《2017-2018學年度高中數學 第二章 點、直線、平面之間的位置關系 2.2.3 直線與平面 2.2.4 平面與平面平行的性質學案【含解析】新人教A版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018學年度高中數學 第二章 點、直線、平面之間的位置關系 2.2.3 直線與平面 2.2.4 平面與平面平行的性質學案【含解析】新人教A版必修2（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 2．2.3 & 2.2.4　直線與平面、平面與平面平行的性質 直線與平面平行的性質 [提出問題] 將一本書打開，扣在桌面上，使書脊所在的直線與桌面平行，觀察過書脊的每頁紙和桌面的交線與書脊的位置． 問題1：上述問題中，書脊與每頁紙和桌面的交線有何位置關系？ 提示：平行． 問題2：每頁紙與桌面的交線之間有何關系？ 提示：平行． 問題3：書脊所在的直線與桌面上任何直線都平行嗎？ 提示：不一定．平行或異面． [導入新知] 線面平行的性質定理 (1)文字語言：一條直線與一個平面平行，則 過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行． (2)圖形語言： (

2、3)符號語言： ?a∥b (4)作用：線面平行?線線平行． [化解疑難] 對線面平行性質定理的理解 (1)如果直線a∥平面 α，在平面α內，除了與直線a平行的直線外，其余的任一直線都與a是異面直線． (2)線面平行的性質定理的條件有三個：①直線a與平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交于一條直線，即α∩β＝b；③直線a在平面β內，即a?β.三個條件缺一不可． (3)線面平行的性質定理體現了數學的化歸思想，線面平行轉化為線線平行. 面面平行的性質 [提出問題] 2010年在上海舉行的世界博覽會給全世界的游客留下了深刻的印象，作為東道主的中國國家館被永久保留，成為上海市的又

3、一標志性建筑．中國國家館表達了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化的精神與氣質，展館共分三層，這三層給人以平行平面的感覺． 問題1：展館的每兩層所在的平面平行，那么上層面上任一直線狀物體與下面地面有何位置關系？ 提示：平行． 問題2：上層面上任何一直線狀物體與下層面上任何一直線狀物體有何位置關系？ 提示：平行或異面． 問題3：上下兩層所在的平面與側墻所在平面分別相交，它們的交線是什么位置關系？ 提示：平行． [導入新知] 面面平行的性質定理 (1)文字語言：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行． (2)圖形語言： (3)符號語言

4、： ?a∥b (4)作用：面面平行?線線平行． [化解疑難] 對面面平行性質定理的理解 (1)面面平行的性質定理的條件有三個： ①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b. 三個條件缺一不可． (2)定理的實質是由面面平行得線線平行，其應用過程是構造與兩個平行平面都相交的一個平面，由其結論可知定理可用來證明線線平行． (3)面面平行的性質定理的推證過程應用了平行線的定義． 線面平行的性質及應用 [例1]　如圖所示，已知三棱錐ABCD被一平面所截，截面為?EFGH，求證：CD∥平面EFGH. [解]　證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形， ∴EF∥GH. 又GH?

5、平面BCD，EF?平面BCD， ∴EF∥平面BCD. 而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD， ∴EF∥CD. 又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH， ∴CD∥平面EFGH. [類題通法] 運用線面平行的性質定理時，應先確定線面平行，再尋找過已知直線的平面與平面相交的交線，然后確定線線平行．證題過程應認真領悟線線平行與線面平行的相互轉化關系． [活學活用] 在長方體ABCD A′B′C′D′中，點P∈BB′(不與B，B′重合)．PA∩BA′＝M，PC∩BC′＝N，求證：MN∥平面ABCD. 證明：如圖所示， 連接AC，A′C′， ∵ABCD A′B′C

6、′D′是長方體， ∴AC∥A′C′. 又AC?平面BA′C′， A′C′?平面BA′C′， ∴AC∥平面BA′C′. 又∵平面PAC過AC與平面BA′C′交于MN， ∴MN∥AC. ∵MN?平面ABCD，AC?平面ABCD， ∴MN∥平面ABCD. 面面平行的性質及應用 [例2]　如圖所示，兩條異面直線BA，DC與兩平行平面α，β分別交于B，A和D，C，M，N分別是AB，CD的中點．求證：MN∥平面α. [解]　證明：過A作AE∥CD交平面α于點E，取AE的中點P， 連接MP，PN，BE，ED，AC. ∵AE∥CD，∴AE，CD確定平面AEDC. 則平面AE

