高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)課件 新人教版選修2-2.ppt
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1.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),第一章 1.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,1.了解函數(shù)極值的概念,會(huì)從幾何方面直觀理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,并會(huì)靈活應(yīng)用. 2.掌握函數(shù)極值的判定及求法. 3.掌握函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值的條件.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),,,欄目索引,,,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 函數(shù)極值的概念,,答案,f′(x)<0,1.極小值點(diǎn)與極小值 如圖,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,f′(a)=0;而且在點(diǎn)x=a附近的左側(cè) ,右側(cè) ,則把點(diǎn)a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點(diǎn),f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.,f′(x)>0,,答案,f′(x)>0,2.極大值點(diǎn)與極大值 如圖,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,f′(b)=0;而且在點(diǎn)x=b的左側(cè) ,右側(cè) , 則把點(diǎn)b叫做函數(shù) 的極大值點(diǎn),f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值. 、 統(tǒng)稱為極值點(diǎn), 和 統(tǒng)稱為極值.,f′(x)<0,y=f(x),極大值點(diǎn),極小值點(diǎn),極大值,極小值,思考 (1)可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取極值的充要條件是什么?,,答案,答案 可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),但是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn), 即“函數(shù)y=f(x)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為零是函數(shù)y=f(x)在這點(diǎn)取極值的必要條件,而非充分條件”. 可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)=0,且在x0左側(cè)和右側(cè)f′(x)符號(hào)不同. 如果在x0的兩側(cè)f′(x)符號(hào)相同,則x0不是f(x)的極值點(diǎn).,(2)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上有多個(gè)極值點(diǎn),那么一定既有極大值也有極小值嗎?,答案 不一定.,知識(shí)點(diǎn)二 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值方法與步驟,,答案,極大值,1.求函數(shù)y=f(x)的極值的方法 解方程f′(x)=0,當(dāng)f′(x0)=0時(shí): (1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,那么f(x0)是 ; (2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0,那么f(x0)是 . 2.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟 (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù)f′(x). (2)求f(x)的拐點(diǎn),即求方程 的根. (3)利用f′(x)與f(x)隨x的變化情況表,根據(jù)極值點(diǎn)左右兩側(cè)單調(diào)性的變化情況求極值.,極小值,f′(x)=0,,思考 可導(dǎo)函數(shù)f(x)若存在極值點(diǎn)x0,則x0能否為相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn)嗎?,答案 不能.,返回,答案,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一 求函數(shù)的極值,,解析答案,反思與感悟,,,解析答案,反思與感悟,解 由題意可知f′(x)=x2-4. 解方程x2-4=0,得x1=-2,x2=2. 由f′(x)>0得x<-2或x>2; 由f′(x)<0得-2<x<2. 當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:,,反思與感悟,,,反思與感悟,求可導(dǎo)函數(shù) f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù) f′(x); (2)求方程 f′(x)=0的根; (3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小開區(qū)間,并列成表格.檢測(cè) f′(x)在方程根左右兩側(cè)的值的符號(hào), 如果左正右負(fù),那么 f(x)在這個(gè)根處取得極大值; 如果左負(fù)右正,那么 f(x)在這個(gè)根處取得極小值; 如果左右不改變符號(hào),那么 f(x)在這個(gè)根處無(wú)極值.,跟蹤訓(xùn)練1 求下列函數(shù)的極值. (1)y=2x3+6x2-18x+3;,,解析答案,解 函數(shù)的定義域?yàn)镽. y′=6x2+12x-18=6(x+3)(x-1), 令y′=0,得x=-3或x=1. 當(dāng)x變化時(shí),y′,y的變化情況如下表:,從上表中可以看出,當(dāng)x=-3時(shí),函數(shù)取得極大值,且y極大值=57. 當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得極小值,且y極小值=-7.,,解析答案,,解 函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),,令y′=0,得x=-2或x=2. 當(dāng)x<-2時(shí),y′>0;當(dāng)-2<x<0時(shí),y′<0. 即x=-2時(shí),y取得極大值,且極大值為-8. 當(dāng)0<x<2時(shí),y′<0;當(dāng)x>2時(shí),y′>0. 即x=2時(shí),y取得極小值,且極小值為8.,題型二 利用函數(shù)極值確定參數(shù)的取值范圍(或值),,解析答案,例2 已知函數(shù) f(x)=6ln x-ax2-8x+b(a,b為常數(shù)),且x=3為 f(x)的一個(gè)極值點(diǎn). (1)求a的值;,,,(2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間;,解 函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?0,+∞). 由(1)知 f(x)=6ln x+x2-8x+b.,解析答案,由 f′(x)>0可得x>3或0<x<1, 由 f′(x)<0可得1<x<3(x<0舍去). ∴函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(3,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3).,,(3)若y=f(x)的圖象與x軸正半軸有且只有3個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.,解析答案,反思與感悟,解 由(2)可知函數(shù) f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,3)上單調(diào)遞減,在(3,+∞)上單調(diào)遞增.