初中數(shù)學(xué) 數(shù)與式 總復(fù)習(xí) 實數(shù)的有關(guān)概念 (1)實數(shù)的組成 注意：1.最簡分?jǐn)?shù)是有理數(shù)。2. π、最簡根式、e 等是無理數(shù)。 (2)數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸(畫數(shù)軸時，要注意上述規(guī)定的三要素缺一個不可)，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的。數(shù)軸上任一點對應(yīng)的數(shù)總大于這個點左邊的點對應(yīng)的數(shù)， (3)相反數(shù) 實數(shù)的相反數(shù)是一對數(shù)(只有符號不同的兩個數(shù)，叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零)． 從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個數(shù)所對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱． (4)絕對值 從數(shù)軸上看，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點與原點的距離 (5)倒數(shù) 實數(shù)a(a≠0)的倒數(shù)是(乘積為1的兩個數(shù)，叫做互為倒數(shù))；零沒有倒數(shù)． 【例題經(jīng)典】 理解實數(shù)的有關(guān)概念 例1 ①a的相反數(shù)是-,則a的倒數(shù)是_______． ②實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示: 則化簡│b-a│+=______． ③去年泉州市林業(yè)用地面積約為10200000畝,用科學(xué)記數(shù)法表示為約______________________． 【點評】本大題旨在通過幾個簡單的填空，讓學(xué)生加強對實數(shù)有關(guān)概念的理解． 例2.(-2)3與-23( )． (A)相等 (B)互為相反數(shù) (C)互為倒數(shù) (D)它們的和為16 分析：考查相反數(shù)的概念，明確相反數(shù)的意義。 例3.-的絕對值是 ；-3 的倒數(shù)是 ；的平方根是 ． 分析：考查絕對值、倒數(shù)、平方根的概念，明確各自的意義，不要混淆。 答案：，-2/7，2/3 例4.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是 ( ) A．-3與 B．｜-3｜與一 C．｜-3｜與 D．-3與 分析：本題考查相反數(shù)和絕對值及根式的概念 掌握實數(shù)的分類 例1 下列實數(shù)、sin60、、（）0、3.14159、-、（-）-2、中無理數(shù)有（ ）個 A．1 B．2 C．3 D．4 【點評】對實數(shù)進(jìn)行分類不能只看表面形式，應(yīng)先化簡，再根據(jù)結(jié)果去判斷． 實數(shù)的運算 (1)加法 同號兩數(shù)相加，取原來的符號，并把絕對值相加； 異號兩數(shù)相加。取絕對值較大的數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值； 任何數(shù)與零相加等于原數(shù)。 (2)減法 a-b=a+(-b) (3)乘法 兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘；零乘以任何數(shù)都得零．即 (4)除法 (5)乘方 (6)開方 如果x2＝a且x≥0，那么＝x； 如果x3=a，那么 在同一個式于里，先乘方、開方，然后乘、除，最后加、減．有括號時，先算括號里面． 3．實數(shù)的運算律 (1)加法交換律 a+b＝b+a (2)加法結(jié)合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交換律 ab＝ba． (4)乘法結(jié)合律 (ab)c=a(bc) (5)分配律 a(b+c)=ab+ac 其中a、b、c表示任意實數(shù)．運用運算律有時可使運算簡便． 【例題經(jīng)典】 例1、若家用電冰箱冷藏室的溫度是4℃，冷凍室的溫度比冷藏室的溫度低22℃，則冷凍室的溫度（℃）可列式計算為  A． 4―22 ＝－18 Ｂ．22－4＝18 Ｃ． 22―（―4）＝26 Ｄ．―4―22＝－26 點評：本題涉及對正負(fù)數(shù)的理解、簡單的有理數(shù)運算，試題以應(yīng)用的方式呈現(xiàn)，同時也強調(diào)“列式”，即過程。 