7、DC∩α＝DE， 平面AEDC∩β＝AC. ∵α∥β，∴AC∥DE. 又∵P，N分別為AE，CD的中點， ∴PN∥DE.∵PN?α，DE?α，∴PN∥α. 又∵M，P分別為AB，AE的中點， ∴MP∥BE.又∵MP?α，BE?α， ∴MP∥α.∵MP，PN?平面MPN，且MP∩PN＝P， ∴平面MPN∥α. 又∵MN?平面MPN，∴MN∥平面α. [類題通法] 1．把握面面平行性質定理的關鍵 (1)成立的條件：兩平面平行，第三個平面與這兩個平面均相交． (2)定理的實質：面面平行?線線平行，體現了轉化思想與判定定理交替使用，可實現線面、線線、面面平行間的相互轉化．

8、2．面面平行的性質定理的幾個推論 (1)兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面． (2)夾在兩平行平面間的平行線段相等． (3)經過平面外的一點有且只有一個平面與已知平面平行． (4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例． [活學活用] 如圖所示，在矩形ABCD中，E為AB上一點，將B點沿線段EC折起至點P，連接PA，PC，PD，取PD中點F，若有AF∥平面PEC，試確定E點的位置． 解：取PC的中點G，連接GE，GF.如圖． 由條件知GF∥CD，EA∥CD， ∴GF∥EA，則G，E，A，F四點共面． ∵AF∥平面PEC，平面GEAF

9、∩平面PEC＝GE， ∴AF∥GE.∴四邊形GEAF為平行四邊形． ∵GF＝CD，∴EA＝CD＝BA，∴E為AB的中點. 線面平行和面面平行的綜合問題 [例3]　如圖，在正方體ABCD A1B1C1D1中． (1)求證：平面AB1D1∥平面C1BD； (2)試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E，F，并證明：A1E＝EF＝FC. [解]　(1)證明：因為在正方體ABCDA1B1C1D1中，AD綊B1C1，所以四邊形AB1C1D是平行四邊形，所以AB1∥C1D. 又因為C1D?平面C1BD，AB1?平面C1BD， 所以AB1∥平面C1BD. 同理B

10、1D1∥平面C1BD. 又因為AB1∩B1D1＝B1， AB1?平面AB1D1，B1D1?平面AB1D1， 所以平面AB1D1∥平面C1BD. (2)如圖，連接A1C1交B1D1于點O1，連接AO1與A1C交于點E. 又因為AO1?平面AB1D1，所以點E也在平面AB1D1內， 所以點E就是A1C與平面AB1D1的交點； 連接AC交BD于O，連接C1O與A1C交于點F，則點F就是A1C與平面C1BD的交點． 下面證明A1E＝EF＝FC. 因為平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1， 平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F， 平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1

11、F. 在△A1C1F中，O1是A1C1的中點，所以E是A1F的中點，即A1E＝EF；同理可證OF∥AE，所以F是CE的中點， 即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC. [類題通法] 1．在遇到線面平行時，常需作出過已知直線與已知平面相交的輔助平面，以便運用線面平行的性質． 2．要靈活應用線線平行、線面平行和面面平行的相互聯系、相互轉化．在解決立體幾何中的平行問題時，一般都要用到平行關系的轉化．轉化思想是解決這類問題的最有效的方法． [活學活用] 　如圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分別是BC，C1D1，AD1，BD的中點． (1)求證：PQ∥平

12、面DCC1D1； (2)求PQ的長； (3)求證：EF∥平面BB1D1D. 解：(1)證明：如圖所示． 連接AC，CD1， ∵P，Q分別是AD1，AC的中點， ∴PQ∥CD1.又PQ?平面DCC1D1， CD1?平面DCC1D1， ∴PQ∥平面DCC1D1. (2)由(1)易知PQ＝D1C＝a. (3)證明：取B1C1的中點E1，連接EE1，FE1，則有FE1∥B1D1，EE1∥BB1， ∴平面EE1F∥平面BB1D1D. 又EF?平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D. 　　　　 [典例]　(12分)如圖所示，已知E，F分別是正方體ABCD A1

13、B1C1D1的棱AA1，CC1的中點，求證：四邊形BED1F是平行四邊形． [解題流程] [活學活用] 　已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH. 證明：連接AC，設AC交BD于O，連接MO， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴O是AC的中點．又M是PC的中點， ∴MO∥PA.又MO?平面BDM， PA?平面BDM， ∴PA∥平面BDM.又經過PA與點G的平面交平面BDM于GH， ∴AP∥GH. [隨堂即時演練] 1．梯形ABCD中，AB∥C