且當(dāng)x=1和x=3時(shí),f′(x)=0. ∴f(x)的極大值為 f(1)=6ln 1+1-8+b=b-7, f(x)的極小值為 f(3)=6ln 3+9-24+b=6ln 3+b-15. ∵當(dāng)x充分接近0時(shí),f(x)<0,當(dāng)x充分大時(shí),f(x)>0, ∴要使 f(x)的圖象與x軸正半軸有且僅有三個(gè)不同的交點(diǎn),,∴b的取值范圍是7<b<15-6ln 3.,,解決參數(shù)問題時(shí),要結(jié)合函數(shù)的圖象,同時(shí)準(zhǔn)確理解函數(shù)極值的應(yīng)用.,反思與感悟,,,解析答案,解 因?yàn)閍>0,所以“f(x)= x3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)”等價(jià)于“f′(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)內(nèi)恒成立”. 由f′(x)-9x=0(即ax2+(2b-9)x+c=0)的兩實(shí)數(shù)根分別為1,4,,所以對(duì)于一元二次方程ax2+2bx+c=0,Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9). 不等式ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)內(nèi)恒成立,易驗(yàn)證a=1與a=9均滿足題意,故a的取值范圍是[1,9].,題型三 函數(shù)極值的綜合應(yīng)用,,解析答案,反思與感悟,,解析答案,反思與感悟,,,反思與感悟,則函數(shù)y=g(t)的圖象與坐標(biāo)軸橫軸有三個(gè)不同的交點(diǎn).,即a>2,使函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸橫軸有三個(gè)不同的交點(diǎn). 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+∞).,,求出函數(shù)的所有極值,有利于我們整體把握函數(shù)圖象的特征,也就為我們證明有關(guān)不等式、解決某些方程根的個(gè)數(shù)等問題提供了有力的依據(jù),因而函數(shù)的極值在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛,是高考命題的熱點(diǎn).,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 已知函數(shù) f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R). (1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;,,,解析答案,(2)若對(duì)任意a∈[3,4],函數(shù) f(x)在R上都有三個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.,,解析答案,,,所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為(-4,0).,,解析答案,因忽視對(duì)所得參數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)而致誤,例4 若函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極值10,試求a,b的值.,返回,防范措施,,易錯(cuò)易混,,錯(cuò)解 由導(dǎo)數(shù)公式表和求導(dǎo)法則得, f′(x)=3x2+2ax+b,,解析答案,錯(cuò)因分析 由于函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)在這點(diǎn)取得極值的必要條件,而非充分條件. 因此,本題在解答時(shí)很容易忽略對(duì)得出的兩組解進(jìn)行檢驗(yàn)而出錯(cuò).,防范措施,,正解 由導(dǎo)數(shù)公式表和求導(dǎo)法則得,f′(x)=3x2+2ax+b,,但由于當(dāng)a=-3,b=3時(shí),f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0, 故 f(x)在R上單調(diào)遞增,不可能在x=1處取得極值,,解析答案,防范措施,,故a,b的值分別為4,-11.,防范措施,,,根據(jù)極值條件求參數(shù)的值的問題中,在得到參數(shù)的兩組解后,應(yīng)按照函數(shù)在這一點(diǎn)處取得極值所對(duì)應(yīng)的條件進(jìn)行檢驗(yàn),考查每一組解所對(duì)應(yīng)的函數(shù)在該點(diǎn)處是否能取得極值,從而進(jìn)行取舍.,返回,防范措施,,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,5,1.已知函數(shù) f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2處有極值,則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是( ) A.(2,3) B.(3,+∞) C.(2,+∞) D.(-∞,3),B,解析答案,解析 ∵f′(x)=6x2+2ax+36,且在x=2處有極值, ∴f′(2)=0,24+4a+36=0,a=-15, ∴f′(x)=6x2-30x+36=6(x-2)(x-3), 由 f′(x)>0得x<2或x>3.,1,2,3,4,5,,2.下列關(guān)于函數(shù)的極值的說法正確的是( ) A.導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn) B.函數(shù)的極小值一定小于它的極大值 C.函數(shù)在定義域內(nèi)有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值 D.若 f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,那么 f(x)在(a,b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù),D,解析答案,解析 由極值的概念可知只有D正確.,1,2,3,4,5,,3.函數(shù) f(x)的定義域?yàn)镽,導(dǎo)函數(shù) f′(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)( ) A.無(wú)極大值點(diǎn),有四個(gè)極小值點(diǎn) B.有三個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn) C.有兩個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn) D.有四個(gè)極大值點(diǎn),無(wú)極小值點(diǎn),解析答案,C,解析 在x=x0的兩側(cè),f′(x)的符號(hào)由正變負(fù),則 f(x0)是極大值; f′(x)的符號(hào)由負(fù)變正,則 f(x0)是極小值, 由圖象易知有兩個(gè)極大值點(diǎn),兩個(gè)極小值點(diǎn).,1,2,3,4,5,,解析答案,4.已知 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則a的取值范圍為( ) A.-1<a<2 B.-3<a<6 C.a<-1或a>2 D.a<-3或a>6,D,解析 f′(x)=3x2+2ax+(a+6), 因?yàn)?f(x)既有極大值又有極小值,那么Δ=(2a)2-43(a+6)>0, 解得a>6或a<-3.,1,2,3,4,5,,解析答案,5.設(shè)函數(shù) f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若 f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1,x2,且x1x2=1,則實(shí)數(shù)a的值為_____.,9,,,課堂小結(jié),,返回,1.求函數(shù)極值的基本步驟: (1)求函數(shù)定義域;(2)求 f′(x);(3)解 f′(x)=0;(4)列表( f′(x),f(x)隨x的變化情況);(5)下結(jié)論. 2.函數(shù)的極值的應(yīng)用: (1)確定參數(shù)的值,一般用待定系數(shù)法; (2)判斷方程根的情況時(shí),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值,畫出函數(shù)大致圖象,利用數(shù)形結(jié)合思想來討論根的情況.,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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