2、廠需要建一個面積為512m2的矩形堆料場,一邊可以利用原有的墻壁,則要使砌墻所用材料最省,則堆料場的長和寬各為 ( )
A.16 m,16 m B.32 m,16 m
C.32 m,8 m D.16 m,8 m
【解析】選B.如圖所示,
設(shè)場地一邊長為xm,則另一邊長為512xm.因此新墻總長度L=2x+512x(x>0),
L′=2-512x2.令L′=0,得x=16或x=-16(舍去).
因為L在(0,+∞)上只有一個極值點,
所以它必是最小值點.因為x=16,所以512x=32.
故當(dāng)堆料場的寬為16m,長為32m時,可使砌墻所用的材料最省.
3.已知
3、某生產(chǎn)廠家的年利潤y(單位:萬元)與年產(chǎn)量x(單位:萬件)的函數(shù)關(guān)系式為y=-13x3+81x-234,則使該生產(chǎn)廠家獲取最大年利潤的年產(chǎn)量為 ( )
A.13萬件 B.11萬件 C.9萬件 D.7萬件
【解析】選C.y′=-x2+81,令y′=0,解得x=9或x=-9(舍去).當(dāng)00,當(dāng)x>9時,y′<0,所以當(dāng)x=9時,y取得最大值.
4.(2017煙臺高二檢測)若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百萬件)的函數(shù)關(guān)系式為:y=-x3+27x+123(x>0),則獲得利潤最大時的年產(chǎn)量為 ( )
A.1百萬件 B.2百萬件
C.3百萬件
4、 D.4百萬件
【解析】選C.因為y=-x3+27x+123(x>0),
所以y′=-3x2+27=-3(x+3)(x-3)(x>0),
所以y=-x3+27x+123在(0,3)上是增函數(shù),
在(3,+∞)上是減函數(shù),
故當(dāng)x=3時,獲得最大利潤.
5.(2017梅州高二檢測)設(shè)底面為等邊三角形的直棱柱的體積為V,則其表面積最小時,底面邊長為 ( )
A.3V B.32V C.34V D.23V
【解析】選C.如圖,
設(shè)底面邊長為x(x>0),則底面積S=34x2,
所以h=VS=4V3x2.
S表=x4V3x23+34x22=43Vx+32x2,
5、S′表=3x-43Vx2,令S′表=0得x=34V,
因為S表只有一個極值,故x=34V為最小值點.
6.如圖,在等腰梯形ABCD中,CD=40,AD=40,梯形ABCD的面積最大時,AB等
于 ( )
A.40 B.60 C.80 D.120
【解析】選C.設(shè)∠BAD=θ,則AB=40+240cosθ,梯形高h(yuǎn)=40sinθ,從而梯形面積S=1600(1+cosθ)sinθ.
故S′=1600(cosθ+cos2θ).
令S′=0,得cosθ=-1(舍)或cosθ=12,即θ=π3,此時AB=80,即當(dāng)AB=80時,梯形有最大面積12003.
7.某商場
6、從生產(chǎn)廠家以每件20元的價格購進(jìn)一批商品.若該商品零售價定為P元,銷售量為Q,銷售量Q(單位:件)與零售價P(單位:元)有如下關(guān)系:Q=8300-170P-P2,則最大毛利潤為(毛利潤=銷售收入-進(jìn)貨支出) ( )
A.30元 B.60元
C.28000元 D.23000元
【解析】選D.設(shè)毛利潤為L(P),由題意知L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)
=(8300-170P-P2)(P-20)
=-P3-150P2+11700P-166000,所以L′(P)=-3P2-300P+11700,令L′(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去).
此時,L(30)=2
7、3000.
根據(jù)實際問題的意義知,L(30)是最大值,即零售價定為每件30元時,最大毛利潤為23000元.
8.(2017昆明高二檢測)某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,固定成本為20000元,每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品,成本增加100元,若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)=
-x3900+400x,0≤x≤390,90 090,x>390,則當(dāng)總利潤最大時,每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)
是 ( )
A.150 B.200 C.250 D.300
【解析】選D.因為總利潤
p(x)=-x3900+300x-20 000,0≤x≤390,90 090-100x-20 000,x>390,
當(dāng)0
8、≤x≤390時,p′(x)=-1300x2+300,
令p′(x)=0,得x=300,
當(dāng)x∈(0,300)時,p′(x)>0,p(x)遞增,
當(dāng)x∈(300,390)時,p′(x)<0,p(x)遞減,
所以當(dāng)x=300時,p(x)有最大值40000元,
當(dāng)x>390時,p(x)=90090-100x-20000<90090-100390-20000=31090<40000,
所以當(dāng)x=300時,總利潤最大.