例2．我國宇航員楊利偉乘“神州五號”繞地球飛行了14周，飛行軌道近似看作圓，其半徑約為6．71103千米，總航程約為(π取3．14，保留3個有效數(shù)字) ( ) A．5．90 105千米 B．5．90 106千米 C．5．89 105千米 D．5．89106千米 分析：本題考查科學(xué)記數(shù)法 例3.化簡的結(jié)果是( )． (A)-2 (B) +2 (C)3(-2) (D)3(+2) 分析：考查實數(shù)的運算。 例4.實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列式子中正確的有( )． ①b+c>0②a+b>a+c③bc>ac④ab>ac (A)1個 (B)2個 (C)3個 (D)4個 分析：考查實數(shù)的運算，在數(shù)軸上比較實數(shù)的大小。 例5 計算：-+（-2）2（-1）0-│-│． 【點評】按照運算順序進(jìn)行乘方與開方運算。 例5.校學(xué)生會生活委員發(fā)現(xiàn)同學(xué)們在食堂吃午餐時浪費現(xiàn)象十分嚴(yán)重，于是決定寫一張標(biāo)語貼在食堂門口，告誡大家不要浪費糧食．請你幫他把標(biāo)語中的有關(guān)數(shù)據(jù)填上．(已知1克大米約52粒) 如果每人每天浪費1粒大米，全國13億人口，每天就要大約浪費 噸大米 分析：本題考查實數(shù)的運算。 例7.陽陽和明明玩上樓梯游戲，規(guī)定一步只能上一級或二級臺階，玩著玩著兩人發(fā)現(xiàn)：當(dāng)樓梯的臺階數(shù)為一級、二級、三級……逐步增加時，樓梯的上法數(shù)依次為：1，2，3，5，8，13，21，．．．…(這就是著名的斐波那契數(shù)列)．請你仔細(xì)觀察這列數(shù)中的規(guī)律后回答：上10級臺階共有 種上法． 分析：歸納探索規(guī)律：后一位數(shù)是它前兩位數(shù)之和 例8.觀察下列等式(式子中的“!”是一種數(shù)學(xué)運算符號) 1!=1，2!=21，3!=321，4!=4321，…， 計算：= ． 分析：閱讀各算式，探究規(guī)律，發(fā)現(xiàn)100！=100*99*98！ 整 式 【回顧與思考】 知識點 代數(shù)式、代數(shù)式的值、整式、同類項、合并同類項、去括號與去括號法則、冪的運算法則、整式的加減乘除乘方運算法則、乘法公式、正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪。 大綱要求 考查重點 1．代數(shù)式的有關(guān)概念． (1)代數(shù)式：代數(shù)式是由運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子．單獨的一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式． (2)代數(shù)式的值；用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果p叫做代數(shù)式的值． 求代數(shù)式的值可以直接代入、計算．如果給出的代數(shù)式可以化簡，要先化簡再求值． (3)代數(shù)式的分類 2．整式的有關(guān)概念 1、 單項式的有關(guān)概念 （1） 單項式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式。單獨的一個數(shù)或字母也叫做單項式。例如： 注意：單項式不含加減運算，只含字母與字母或字母的乘法（包括乘方）運算 （2） 單項式的系數(shù)：單項式中數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)。例如：單項式的系數(shù)分別是，當(dāng)單項式系數(shù)是1或－1時，“1”通常省略不寫，如就是，系數(shù)是1；就是，系數(shù)是－1. （3） 單項式的次數(shù)（指數(shù)）：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)。如的次數(shù)是1，的次數(shù)是2+3+1＝6；數(shù)學(xué)的次數(shù)是0，如3，－9等可以當(dāng)作0次單項式。 一個單項式的次數(shù)是幾就叫做幾次單項式，如中，與的指數(shù)和為4，則是四次單項式。 例1：指出下列各單項式的系數(shù)和次數(shù) 提示：圓周率是常數(shù)，當(dāng)單項式中含有時，是單項式的系數(shù)，且在計算單項式的次數(shù)時應(yīng)注意不要加上的指數(shù)。 