《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.5 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象(二)學(xué)案【含解析】新人教A版必修4》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.5 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象(二)學(xué)案【含解析】新人教A版必修4(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第二課時 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象(二)
A,ω,φ的物理意義
[導(dǎo)入新知]
在y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)(A>0,ω>0)中,各參數(shù)的物理意義.
振幅
A
它是簡諧振動的物體離開平衡位置的最大距離
周期
T=
它是物體往復(fù)運動一次所需要的時間
頻率
f==
它是單位時間內(nèi)往復(fù)運動的次數(shù)
相位
ωx+φ
其中φ為初相
[化解疑難]
簡記圖象變換名稱及步驟
(1)函數(shù)y=sin x到y(tǒng)=sin(x+φ)的圖象變換稱為相位變換;
(2)函數(shù)y=sin x到y(tǒng)=sin ωx的圖象變換稱為周期變換;
(3)函數(shù)y=sin
2、 x到y(tǒng)=Asin x的圖象變換稱為振幅變換;
(4)函數(shù)y=sin x到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象的變換途徑為相位變換→周期變化→振幅變換或周期變換→相位變化→振幅變換.
函數(shù)y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0的有關(guān)性質(zhì)
[導(dǎo)入新知]
函數(shù)y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0的有關(guān)性質(zhì)
名稱
性質(zhì)
定義域
R
值域
[-A,A]
對稱性
對稱中心,k∈Z,
對稱軸x=+,k∈Z
奇偶性
當(dāng)φ=kπ,k∈Z時是奇函數(shù)
單調(diào)性
通過整體代換可求出其單調(diào)區(qū)間
[化解疑難]
由y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)或部分圖象確定解析式
解決問題的
3、關(guān)鍵是確定參數(shù)A,ω,φ,基本方法是在觀察圖象的基礎(chǔ)上,利用待定系數(shù)法求解.若設(shè)所求解析式為y=Asin(ωx+φ),則在觀察函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上,可按以下規(guī)律來確定A,ω,φ.
(1)一般可由函數(shù)圖象上的最大值、最小值來確定|A|.
(2)因為T=,所以往往通過求周期T來確定ω,可以通過已知曲線與x軸的交點來確定T,即相鄰的最高點與最低點之間的距離為,相鄰的兩個最高點(或最低點)之間的距離為T.
(3)以尋找“五點法”中的第一個“零點”作為突破口,要從圖象的升降情況找準(zhǔn)第一個“零點”的位置,來確定φ.
由圖象確定函數(shù)的解析式
[例1] 如圖是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)
4、A>0,ω>0,|φ|<的圖象的一部分,求此函數(shù)的解析式.
[解] (逐一定參法)
由圖象知A=3,T=-=π,∴ω==2,
∴y=3sin(2x+φ).
∵點在函數(shù)圖象上,
∴0=3sin,
∴-2+φ=kπ,得φ=+kπ(k∈Z).
∵|φ|<,∴φ=,
∴y=3sin.
[類題通法]
給出y=Asin(ωx+φ)的圖象的一部分,確定A,ω,φ的方法
(1)第一零點法:如果從圖象可直接確定A和ω,則選取“第一零點”(即“五點法”作圖中的第一個點)的數(shù)據(jù)代入“ωx+φ=0”(要注意正確判斷哪一點是“第一零點”)求得φ.
(2)特殊值法:通過若干特殊點代入函數(shù)式,可以求
5、得相關(guān)待定系數(shù)A,ω,φ.這里需要注意的是,要認(rèn)清所選擇的點屬于五個點中的哪一點,并能正確代入列式.
(3)圖象變換法:運用逆向思維的方法,先確定函數(shù)的基本解析式y(tǒng)=Asin ωx,再根據(jù)圖象平移規(guī)律確定相關(guān)的參數(shù).
[活學(xué)活用]
1.(全國甲卷)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則( )
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
答案:A
2.已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)為奇函數(shù),該函數(shù)的部分圖象如圖所示,△EFG是邊長為2的等邊三角形,則f(1)的值為( )
A.- B.
6、-
C. D.-
答案:D
函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)的應(yīng)用
[例2] 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R的周期為π,且圖象上一個最低點為M.
