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1、15.4 因 式 分 解 :整 式 的 乘 法計 算 下 列 各 式 :x(x+1)= ； (x+1)(x 1)= .x2 + xx2 115.4.1 提 公 因 式 法 1)2( )1( 22x xx請 把 下 列 多 項 式 寫 成 整 式 乘 積 的 形 式 .)1( xx )1)(1( xx 把 一 個 多 項 式 化 成 幾 個 整 式 積 的 形 式 ，這 種 變 形 叫 做 把 這 個 多 項 式 因 式 分 解 （ 或分 解 因 式 ） . 想 一 想 ： 因 式 分 解 與 整 式 乘 法 有 何 關 系 ?因 式 分 解 與 整 式 乘 法 是 互 逆 過 程 .(x+y)

2、(x y)x2 y2 因 式 分 解整 式 乘 法 練 習 一 理 解 概 念 判 斷 下 列 各 式 哪 些 是 整 式 乘 法 ?哪 些 是因 式 分 解 ? (1) x2 4y2=(x+2y)(x 2y)； (2) 2x(x 3y)=2x2 6xy (3) (5a 1)2=25a2 10a+1 ； (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； (5) (a 3)(a+3)=a2 9 (6) m2 4=(m+2)(m 2) ； (7) 2R+ 2r= 2(R+r). 因 式 分 解整 式 乘 法整 式 乘 法因 式 分 解整 式 乘 法因 式 分 解因 式 分 解 ： 多 項 式 中 各 項

3、都 有 的 因 式 ，叫 做 這 個 多 項 式 的 公 因 式 ； 把 多 項 式 ma+mb+mc分 解 成 m(a+b+c)的 形式 ， 其 中 m是 各 項 的 公 因 式 ， 另 一 個 因 式 (a+b+c)是 ma+mb+mc 除 以 m的 商 ， 像 這 種 分 解 因 式 的方 法 ， 叫 做怎 樣 分 解 因 式 : .mcmbma 注 意 ： 各 項 系 數(shù) 都 是 整 數(shù) 時 ， 因 式 的系 數(shù) 應 取 各 項 系 數(shù) 的 最 大 公 約 數(shù) ； 字 母 取各 項 的 相 同 的 字 母 ， 而 且 各 字 母 的 指 數(shù) 取次 數(shù) 最 低 的 .說 出 下 列 多

4、項 式 各 項 的 公 因 式 ：(1)ma + mb ；(2)4kx 8ky ；(3)5y3+20y2 ；(4)a2b 2ab2+ab .m4k5y2ab 分 析 ： 應 先 找 出 與 的公 因 式 ， 再 提 公 因 式 進 行 分 解 .例 1 分 解 因 式把 cabba 323 128 )(3)(2 cbcba 分 析 ： (b+c)是 這 兩 個 式 子 的 公 因 式 ,可 以 直 接 提 出 . )(3)(2 cbcba 解 ： )32)( acb例 2 分 解 因 式 . 因 式 分 解 ：(1)24x3y 18x2y ； (2)7ma+14ma2 ；(3) 16x4+32

5、x3 56x2 ；(4) 7ab 14abx+49aby ；(5)2a(y z) 3b(y z) ；(6)p(a2+b2) q(a2+b2). 1.20042+2004能 被 2005整 除 嗎 ? .3,5)7(3)7(4.2 2 xa，xxa 其 中先 分 解 因 式 ， 再 求 值 思 考 你 能 將 多 項 式 x2 16 與 多 項 式 m 2 4n2分 解因 式 嗎 ?這 兩 個 多 項 式 有 什 么 共 同 的 特 點 嗎 ?(a+b)(a b) = a2 b2 a2 b2 =(a+b)(a b) 兩 個 數(shù) 的 平 方 差 ,等 于 這 兩 個 數(shù) 的 和 與這 兩 個 數(shù)

6、的 差 的 積 .14.3.2 公 式 法 (1) 例 3 分 解 因 式 :(1) 4x2 9 ; (2) (x+p)2 (x+q)2. 分 析 ： 在 (1)中 ， 4x2 = (2x)2， 9=32， 4x2 9 = (2x )2 3 2， 即 可 用 平 方 差 公 式 分 解 因 式 . 在 (2)中 ， 把 (x+p)和 (x+q)各 看 成 一 個 整 體 ， 設x+p=m， x+q=n， 則 原 式 化 為 m2 n2.(1)4x2 9 = (2x)2 3 2 = (2x+3)(2x 3). (2)(x+p)2 (x+q) 2= (x+p) +(x+q) (x+p) (x+q)

