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1、電磁感應中“桿+導軌”模型問題 例1、相距L=1.5m的足夠長金屬導軌豎直放置，質量m1=1kg的金屬棒ab和質量m2=0.27kg的金屬棒cd，均通過棒兩端的套環(huán)水平地套在金屬導軌上，如圖1所示，虛線上方磁場的方向垂直紙面向里，虛線下方磁場的方向豎直向下，兩處磁場磁感應強度大小相同。ab棒光滑，cd棒與導軌間動摩擦因數μ=0.75，兩棒總電阻為1.8Ω，導軌電阻不計。ab棒在方向豎直向上、大小按圖2所示規(guī)律變化的外力F作用下，從靜止開始沿導軌勻加速運動，同時cd棒也由靜止釋放。（g=10m/s2） （1）求ab棒加速度的大小和磁感應強度B的大?。? （2）已知在2s內外力F做了26.8J

2、的功，求這一過程中兩金屬棒產生的總焦耳熱； （3）求出cd棒達到最大速度所需的時間t0，并在圖3中定性畫出cd棒所受摩擦力fcd隨時間變化的圖線。 解： （1）， 所以，33.1（2分） 由圖2的截距可知， ，， 33.2（2分） 由圖2的斜率可知， ，，33.3（2分） （2） ，33.4（2分） ，33.5（2分） （3） ，，所以有， ，， 33.6（2分） 33.7（2分） 例2、如圖所示，兩條光滑的金屬導軌相距L=1m，其中MN段平行于

3、PQ段，位于同一水平面內，NN0段與QQ0段平行，位于與水平面成傾角37的斜面內，且MNN0與PQQ0均在豎直平面內。在水平導軌區(qū)域和傾斜導軌區(qū)域內分別有垂直于水平面和斜面的勻強磁場B1和B2，且B1=B2=0.5T。ab和cd是質量均為m=0.1kg、電阻均為R=4Ω的兩根金屬棒，ab置于水平導軌上，cd置于傾斜導軌上，均與導軌垂直且接觸良好。從t=0時刻起，ab棒在外力作用下由靜止開始沿水平方向向右運動（ab棒始終在水平導軌上運動，且垂直于水平導軌），cd棒受到F＝0.6-0.25t（N）沿斜面向上的力的作用，始終處于靜止狀態(tài)。不計導軌的電阻。（sin37=0.6） （1）求流過cd棒的

4、電流強度Icd隨時間t變化的函數關系； （2）求ab棒在水平導軌上運動的速度vab隨時間t變化的函數關系； （3）求從t=0時刻起，1.0s內通過ab棒的電荷量q； （4）若t=0時刻起，1.0s內作用在ab棒上的外力做功為W=16J，求這段時間內cd棒產生的焦耳熱Qcd。 解析：（1）cd棒平衡，則F＋Fcd＝mgsin37 （2分） Fcd=BIcdL （1分） 得Icd＝0.5t（A）（2分） （2）cd棒中電流Icd＝Iab＝0.5t（A），則回路中電源電動勢E＝IcdR總（1分） ab棒切割磁感線，產生的感應電動勢為E＝BLvab（1分） 解得，ab棒的速度v

5、ab＝8t（m/s）（2分） 所以，ab棒做初速為零的勻加速直線運動。 （3）ab棒的加速度為a＝8m/s2，1.0s內的位移為S＝at2＝81.02＝4m （1分） 根據， （1分） 得q＝t＝＝0.25C（2分） （4）t＝1.0s時，ab棒的速度vab＝8t＝8m/s（1分） 根據動能定理W－W安＝mv2－0 （2分） 得1.0s內克服安培力做功W安＝16－0.182＝12.8J（1分） 回路中產生的焦耳熱Q＝W安＝12.8J cd棒上產生的焦耳熱Qcd＝Q/2＝6.4J　　 （1分） 對應小練習： 1、如圖所示，足夠長的兩根光滑固定導軌相距0.5m豎直放

6、置，導軌電阻不計，下端連接阻值為的電阻，導軌處于磁感應強度為B=0.8T的勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面向里。兩根質量均為0.04kg、電阻均為r=0.5的水平金屬棒和都與導軌接觸良好。金屬棒用一根細線懸掛，細線允許承受的最大拉力為0.64N，現讓棒從靜止開始下落，經ls鐘細繩剛好被拉斷，g取10m／s2。求： （l）細線剛被拉斷時，整個電路消耗的總電功率P； （2）從棒開始下落到細線剛好被拉斷的過程中，通過棒的電荷量。 解：⑴細線剛被拉斷時，ab棒所受各力滿足：F=IabLB+mg得：Iab==0.6A 電阻R中的電流：IR==0.3A　　　cd棒中的電流Icd=Iab+IR=