2、 多項式的有關(guān)概念 （1） 多項式：幾個單項式的和叫做多項式。其中，每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項。如是多項式，它的項分別是，和5，其中5是常數(shù)項。 （2） 多項式的次數(shù)：多項式里次數(shù)最高的項的次數(shù)就是這個多項式的次數(shù)。如的次為是3，即“”的次數(shù)。一個多項式中含有幾項，最高次數(shù)是幾次就叫幾次幾項式。如叫做四次三項式。 在多項中，含有字母的項的次數(shù)是幾次就叫做幾次項。如中，就是它的三次項，二次項是，一次項是b，常數(shù)項是－5. 3、 整式的概念 單項式與多項式統(tǒng)稱為整式。 判斷一個式子是不是整式應(yīng)注意幾點（1）分母不含字母；（2）根號里面不含字母 整式 ①單項式 代數(shù)式 ②多項式 分式 根式 (1)單項式：只含有數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫做單項式． 對于給出的單項式，要注意分析它的系數(shù)是什么，含有哪些字母，各個字母的指數(shù)分別是什么。 (2)多項式：幾個單項式的和，叫做多項式 對于給出的多項式，要注意分析它是幾次幾項式，各項是什么，對各項再像分析單項式那樣來分析 (3)多項式的降冪排列與升冪排列 把一個多項式技某一個字母的指數(shù)從大列小的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母降冪排列 把—個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順斤排列起來，叫做把這個多項式技這個字母升冪排列， 給出一個多項式，要會根據(jù)要求對它進(jìn)行降冪排列或升冪排列． (4)同類項 所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，叫做同類頃． 要會判斷給出的項是否同類項，知道同類項可以合并．即 其中的X可以代表單項式中的字母部分，代表其他式子。 3．整式的運算 (1)整式的加減：幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加減號連接．整式加減的一般步驟是： (i)如果遇到括號．按去括號法則先去括號：括號前是“十”號，把括號和它前面的“+”號去掉。括號里各項都不變符號，括號前是“一”號，把括號和它前面的“一”號去掉．括號里各項都改變符號． (ii)合并同類項： 同類項的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)．字母和字母的指數(shù)不變． (2)整式的乘除：單項式相乘(除)，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘(除)，對于只在一個單項式(被除式)里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積(商)的一個因式相同字母相乘(除)要用到同底數(shù)冪的運算性質(zhì)： 多項式乘(除)以單項式，先把這個多項式的每一項乘(除)以這個單項式，再把所得的積(商)相加． 多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加． 遇到特殊形式的多項式乘法，還可以直接算： (3)整式的乘方 單項式乘方，把系數(shù)乘方，作為結(jié)果的系數(shù)，再把乘方的次數(shù)與字母的指數(shù)分別相乘所得的冪作為結(jié)果的因式。 單項式的乘方要用到冪的乘方性質(zhì)與積的乘方性質(zhì)： 多項式的乘方只涉及 【例題經(jīng)典】 代數(shù)式的有關(guān)概念 例1、已知－1＜b＜0， 0＜a＜1，那么在代數(shù)式a－b、a+b、a+b2、a2+b中，對任意的a、b，對應(yīng)的代數(shù)式的值最大的是（ ） (A) a+b (B) a－b (C) a+b2 (D) a2+b 評析：本題一改將數(shù)值代人求值的面貌，要求學(xué)生有良好的數(shù)感。 同類項的概念 例1 若單項式2am+2nbn-2m+2與a5b7是同類項，求nm的值． 【點評】考查同類項的概念，由同類項定義可得 解出即可。 例2 一套住房的平面圖如右圖所示，其中衛(wèi)生間、廚房的面積和是（ ） A．4xy Ｂ． 3xy Ｃ．2xy Ｄ．xy 評析：本題是一道數(shù)形結(jié)合題，考查了平面圖形的面積的計算、合并同類項等知識，同時又隱含著對代數(shù)式的理解。 