(1)求f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈時,求f(x)的最值.
[解] (1)由函數(shù)f(x)圖象上的一個最低點為
M,得A=2.
由周期T=π,得ω===2.
由點M在圖象上,得2sin=-2,即sin=-1,所以+φ=2kπ-(k∈Z),故φ=2kπ-(k∈Z).又因為φ∈,所以k=1,φ=.所以函數(shù)的解析式為f(x)=2sin.
(2)因為x∈,所以2x+∈,所以當(dāng)2x+=,即x=0時,函數(shù)f(x)取
7、得最小值1;當(dāng)2x+=,即x=時,函數(shù)f(x)取得最大值 .
[類題通法]
函數(shù)y=Asin(ωx+φ)性質(zhì)的應(yīng)用
(1)應(yīng)用的范圍:函數(shù)的單調(diào)性、最值、奇偶性、圖象的對稱性等方面都有體現(xiàn)和考查.
(2)解決的方法:有關(guān)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)的運用問題,充分利用三角函數(shù)的基本性質(zhì),要特別注意整體代換思想的運用.
[活學(xué)活用]
設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=.
(1)求φ;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間及最值.
解:(1)-
(2)單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z); 單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z).當(dāng)x=kπ+(k∈
8、Z)時,函數(shù)取得最大值1;當(dāng)x=kπ+(k∈Z)時,函數(shù)取得最小值-1.
5.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的對稱性
[典例] 設(shè)函數(shù)y=cos πx的圖象位于y軸右側(cè)的所有對稱中心從左依次為A1,A2,…,An,…,則A1 006的坐標(biāo)是________.
[解析] 因為函數(shù)y=cos ωx的圖象的對稱中心是點(k∈Z),
所以y=cos πx的圖象的對稱中心為
(2k+1,0)(k∈Z),
所以A1(1,0),A2(3,0),…,An(2(n-1)+1,0),…,
故A1 006的坐標(biāo)為(2 011,0).
[答案] (2 011,
9、0)
[多維探究]
1.對稱軸
與正弦曲線、余弦曲線一樣,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的圖象的對稱軸通過函數(shù)圖象的最值點且垂直于x軸.
函數(shù)y=Asin(ωx+φ)對稱軸方程的求法:令sin(ωx+φ)=1,得ωx+φ=kπ+(k∈Z),則x=(k∈Z),所以函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的對稱軸方程為x=(k∈Z).
函數(shù)y=Acos(ωx+φ)對稱軸方程的求法:令cos(ωx+φ)=1,得ωx+φ=kπ(k∈Z),則x=(k∈Z),所以函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的圖象的對稱軸方程為x=(k∈Z).
2.對稱中心
與正弦曲線、余弦曲線一樣,函數(shù)y
10、=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)圖象的對稱中心即函數(shù)圖象與x軸的交點.
函數(shù)y=Asin(ωx+φ)對稱中心的求法:令sin(ωx+φ)=0,得ωx+φ=kπ(k∈Z),則x=(k∈Z),所以函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象關(guān)于點(k∈Z)成中心對稱.
函數(shù)y=Acos(ωx+φ)對稱中心的求法:令cos(ωx+φ)=0,得ωx+φ=kπ+(k∈Z),則x=(k∈Z),所以函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的圖象關(guān)于點(k∈Z)成中心對稱.
[活學(xué)活用]
1.函數(shù)y=3sin的圖象的一個對稱中心是( )
A.(0,0) B.
C. D.(3,0)
11、答案:C
2.已知ω>0,0<φ<π,直線x=和x=是函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖象的兩條相鄰的對稱軸,則φ=( )
A. B.
C. D.
答案:A
3.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),對于任意x都有f=f,則f的值為________.
答案:2或-2
[隨堂即時演練]
1.最大值為,最小正周期為,初相為的函數(shù)表達式是( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
答案:D
2.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則將y=f(x)的圖象向右平移個單位長度后,得到的圖
12、象的解析式為( )
A.y=sin 2x B.y=cos 2x
C.y=sin D.y=sin
答案:D
3.函數(shù)f(x)=Asin(A>0,ω>0)在一個周期內(nèi),當(dāng)x=時,函數(shù)f(x)取得最大值2;當(dāng)x=時,函數(shù)f(x)取得最小值-2,則函數(shù)解析式為________.