二、填空題(每小題5分,共10分)
9.(2017河源高二檢測)把長為60cm的鐵絲圍成矩形,長為 ,寬為
時,矩形的面積最大.
【解析】設(shè)長為xcm,
9、則寬為(30-x)cm,
此時S=x(30-x)=30x-x2,令S′=30-2x=0,
所以x=15.當(dāng)00,當(dāng)150),所以y′=21-40 000x2,令y′=0,解得x=200(x=-200舍去),這時y=800.當(dāng)0200時,y′>0,所以當(dāng)x=200時,y
10、取得最小值,故其周長至少為800m.
答案:800
10.某公司租地建倉庫,每月土地占用費y1(萬元)與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運費y2(萬元)與到車站的距離成正比,如果在距離車站10千米處建倉庫,y1和y2分別為2萬元和8萬元.那么,要使這兩項費用之和最小,倉庫應(yīng)建在離車站 千米處.
【解析】設(shè)倉庫與車站相距x千米,依題意可設(shè)每月土地占用費y1=k1x,每月庫存貨物的運費y2=k2x,其中x是倉庫到車站的距離,k1,k2是比例系數(shù),
于是由2=k110得k1=20;由8=10k2得k2=45.
所以兩項費用之和為y=20x+4x5(x>0),
y′=-20x
11、2+45,令y′=0,
得x=5或x=-5(舍去).
當(dāng)05時,y′>0.所以當(dāng)x=5時,y取得極小值,也是最小值.所以當(dāng)倉庫建在離車站5千米處時,兩項費用之和最小.
答案:5
三、解答題(每小題10分,共20分)
11.甲、乙兩地相距s千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過c千米/時,已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成.可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比,比例系數(shù)為b(b>0),固定部分為a元.
(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(千米/時)的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域.
(2)為了使全程運輸成本最
12、小,汽車應(yīng)以多大的速度行駛?
【解析】(1)依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為sv,全程運輸成本為y=asv+bv2sv
=sav+bv,
故所求函數(shù)及其定義域為y=sav+bv,v∈(0,c].
(2)由題意知s,a,b,v均為正數(shù).
由y′=sb-av2=0得v=ab,0c,v∈(0,c],此時y′<0,則函數(shù)在(0,c]上為減函數(shù),所以當(dāng)v=c時,y最小.
綜上所述,為使全程運輸成本y最小,當(dāng)ab≤c時,行駛速度v=ab;當(dāng)ab>c時,行駛速度v=c.
13、12.某種產(chǎn)品每件成本為6元,每件售價為x元(6
14、x2+66x-108
=-6(x2-11x+18)=-6(x-2)(x-9).
令y′=0,得x=2(舍去)或x=9,
顯然,當(dāng)x∈(6,9)時,y′>0;
當(dāng)x∈(9,11)時,y′<0.
所以函數(shù)y=-2x3+33x2-108x-108在(6,9)上是遞增的,在(9,11)上是遞減的.
所以當(dāng)x=9時,ymax=135,所以售價為9元時,年利潤最大,最大年利潤為135萬元.
【能力挑戰(zhàn)題】
某汽車生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車的投入成本為10萬元/輛,出廠價為13萬元/輛.本年度為適應(yīng)市場需求,計劃提高產(chǎn)品檔次,適當(dāng)增加投入成本,若每輛車的投入成本增加的比例為x(0
15、,則出廠價相應(yīng)提高的比例為0.7x,年銷售量也相應(yīng)增加,年銷售量y關(guān)于x的函數(shù)為y=3240-x2+2x+53,則當(dāng)x為何值時,本年度的年利潤最大?最大利潤為多少?(年利潤=(每輛車的出廠價-每輛車的投入成本)年銷售量)
【解析】由題意得,本年度每輛車的投入成本為10(1+x),每輛車的出廠價為13(1+0.7x),年利潤為f(x)=[13(1+0.7x)-10(1+x)]y
=(3-0.9x)3240-x2+2x+53
=3240(0.9x3-4.8x2+4.5x+5),
則f′(x)=3240(2.7x2-9.6x+4.5)
=972(9x-5)(x-3),
由f′(x)=0,解得x=59或x=3(舍去),
當(dāng)x∈0,59時,f′(x)>0,f(x)是增函數(shù);
當(dāng)x∈59,1時,f′(x)<0,f(x)是減函數(shù).
所以當(dāng)x=59時,f(x)取極大值,f59=20000,
因為f(x)在(0,1)內(nèi)只有一個極大值,所以它是最大值.
所以當(dāng)x=59時,本年度的年利潤最大,最大利潤為20000萬元.
8
2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例課后提升訓(xùn)練【含解析】新人教A版選修1-1