冪的運算性質(zhì) 例1（1）aman=_______（m，n都是正整數(shù)）； （2）aman=________（a≠0，m，n都是正整數(shù)，且m>n），特別地：a0=1（a≠0），a-p=（a≠0，p是正整數(shù)）； （3）（am）n=______（m，n都是正整數(shù)）；（4）（ab）n=________（n是正整數(shù)） （5）平方差公式：（a+b）（a-b）=_________． （6）完全平方公式：（ab）2=__________． 【點評】能夠熟練掌握公式進(jìn)行運算. 例2.下列各式計算正確的是( )． (A)(a5)2=a7 (B)2x-2= (c)4a32a2=8a6 (D)a8a2=a6 分析：考查學(xué)生對冪的運算性質(zhì)及同類項法則的掌握情況。 例3.下列各式中，運算正確的是 ( ) A．a(chǎn)2a3=a6 B．(-a+2b)2=(a-2b)2 c．(a+b≠O) D． 分析：考查學(xué)生對冪的運算性質(zhì) 例4、(泰州市)下列運算正確的是 A． ; B．(－2x)3=－2x3 ; C．(a－b)(－a＋b)=－a2－2ab－b2 ; D． 評析：本題意在考查學(xué)生冪的運算法則、整式的乘法、二次根式的運算等的掌握情況。 整式的化簡與運算 例5 計算：9xy(-x2y)= ； 先化簡，再求值： [（x-y）2+（x+y）（x-y）]2x其中x=3，y=-1．5． 【點評】本例題主要考查整式的綜合運算，學(xué)生認(rèn)真分析題目中的代數(shù)式結(jié)構(gòu)，靈活運用公式，才能使運算簡便準(zhǔn)確． 【回顧與思考】 因式分解 〖考查重點與常見題型〗 考查因式分解能力，在中考試題中，因式分解出現(xiàn)的頻率很高。重點考查的分式提取公因式、應(yīng)用公式法、分組分解法及它們的綜合運用。習(xí)題類型以填空題為多，也有選擇題和解答題。 因式分解知識點 多項式的因式分解，就是把一個多項式化為幾個整式的積．分解因式要進(jìn)行到每一個因式都不能再分解為止．分解因式的常用方法有： (1)提公因式法 如多項式 其中m叫做這個多項式各項的公因式， m既可以是一個單項式，也可以是一個多項式． (2)運用公式法，即用 寫出結(jié)果． (3)十字相乘法 對于二次項系數(shù)為l的二次三項式 尋找滿足ab=q，a+b=p的a，b，如有，則對于一般的二次三項式尋找滿足 a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，則 (4)分組分解法：把各項適當(dāng)分組，先使分解因式能分組進(jìn)行，再使分解因式在各組之間進(jìn)行． 分組時要用到添括號：括號前面是“+”號，括到括號里的各項都不變符號；括號前面是“-”號，括到括號里的各項都改變符號. (5)求根公式法：如果有兩個根X1，X2，那么 【例題經(jīng)典】 掌握因式分解的概念及方法 例1、分解因式： ①x3-x2=_______________________; ②x2-81=______________________; ③x2+2x+1=___________________; ④a2-a+=_________________; ⑤a3-2a2+a=_____________________. 【點評】運用提公因式法，公式法及兩種方法的綜合來解答即可。 例2.把式子x2-y2-x—y分解因式的結(jié)果是 ．． 分析：考查運用提公因式法進(jìn)行分解因式。 例3.分解因式：a2—4a+4= 分析：考查運用公式法分解因式?！? 　分 式 1．考查整數(shù)指數(shù)冪的運算，零運算，有關(guān)習(xí)題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題中，如：下列運算正確的是（ ） （A）-40 =1 (B) (-2)-1= (C) (-3m-n)2=9m-n (D)(a+b)-1=a-1+b-1 2.考查分式的化簡求值。在中考題中，經(jīng)常出現(xiàn)分式的計算就或化簡求值，有關(guān)習(xí)題多為中檔的解答題。注意解答有關(guān)習(xí)題時，要按照試題的要求，先化簡后求值，化簡要認(rèn)真仔細(xì)，如： 化簡并求值： . +(–2),其中x=cos30,y=sin90 知識要點 1．分式的有關(guān)概念 設(shè)A、B表示兩個整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能為零，否則分式?jīng)]有意義 分子與分母沒有公因式的分式叫做最簡分式．