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2019-2020年高三下學(xué)期期中練習(xí) 數(shù)學(xué)理 本試卷共4 頁，150 分．考試時(shí)長120 分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上 作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回． 一、選擇題共8 小題，每小題5 分，共40 分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目 要求的一項(xiàng)． 1．函數(shù)的定義域?yàn)? A．［0，＋）+ B．［1，＋）+ ) C．（－，0］+ D．（－，1］ 【知識點(diǎn)】函數(shù)的定義域與值域 【試題解析】要使函數(shù)有意義，需滿足：即 所以函數(shù)的定義域?yàn)椋海? 故答案為：A 【答案】A 2．某程序的框圖如圖所示，若輸入的z＝i（其中i為虛數(shù)單位），則輸出的S 值為 A．－1 　　 B．1 　　　 C．－i 　　 D．i 【知識點(diǎn)】算法和程序框圖 【試題解析】由題知：n=9時(shí)，否，是， 則輸出 的值為。 故答案為：D 【答案】D 3．若x，y 滿足，則的最大值為 A．　　　　B．3 C．　　　　D．4 【知識點(diǎn)】線性規(guī)劃 【試題解析】作可行域： 由圖知：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線過點(diǎn)C（1，3）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值最大，為 故答案為：C 【答案】C 4．某三棱錐的三視圖如圖所示，則其體積為 A．　　　B． C．　　D． 【知識點(diǎn)】空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的三視圖與直觀圖 【試題解析】該三棱錐的底面是以2為底，以為高的三角形，高為1， 所以 故答案為：A 【答案】A 5．已知數(shù)列 的前n 項(xiàng)和為Sn，則“ 為常數(shù)列”是“”的 A．充分不必要條件 　　B．必要不充分條件 C．充分必要條件 　　　D．既不充分也不必要條件 【知識點(diǎn)】充分條件與必要條件 【試題解析】若為常數(shù)列，則； 反過來，若，則，即為常數(shù)列。 所以“為常數(shù)列”是“，”的充分必要條件。 故答案為：C 【答案】C 6．在極坐標(biāo)系中，圓C1 :與圓C2:相交于 A，B兩點(diǎn)，則｜AB｜＝ A．1 　　B．　 C．　　 D． 2 【知識點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系 【試題解析】化圓為標(biāo)準(zhǔn)方程， 兩圓方程作差，得相交弦AB所在直線方程為： 圓的圓心為（1，0），半徑為1． 所以圓心到直線AB的距離為： 所以弦長的一半為：即弦長為：。 故答案為：B 【答案】B 7．已知函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是 A． 　　B． C． 　　　D． 【知識點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性分段函數(shù)，抽象函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 【試題解析】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以 設(shè) 即所以 故答案為：C 【答案】C 8．某生產(chǎn)基地有五臺機(jī)器，現(xiàn)有五項(xiàng)工作待完成，每臺機(jī)器完成每項(xiàng)工作后獲得的效益值 如表所示．若每臺機(jī)器只完成一項(xiàng)工作，且完成五項(xiàng)工作后獲得的效益值總和最大，則 下列敘述正確的是 A．甲只能承擔(dān)第四項(xiàng)工作　B．乙不能承擔(dān)第二項(xiàng)工作 C．丙可以不承擔(dān)第三項(xiàng)工作 　D．丁可以承擔(dān)第三項(xiàng)工作 【知識點(diǎn)】加法計(jì)數(shù)原理 【試題解析】由表知：五項(xiàng)工作獲得效益值總和最大為17+23+14+11+15=80，但不能同時(shí)取得。 要使總和最大，甲可以承擔(dān)第一或四項(xiàng)工作；丙只能承擔(dān)第三項(xiàng)工作；丁則不可以承擔(dān)第三項(xiàng)工作，所以丁承擔(dān)第五項(xiàng)工作；乙若承擔(dān)第二項(xiàng)工作，則甲承擔(dān)第四項(xiàng)工作；戊承擔(dān)第一項(xiàng)工作，此時(shí)效益值總和為17+23+14+11+13=78． 乙若不承擔(dān)第二項(xiàng)工作，承擔(dān)第一項(xiàng)，甲承擔(dān)第二項(xiàng)工作，則戊承擔(dān)第四項(xiàng)工作，此時(shí)效益值總和為17+22+14+11+15=79． 所以乙不能承擔(dān)第二項(xiàng)工作。 故答案為：B 【答案】B 二、填空題共6 小題，每小題5 分，共30 分． 9．已知向量，若，則t ＝ _______． 【知識點(diǎn)】平面向量坐標(biāo)運(yùn)算 【試題解析】由題知：若，則 故答案為： 【答案】 10．在等比數(shù)列中，a2＝2，且，則的值為_______． 【知識點(diǎn)】等比數(shù)列 【試題解析】在等比數(shù)列中， 由得：解得：或 所以 故答案為： 【答案】 11．在三個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)是_______． 【知識點(diǎn)】對數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 【試題解析】 故答案為： 【答案】 12．已知雙曲線C：的一條漸近線l 的傾斜角為，且C 的一個(gè)焦點(diǎn)到l 的距離 為，則C 的方程為_______． 【知識點(diǎn)】雙曲線 【試題解析】由題知：所以，所以 因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為b，所以b=2，所以 所以的方程為： 故答案為： 2， 【答案】2， 13．