答案:f(x)=2sin
4.已知函數(shù)f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的圖象的對稱軸完全相同.若x∈,則f(x)的取值范圍是______________.
答案:
5.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點M對稱,
13、且在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求φ和ω的值.
答案:φ=,ω=2或
[課時達標(biāo)檢測]
一、選擇題
1.函數(shù)y=sin(2x+φ)圖象的一條對稱軸在內(nèi),則滿足此條件的一個φ值為( )
A. B. C. D.
答案:A
2.已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的最大值為4,最小值為0,最小正周期為,直線x=是其圖象的一條對稱軸,則下面各式中符合條件的解析式為( )
A.y=4sin
B.y=2sin+2
C.y=2sin+2
D.y=2sin+2
答案:D
3.若函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期是π,且f(0)=,則( )
A.
14、ω=,φ= B.ω=,φ=
C.ω=2,φ= D.ω=2,φ=
答案:D
4.若f(x)=2cos(ωx+φ)+m對任意實數(shù)t都有f=f(-t),且f=-1,則實數(shù)m的值等于( )
A.1 B.-1或3
C.3 D.-3或1
答案:D
5.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分圖象如圖所示,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)的值等于( )
A. B.2+2
C.+2 D.-2
答案:A
二、填空題
6.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的圖象如圖所示,則ω=________.
答案:
7.如圖所
15、示的是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|∈的圖象的一部分,則f=________.
答案:3
8.關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(x∈R)的說法如下:
①y=f(x)的解析式可改寫為y=4cos;
②y=f(x)是以2π為最小正周期的周期函數(shù);
③y=f(x)的圖象關(guān)于點對稱;
④y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-對稱.
其中,正確的說法的序號是________.
答案:①③
三、解答題
9.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的一段圖象如圖所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)把f(x)的圖象向左至少平移多少個單位長度,才能使得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)
16、為偶函數(shù)?
解:(1)A=3,==5π,ω=.
由f(x)=3sin過,
得sin=0,又|φ|<,故φ=-,
∴f(x)=3sin.
(2)由f(x+m)=3sin
=3sin為偶函數(shù)(m>0),
知-=kπ+,即m=kπ+,k∈Z.
∵m>0,∴mmin=.
故把f(x)的圖象向左至少平移個單位長度,才能使得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù).
10.已知函數(shù)y=2cos.
(1)在該函數(shù)的圖象的對稱軸中,求離y軸距離最近的那條對稱軸的方程;
(2)將該函數(shù)的圖象向右平移φ個單位長度后,圖象關(guān)于原點對稱,求φ的最小正值.
解:(1)由2x+=kπ,得函數(shù)的對稱軸方程是
17、
x=-+,k∈Z.
所以函數(shù)的圖象離y軸距離最近的那條對稱軸方程為x=.
(2)將函數(shù)y=2cos的圖象向右平移φ個單位長度后,得到函數(shù)圖象的解析式是y=2cos.
因為y=2cos的圖象關(guān)于原點對稱,所以-2φ=+kπ.所以φ=-,k∈Z.
所以φ的最小正值是.
11.已知曲線y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)上的一個最高點的坐標(biāo)為,由此點到相鄰最低點間的曲線與x軸交于點,若φ∈.
(1)試求這條曲線的函數(shù)解析式;
(2)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解:(1)依題意,A=,T=4=4π,
∵T==4π,ω>0,∴ω=.
∴y=sin.
∵曲線上的最高點為,
∴sin=1.
∴φ+=2kπ+,k∈Z.
∵-<φ<,∴φ=.
∴y=sin.
(2)令2kπ-≤x+≤2kπ+,k∈Z,
∴4kπ-≤x≤4kπ+,k∈Z.
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為4kπ-,4kπ+(k∈Z).
令2kπ+≤x+≤+2kπ,k∈Z,
∴4kπ+≤x≤4kπ+,k∈Z.
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為4kπ+,4kπ+(k∈Z).
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