如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡 2、分式的基本性質(zhì) （M為不等于零的整式） 3．分式的運算 (分式的運算法則與分?jǐn)?shù)的運算法則類似)． (異分母相加，先通分)； 4．零指數(shù) 5．負(fù)整數(shù)指數(shù) 注意正整數(shù)冪的運算性質(zhì) 可以推廣到整數(shù)指數(shù)冪，也就是上述等式中的m、 n可以是O或負(fù)整數(shù)． 熟練掌握分式的概念：性質(zhì)及運算 例4 （1）若分式的值是零，則x=______． 【點評】分式值為0的條件是：有意義且分子為0． （2）同時使分式有意義，又使分式無意義的x的取值范圍是（ ） A．x≠-4且x≠-2 B．x=-4或x=2 C．x=-4 D．x=2 （3）如果把分式中的x和y都擴(kuò)大10倍，那么分式的值（ ） A．?dāng)U大10倍 B．縮小10倍 C．不變 D．?dāng)U大2倍 例5：化簡()的結(jié)果是 ． 分析：考查分式的混合運算，根據(jù)分式的性質(zhì)和運算法則。 例6.已知a=，求的值． 分析：考查分式的四則運算，根據(jù)分式的性質(zhì)和運算法則，分解因式進(jìn)行化簡。 例7.已知|a-4|+ =0，計算的值 答案：由條件，得a-4=0且b-9=0 ∴a=4 b=9 原式=a2/b2 例8.計算(x—y+)(x+y-)的正確結(jié)果是( ) A y2-x2 B.x2-y2 c．x2-4y2 D．4x2-y2 分析：考查分式的通分及四則運算。 因式分解與分式化簡綜合應(yīng)用 例1 先化簡代數(shù)式：，然后選取一個使原式有意義的x的值代入求值． 【點評】注意代入的數(shù)值不能使原分式分母為零，否則無意義． 例2、有一道題“先化簡，再求值：，其中。”小玲做題時把“”錯抄成了“”，但她的計算結(jié)果也是正確的，請你解釋這是怎么回事？ 點評：化簡可發(fā)現(xiàn)結(jié)果是，因此無論還是其計算結(jié)果都是7。 可見現(xiàn)在的考試特別重視應(yīng)用和理解。 【回顧與思考】 內(nèi)容分析 1．二次根式的有關(guān)概念 (1)二次根式 式子叫做二次根式．注意被開方數(shù)只能是正數(shù)或O． (2)最簡二次根式 被開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式． (3)同類二次根式 化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式，叫做同類二次根式． 2．二次根式的性質(zhì) 3．二次根式的運算 (1)二次根式的加減 二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類三次根式分別合并． (2)三次根式的乘法 二次根式相乘，等于各個因式的被開方數(shù)的積的算術(shù)平方根，即 二次根式的和相乘，可參照多項式的乘法進(jìn)行． 兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個三次根式互為有理化因式． (3)二次根式的除法 二次根式相除，通常先寫成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根號化去(或分子、分母約分)．把分母的根號化去，叫做分母有理化． 〖考查重點與常見題型〗 1.考查平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念。有關(guān)試題在試題中出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型多為選擇題或填空題。 2.考查最簡二次根式、同類二次根式概念。有關(guān)習(xí)題經(jīng)常出現(xiàn)在選擇題中。 3.考查二次根式的計算或化簡求值，有關(guān)問題在中考題中出現(xiàn)的頻率非常高，在選擇題和中檔解答題中出現(xiàn)的較多。 【例題經(jīng)典】 理解二次根式的概念和性質(zhì) 例1 （1）式子有意義的x取值范圍是________． 【點評】從整體上看分母不為零，從局部看偶次根式被開方數(shù)為非負(fù)． （2）已知a為實數(shù)，化簡． 【點評】要注意挖掘其隱含條件：a<0． 掌握最簡二次根式的條件和同類二次根式的判斷方法 例2下列根式中能與合并的二次根式為（ ） A． 【點評】抓住最簡二次根式的條件，結(jié)合同類二次根式的概念去解決問題． 掌握二次根式化簡求值的方法要領(lǐng) 例3 先化簡，再求值: 若a=4+，b=4-，求． 【點評】注意對求值式子進(jìn)行變形化簡約分，再對已知條件變形整體代入． 14