7、0.6 A +0.3A=0.9A 　cd棒中產生的感應電動勢E= Icd0.75V 整個電路消耗的總電功率P=Pab+Pcd+PR=Iab2r+Icd2r+IR2R=0.675W （或P=E Icd=0.675W）⑵設線斷時cd棒的速度為V，則E=BLV，故V==1.875m/s 對cd棒由動量定理可得：mgt―qLB=mV得q==0.8125C 2、(20分)如圖所示，足夠長的光滑平行金屬導軌MN、PQ豎直放置，一個磁感應強度為B＝0.5T的勻強磁場垂直穿過導軌平面，導軌的上端M與P間連接阻值為 R=0．3的電阻，長為L=0.40 m，電阻為r=0．2的 金屬棒ab緊貼在導軌上。現使金

8、屬棒ab由靜止開始下滑， 通過傳感器記錄金屬棒ab下滑的距離，其下滑的距離與 時間的關系如下表所示，導軌的電阻不計。() 時間t(s) 0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 下滑距離s(m) 0 0.10 0.30 0.70 1.20 1.70 2.20 2.70 求： (1)在前0.4s的時間內，金屬棒ab電動勢的平均值。 (2)在0.7s時，金屬棒ab兩端的電壓值。 （3）在前0.7s的時間內，電阻R上產生的熱量Q。 解：(1)（4分） (2)從表格中數據可知，0.3s后棒做勻速運動（2分） 速度（2

9、分） （4分） 解得m=0.04 Kg ∴ab棒兩端的電壓，u=E-Ir=0.6V（3分） (3)棒在下滑過程中；有重力和安培力做功；克服安培力做的功等于回路的焦耳熱。則： （2分） （2分） 解得Q=0.348J（1分） 3、如圖甲所示，兩條足夠長的光滑平行金屬導軌豎直放置，導軌間距L=1m，兩導軌的上端間接有電阻，阻值R=2Ω，虛線OO下方是垂直于導軌平面向里的勻強磁場，磁感應強度B=2T。現將質量為m=0.1Kg，電阻不計的金屬桿ab，從OO上方某處由靜止釋放，金屬桿在下落過程中與導軌保持良好接觸，且始終保持水平，不計導軌電阻，已知金屬桿下落0.4m的過程中加速度

10、a與下落距離h的關系如圖乙所示，g=10m/s2，求： （1）金屬桿剛進入磁場時的速度多大？ （2）金屬桿下落0.4m的過程中，電阻R上產生了多少熱量？ 4、如圖所示，在磁感應強度為B=2T，方向垂直紙面向里的勻強磁場中，有一個由兩條曲線狀的金屬導線及兩電阻（圖中黑點表示）組成的固定導軌，兩電阻的阻值分別為R1=3Ω、R2=6Ω，兩電阻的體積大小可忽略不計，兩條導線的電阻忽略不計且中間用絕緣材料隔開，導軌平面與磁場垂直（位于紙面內），導軌與磁場邊界（圖中虛線）相切，切點為A，現有一根電阻不計、足夠長的金屬棒MN與磁場邊界重疊，在A點對金屬棒MN施加一個方向與磁場垂直、位于導軌平面

11、內的并與磁場邊界垂直的拉力F，將金屬棒MN以速度v=5m／s勻速向右拉，金屬棒MN與導軌接觸良好，以切點為坐標原點，以F的方向為正方向建立x軸，兩條導線的形狀符合曲線方程m， 求：（1）推導出感應電動勢e的大小與金屬棒的位移x的關系式． （2）整個過程中力F所做的功． （3）從A到導軌中央的過程中通過R1的電荷量． 解：（1）， 所以： （4分） （2）因為ｘ＝ｖｔ，所以 　　　由于導體做勻速運動，力F所做的功等于電路中電流所做的功。 有效值　　　　　?。ǎ卜郑? 　導體切割磁感線的時間， 　電路中總電阻　　?。ǎ卜郑? 拉力F所做的功　　?。ǎ卜郑? （3）由，可知Em

12、ax=BSω=Φmω ，所以： 　Wb， （2分） 　通過電阻R1的電量為 　 （2分） 課后練習 1、如圖所示，兩足夠長平行光滑的金屬導軌MN、PQ相距為L，導軌平面與水平面夾角α＝30，導軌上端跨接一定值電阻R，導軌電阻不計．整個裝置處于方向豎直向上的勻強磁場中，長為L的金屬棒cd垂直于MN、PQ放置在導軌上，且與導軌保持電接觸良好，金屬棒的質量為m、電阻為r，重力加速度為g，現將金屬棒由靜止釋放，當金屬棒沿導軌下滑距離為s時，速度達到最大值vm．求： （1）金屬棒開始運動時的加速度大小； （2）勻強磁場的磁感應強度大?。? （3）金屬棒沿導軌下滑距離為s的過程中，電阻R

