第三章——,推理與證明,[學(xué)習(xí)目標],1.了解直接證明的一種基本方法——綜合法. 2.理解綜合法的思考過程、特點,會用綜合法證明數(shù)學(xué)問題.,3 綜合法與分析法 3.1 綜合法,,1,知識梳理 自主學(xué)習(xí),,2,題型探究 重點突破,,3,當堂檢測 自查自糾,知識點一 綜合法的定義,從命題的 出發(fā),利用 、 、 及 ,通過 ,一步一步地接近要證明的結(jié)論,直到完成命題的證明,這種思維方法稱為綜合法.,條件,定義,公理,定理,運算法則,演繹推理,思考 綜合法的推理過程是合情推理還是演繹推理？ 答 綜合法的推理過程是演繹推理，它的每一步推理都是嚴密的邏輯推理，得到的結(jié)論是正確的.,用P表示已知條件、已知的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論,則綜合法的思維過程可用框圖表示為：,知識點二 綜合法證明的思維過程,題型一 綜合法證明數(shù)列問題,∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn),,(2)Sn＋1＝4an.,又a2＝3S1＝3,故S2＝a1＋a2＝4＝4a1. 因此對于任意正整數(shù)n≥1,都有Sn＋1＝4an.,跟蹤訓(xùn)練1 在△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C對應(yīng)的邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數(shù)列,a,b,c成等比數(shù)列,求證：△ABC為等邊三角形. 證明 由A,B,C成等差數(shù)列,有2B＝A＋C, ① 因為A,B,C為△ABC的內(nèi)角,所以 A＋B＋C＝π, ②,由a,b,c成等比數(shù)列,有b2＝ac. ④ 由余弦定理及③,可得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac. 再由④,得a2＋c2－ac＝ac,即(a－c)2＝0, 因此a＝c.從而有A＝C. ⑤,所以△ABC為等邊三角形.,題型二 綜合法證明不等式問題,(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a、b、c∈R). 由基本不等式a2＋b2≥2ab,易得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca,而此結(jié)論是一個很重要的不等式,許多不等式的證明都可以用到該結(jié)論. (5)a＋b＋c,a2＋b2＋c2,ab＋bc＋ca這三個式子之間的關(guān)系,由(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)給出,三式中知道兩式,第三式可以由該等式用另兩式表示出來.,題型三 用綜合法證明數(shù)學(xué)中的其他問題,證明 設(shè)F1(－c,0)、F2(c,0)(a2＝b2＋c2), 則|OF2|＝c,設(shè)A(x0,y0),∵AF2⊥F1F2,,反思與感悟 綜合法不但是數(shù)學(xué)證明中的重要方法之一,也是其他解答題步驟書寫的重要依據(jù),其特點是“執(zhí)因索果”.綜合法在數(shù)學(xué)證明中的應(yīng)用非常廣泛,用它不但可以證明不等式、立體幾何、解析幾何問題,也可以證明三角恒等式、數(shù)列問題、函數(shù)問題等等.,跟蹤訓(xùn)練3 如圖,已知PA垂直于矩形ABCD所在平面,M、N分別是AB、PC的中點,若∠PDA＝45.求證：MN⊥平面PCD.,證明 如圖：PA⊥平面ABCD?PA⊥AD,PA⊥CD. ∠PDA＝45?PA＝AD＝BC, 又M是AB的中點,連接CM,可得 Rt△PAM≌Rt△CBM,設(shè)E為CD的中點,連接ME、EN, ∴PD∥NE,AD∥ME,ME⊥CD,1,2,3,D,1,2,3,1,2,3,解析 對于A：若c＝0,則A不成立,故A錯； 對于B：若c0,則B不成立,B錯；,答案 C,1,2,3,＝log195＋2log193＋3log192 ＝log195＋log1932＋log1923＝log19(53223) ＝log19360. 因為log19360log19361＝2,,課堂小結(jié),1.綜合法的特點 綜合法的特點是從“已知”看“未知”,其逐步推理,實際上是尋找使結(jié)論成立的必要條件. 2.綜合法證明問題的步驟 第一步：分析條件,選擇方向.仔細分析題目的已知條件(包括隱含條件),分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別,選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論,確定恰當?shù)慕忸}方法.,第二步：轉(zhuǎn)化條件,組織過程.把題目的已知條件,轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言,主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化.組織過程時要有嚴密的邏輯,簡潔的語言,清晰的思路. 第三步：適當調(diào)整,回顧反思.解題后回顧解題過程,可對部分步驟進行調(diào)整,有些語言可做適當?shù)男揎?反思總結(jié)優(yōu)化解法.,