14、D，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α內的直線的位置關系只能是(　　) A．平行　　　　　 B．平行或異面 C．平行或相交 D．異面或相交 答案：B 2.如圖，四棱錐P ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點，且MN∥平面PAD，則(　　) A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能 答案：B 3．過正方體ABCD A1B1C1D1的頂點A1，C1，B的平面與底面ABCD所在的平面的交線為l，則l與A1C1的位置關系是________． 答案：平行 4.如圖所示，平面四邊形ABCD所在的平面與平面α平行，且四邊形ABCD在平面α內的

15、平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形，則四邊形ABCD的形狀一定是________． 答案：平行四邊形 5.如圖，ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．求證： (1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. 證明：(1)連接AE， 則AE必過DF與GN的交點O， 連接MO，則MO為△ABE的中位線， 所以BE∥MO， 又BE?平面DMF， MO?平面DMF， 所以BE∥平面DMF. (2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG

16、.又M為AB的中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又MN?平面MNG，BD?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD?平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG. [課時達標檢測] 一、選擇題 1．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法中正確的是(　　) A．若m?α，n?β，m∥n，則α∥β B．若m?α，n?β，α∥β，則m∥n C．若m?α，n?β，α∥β，且m，n共面，則m∥n D．若m∥n，m∥α，n∥β，則α∥β 答案：C 2．已知a，b是兩條異面直線，平面α過a且與b平行，平面β過b且與a平行，則平面α與平

17、面β的位置關系是(　　) A．平行　　　　　　 B．相交 C．異面 D．平行或相交 答案：A 3.在正方體ABCD A1B1C1D1中，若經過D1B的平面分別交AA1和CC1于點E，F，則四邊形D1EBF的形狀是(　　) A．矩形 B．菱形 C．平行四邊形 D．正方形 答案：C 4．設平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中點，當A，B分別在α，β內運動時，那么所有的動點C(　　) A．不共面 B．當且僅當A，B在兩條相交直線上移動時才共面 C．當且僅當A，B在兩條給定的平行直線上移動時才共面 D．不論A，B如何移動都共面 答案：D 5.如圖，不同在一個平

18、面內的三條平行直線和兩個平行平面相交，每個平面內以交點為頂點的兩個三角形是(　　) A．相似但不全等的三角形 B．全等三角形 C．面積相等的不全等三角形 D．以上結論都不對 答案：B 二、填空題 6．在棱長為a的正方體ABCD A1B1C1D1中，M，N分別是棱A1B1，B1C1的中點，P是棱AD上一點，AP＝，過P，M，N的平面與棱CD交于Q，則PQ＝________. 答案：a 7．已知直線m，n及平面α，β，有下列關系： ①m，n?β；②n?α；③m∥α；④m∥n. 現把其中一些關系看作條件，另一些關系看作結論組成一個正確的結論，應是________． 答案：①②

19、③?④(答案不唯一) 8.如圖是正方體的平面展開圖： 在這個正方體中，①BM∥平面ADE；②CN∥平面BAF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF，以上說法正確的是________(填序號)． 答案：①②③④ 三、解答題 9.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，點E，F分別是棱CC1，BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，試判斷點M在何位置． 解：若MB∥平面AEF， 過F，B，M作平面FBMN交AE于N，連接MN，NF. 因為BF∥平面AA1C1C， BF?平面FBMN， 平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN， 所以B

20、F∥MN. 又MB∥平面AEF，MB?平面FBMN， 平面FBMN∩平面AEF＝FN， 所以MB∥FN， 所以BFNM是平行四邊形， 所以MN∥BF，MN＝BF＝1. 而EC∥FB，EC＝2FB＝2， 所以MN∥EC，MN＝EC＝1， 故MN是△ACE的中位線． 所以M是AC的中點時， MB∥平面AEF. 10.如圖所示：三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1，若D是棱CC1的中點，在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？證明你的結論． 解：當點E為棱AB的中點時， DE∥平面AB1C1.證明如下： 如圖，取BB1的中點F， 連接EF，FD，DE.∵D，E，F分別為CC1，AB，BB1的中點，∴EF∥AB1. ∵AB1?平面AB1C1，EF?平面AB1C1， ∴EF∥平面AB1C1.同理可證FD∥平面AB1C1. ∵EF∩FD＝F，∴平面EFD∥平面AB1C1. ∵DE?平面EFD， ∴DE∥平面AB1C1. - 12 -