7、=(2x+p+q)(pq). 例 4 分 解 因 式 : (1)x4 y4; (2) a3b ab. 分 析 :(1)x4 y4寫 成 (x2)2 (y2)2的 形 式 ，這 樣 就 可 以 利 用 平 方 差 公 式 進 行 因 式 分 解 了 . (2)a3b ab有 公 因 式 ab， 應 先 提 出 公 因 式 ,再 進 一 步 分 解 .解 :(1) x4 y4 = (x2+y2)(x2 y2) = (x 2+y2)(x+y)(x y). (2) a3b ab=ab(a2 1)=ab(a+1)(a 1). 分 解 因 式必 須 進 行到 每 一 個多 項 式 都不 能 再 分解 為

8、止 . 練 習 1.下 列 多 項 式 能 否 用 平 方 差 公 式 來 分解 因 式 ?為 什 么 ? (1) x2+y2 ; (2) x2 y2; (3) x2+y2; (4) x2 y2.2.分 解 因 式 :(1)a2 b2; (2)9a2 4b2;(3) x 2y 4y ; (4) a4 +16.251 思 考 ： 你 能 將 多 項 式 a2+2ab+b2 與 a2 2ab+b2分 解 因式 嗎 ？ 這 兩 個 多 項 式 有 什 么 特 點 ？(a+b)2=a2+2ab+b2,(a b)2=a2 2ab+b2. 兩 個 數(shù) 的 平 方 和 加 上 （ 或 減 去 ） 這 兩個

9、數(shù) 的 積 的 倍 ， 等 于 這 兩 個 數(shù) 的 和 （ 或差 ） 的 平 方 . a2+2ab+b2=(a+b)2a2 2ab+b2=(a b)215.4.2 公 式 法 (2) 例 5 分 解 因 式 ： (1) 16x2+24x+9； (2) x2+4xy4y2. 分 析 ： 在 (1)中 ， 16x2=(4x)2， 9=32， 24x=24x3， 所 以 16x2+24x+9是 一 個 完 全 平 方 式 ， 即16x2+24x+9=(4x)2+24x3+32a2 2 a b b2+ 解 ： (1)16x2+24x+9 = (4x)2+24x3+32 =(4x+3)2. + 解 ：

10、(2) x2+4xy 4y2 = (x2 4xy+4y2) = x2 2x2y+(2y)2 = (x 2y)2 . 例 5 分 解 因 式 ： (1) 16x2+24x+9； (2) x2+4xy4y2. 例 6 分 解 因 式 : (1) 3ax2+6axy+3ay2; (2) (a+b)2 12(a+b)+36. 分 析 ： 在 （ 1） 中 有 公 因 式 3a， 應 先 提 出 公因 式 ， 再 進 一 步 分 解 . 解 ： (1)3ax2+6axy+3ay2 =3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y) 2 . (2)(a+b)2 12(a+b)+36=(a+b)2 2(a+b)

11、6+62=(a+b 6)2. 將 a+b看 作 一 個整 體 ， 設 a+b=m,則 原 式 化 為 完 全平 方 式 m212m+36. 練 習1.下 列 多 項 式 是 不 是 完 全 平 方 式 ？ 為 什 么 ？ (1) a2 4a+4; (2)1+4a2; (3) 4b2+4b 1 ; (4)a2+ab+b2.2.分 解 因 式 ： (1) x2+12x+36; (2) 2xy x2 y2; (3) a2+2a+1; (4) 4x2 4x+1; (5) ax 2+2a2x+a3; (6) 3x2+6xy 3y2. 應 用 提 高 、 拓 展 創(chuàng) 新 1.把 下 列 多 項 式 分 解

12、 因 式 ， 從 中 你 能發(fā) 現(xiàn) 因 式 分 解 的 一 般 步 驟 嗎 ？ （ 1） ； （ 2） ；（ 3） ； （ 4）（ 5） . 44 yx 33 abba 22 363 ayaxyax 22 )()( qxpx 36)(12)( 2 baba歸 納 ：（ 1） 先 提 公 因 式 （ 有 的 話 ） ；（ 2） 利 用 公 式 （ 可 以 的 話 ） ；（ 3） 分 解 因 式 時 要 分 解 到 不 能 分 解 為 止 . 2.證 明 ： 連 續(xù) 兩 個 奇 數(shù) 的 平 方 差 可以 被 8整 除 . 3 對 于 任 意 的 自 然 數(shù) n，(n+7)2 (n 5)2能 被 24整 除 嗎 ? 為 什 么 ?