 所以AB=23+14p2. 由△ABF為等邊三角形,得32AB=p,解得p=6. 答案:6 10.(2017長(zhǎng)春高二檢測(cè))已知點(diǎn)P是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上

9、射影是M,點(diǎn)A(4,6),則|PA|+|PM|的最小值是________. 【解題指南】將P到y(tǒng)軸的距離,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離,當(dāng)A,P,F共線時(shí),|PA|+|PM|最小. 【解析】由y2=4x,得p=2,所以焦點(diǎn)F(1,0),如圖, |PM|=|PN|-p2=|PF|-1, 所以|PA|+|PM| =|PA|+|PF|-1≥|AF|-1 =(4-1)2+(6-0)2-1=35-1. 答案:35-1 三、解答題(每小題10分,共20分) 11.(2017吉林高二檢測(cè))已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交

10、于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若雙曲線的離心率為2, △AOB的面積為3,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【解題指南】由雙曲線離心率求得其漸近線方程,從而求得交點(diǎn)A,B的坐標(biāo),即可得到三角形面積表達(dá)式,從而得到p的值,進(jìn)而寫出標(biāo)準(zhǔn)方程. 【解析】由已知得ca=2,所以a2+b2a2=4,解得ba=3, 即漸近線方程為y=3x. 而拋物線準(zhǔn)線方程為x=-p2, 于是A-p2,-3p2,B-p2,3p2, 從而△AOB的面積為123pp2=3,可得p=2.因?yàn)閽佄锞€開口向右,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x. 12.拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)A是拋物線上一點(diǎn),且∠AFO=120(O為坐

11、標(biāo)原點(diǎn)),AK⊥l,垂足為K,求△AKF的面積. 【解析】如圖,設(shè)A(x0,y0),過A作AH⊥x軸于H, 在Rt△AFH中,|FH|=x0-1,由∠AFO=120,得∠AFH=60,故y0=|AH|=3(x0-1).所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,3(x0-1)), 將此代入拋物線方程可得3x02-10x0+3=0, 解得x0=3或x0=13(舍), 故S△AKF=12(3+1)23=43. 【能力挑戰(zhàn)題】 已知拋物線C:y2=2px(p>0),焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,拋物線C上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3,且點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離為5. (1)求拋物線C的方程. (2)若P為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn),求線段FP的中點(diǎn)M的軌跡方程. 【解析】(1)由題意得,3+p2=5,所以p=4, 所以拋物線的方程為y2=8x. (2)由(1)知F(2,0),設(shè)P(x0,y0),M(x,y), 則x=x0+22,y=y02,即x0=2x-2,y0=2y, 而點(diǎn)P(x0,y0)在拋物線C上,y02=8x0, 所以(2y)2=8(2x-2),即y2=4(x-1), 此即為所求點(diǎn)M的軌跡方程. 7