13、上產生的電熱． 解：（1）金屬棒開始運動時的加速度大小為a，由牛頓第二定律有 ①（2分） 解得 （2分） （2）設勻強磁場的磁感應強度大小為B，則金屬棒達到最大速度時 產生的電動勢 ②（1分） 回路中產生的感應電流 ③（1分） 金屬棒棒所受安培力 ④（1分） cd棒所受合外力為零時，下滑的速度達到最大，則 ⑤ （1分） 由②③④⑤式解得（1分） （3）設電阻R上產生的電熱為Q，整個電路產生的電熱為Q總，則 ⑥（3分） ⑦（1分） 由⑥⑦式解得（1分） 2、如圖甲，MN、PQ兩條平行的光滑金屬軌道與水平面成θ= 30角固定，M、P之間接電阻箱R，導軌所在

14、空間存在勻強磁場，磁場方向垂直于軌道平面向上，磁感應強度為B =0.5T。質量為m的金屬桿a b水平放置在軌道上，其接入電路的電阻值為r?，F從靜止釋放桿a b，測得最大速度為vm。改變電阻箱的阻值R，得到vm與R的關系如圖乙所示。已知軌距為L =2m，重力加速度g取l0m/s2，軌道足夠長且電阻不計。 ⑴當R =0時，求桿a b勻速下滑過程中產生感生電動勢E的大小及桿中的電流方向； ⑵求金屬桿的質量m和阻值r； ⑶當R=4Ω時，求回路瞬時電功率每增加1W的過程中合外力對桿做的功W。 甲乙 解：解法一：⑴由圖可知，當R= 0時，桿最終以v= 2 m/s勻速運動，產生電動勢 E=B

15、Lv ………………………………………………………………………1分 E=2V ………………………………………………………………………1分 桿中電流方向從b→a………………………………………………………1分 ⑵設最大速度為v，桿切割磁感線產生的感應電動勢E=BLv 由閉合電路的歐姆定律：…………………………………………1分 桿達到最大速度時滿足……………………………… 1分 解得：v=………………………………………… 1分 由圖像可知：斜率為，縱截距為v0=2m/s， 得到： =v0 ……………………………………………1分 k ………………………………………………1分 解得：

16、m =0.2kg …………………………………………………………… 1分 r= 2Ω …………………………………………………………… 1分 ⑶由題意：E=BLv………………………………1分 得……………………………………………………1分 ……………………………………………1分 由動能定理得 W=………………………………………………………1分 …………………………………………………………1分 W= 0.6J ………………………………………………………………………1分 解法二：設最大速度為v，桿切割磁感線產生的感應電動勢E=BLv 由閉合電路的歐姆定律：…………………………………

17、……… 1分 由圖可知當R= 0時v= 2 m/s…………………… 2分 當R=2Ω時v′ = 4m/s……………………………… 2分 解得：m= 0.2kg …………………………………………………………… 1分 r= 2Ω …………………………………………………………… 1分 ⑶由題意：………………………………………1分 得…………………………………………………… 1分 …………………………………………… 1分 由動能定理得 ……………………………………………………… 1分 ………………………………………………………… 1分 W= 0.6J…………………………………

18、……………………………………1分 3、如圖甲，兩光滑的平行導軌MON與PO/Q，其中ON、O/Q部分是水平的，傾斜部分與水平部分用光滑圓弧連接，QN兩點間連電阻R, 導軌間距為L． 水平導軌處有兩個勻強磁場區(qū)域Ⅰ、Ⅱ（分別是cdef和hgjk虛線包圍區(qū)），磁場方向垂直于導軌平面豎直向上，Ⅱ區(qū)是磁感強度Ｂ０的恒定的磁場，Ⅰ區(qū)磁場的寬度為x0，磁感應強度隨時間變化。一質量為m，電阻為R的導體棒垂直于導軌放置在磁場區(qū)中央位置，t=0時刻Ⅰ區(qū)磁場的磁感強度從Ｂ1大小開始均勻減小至零，變化如圖乙所示，導體棒在磁場力的作用下運動的v-t圖象如圖丙所示。 （1）求出t=0時刻導體棒運動加速度a。 （2）求導體棒穿過Ⅰ區(qū)磁場邊界過程安培力所做的功和將要穿出時刻電阻R的電功率。 （3）根據導體棒運動圖象，求棒的最終位置和在0-t2時間內通過棒的電量。