如圖，在三角形三條邊上的6個(gè)不同的圓內(nèi)分別填入數(shù)字1，2，3 中的一個(gè)． （?。┊?dāng)每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和為4 時(shí)，不同的填法有_______種； （ⅱ）當(dāng)同一條邊上的三個(gè)數(shù)字都不同時(shí)，不同的填法有_______種． 【知識點(diǎn)】乘法計(jì)數(shù)原理加法計(jì)數(shù)原理 【試題解析】當(dāng)每條邊上的三個(gè)數(shù)字之和為4時(shí)，這三個(gè)數(shù)字為1，1，2． 最上面為2時(shí)，中間都是1，最下面為1，2，1，1種； 最上面為1時(shí)，左中為1時(shí)，最下面為2，1，1，1種； 左中為2時(shí)，右中可以是1，2兩種； 所以共4種填法。 當(dāng)同一條邊上的三個(gè)數(shù)字都不同時(shí)，最上面有3種填法，左中有2種填法，其余都唯一， 所以共種填法。 故答案為： 【答案】 14．已知函數(shù)，對于實(shí)數(shù)t ，若存在a＞0，b ＞0 ，滿足：，使得 2，則記a＋b的最大值為H（t ）． （ⅰ）當(dāng) ＝2x時(shí)，H（0）＝ _______． （ⅱ）當(dāng)且t時(shí)，函數(shù)H（t）的值域?yàn)開______． 【知識點(diǎn)】函數(shù)綜合 【試題解析】（i） t=0．當(dāng)時(shí)， ，使得，即 所以 （ii）當(dāng)且時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 由題得： 因?yàn)镠（t）在[1，單調(diào)遞增，所以H（ 當(dāng)時(shí)， 由題得： 因?yàn)镠（t）在（單調(diào)遞減，所以H（ 綜上，H，的值域?yàn)? 故答案為： 【答案】 三、解答題共6 小題，共80 分．解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程． 15．（本小題滿分13 分） 如圖，在△ABC 中，點(diǎn)D在邊 AB上，且．記∠ACD＝ ，∠BCD＝． （Ⅰ）求證： ； （Ⅱ）若，求BC 的長． 【知識點(diǎn)】余弦定理正弦定理 【試題解析】（Ⅰ） 在中，由正弦定理，有 在中，由正弦定理，有 因?yàn)?，所? 因?yàn)椋?所以 （Ⅱ）因?yàn)椋? 由（Ⅰ）得 設(shè)，由余弦定理， 代入，得到， 解得，所以． 【答案】見解析 16．（本小題滿分13 分） xx 年世界衛(wèi)生組織、聯(lián)合國兒童基金會等機(jī)構(gòu)將青蒿素作為一線抗瘧藥品推 廣．xx 年12 月10 日，我國科學(xué)家屠呦呦教授由于在發(fā)現(xiàn)青蒿素和治療瘧疾的療法 上的貢獻(xiàn)獲得諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)．目前，國內(nèi)青蒿人工種植發(fā)展迅速． 某農(nóng)科所為了深入研究海拔因素對青蒿素產(chǎn)量的影響，在山上和山下的試驗(yàn)田中 分別種植了100 株青蒿進(jìn)行對比試驗(yàn)．現(xiàn)在從山上和山下的試驗(yàn)田中各隨機(jī)選取了4 株青蒿作為樣本，每株提取的青蒿素產(chǎn)量（單位：克）如下表所示： （Ⅰ）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)山下試驗(yàn)田青蒿素的總產(chǎn)量； （Ⅱ）記山上與山下兩塊試驗(yàn)田單株青蒿素產(chǎn)量的方差分別為，，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)， 試估計(jì)與的大小關(guān)系（只需寫出結(jié)論）； （Ⅲ）從樣本中的山上與山下青蒿中各隨機(jī)選取1 株，記這2 株的產(chǎn)量總和為，求 隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【知識點(diǎn)】隨機(jī)變量的期望與方差隨機(jī)變量的分布列樣本的數(shù)據(jù)特征 【試題解析】(I)由山下試驗(yàn)田4株青蒿樣本青蒿素產(chǎn)量數(shù)據(jù)，得樣本平均數(shù) 則山下試驗(yàn)田株青蒿的青蒿素產(chǎn)量估算為 g （Ⅱ）比較山上、山下單株青蒿素青蒿素產(chǎn)量方差和，結(jié)果為． （Ⅲ）依題意，隨機(jī)變量可以取， ， ， ， 隨機(jī)變量的分布列為 隨機(jī)變量的期望 【答案】見解析 17．（本小題滿分14 分） 如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)M ，N 分別為線段PB，PC 上的點(diǎn)，MN⊥PB． （Ⅰ）求證： BC⊥平面PAB ； （Ⅱ）求證：當(dāng)點(diǎn)M 不與點(diǎn)P ，B 重合時(shí)，M ，N ，D ， A 四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)； （Ⅲ）當(dāng)PA＝AB＝2，二面角C－AN －D的大小為時(shí)，求PN 的長． 【知識點(diǎn)】利用直線方向向量與平面法向量解決計(jì)算問題空間的角垂直 【試題解析】（Ⅰ）證明：在正方形中，， 因?yàn)槠矫妫矫妫?所以． 因?yàn)?，且，平面? 所以平面 （Ⅱ）證明：因?yàn)槠矫?，平面? 所以 在中，，， 所以． 在正方形中，， 所以， 所以可以確定一個(gè)平面，記為 所以四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi) （Ⅲ）因?yàn)槠矫妫矫妫? 所以，． 又，如圖，以為原點(diǎn)， 所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系， 所以． 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 平面的一個(gè)法向量為， 設(shè)，， 因?yàn)?，所以? 又，所以，即， 取， 得到， 因?yàn)椋? 所以，即， 取得， 到， 因?yàn)槎娲笮椋?所以， 所以 解得， 所以 【答案】見解析 18．（本小題滿分13 分） 已知函數(shù)f (x) ＝ln x＋－1， （Ⅰ）求函數(shù) f (x)的最小值； （Ⅱ）求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）求證：直線 y＝x不是曲線 y ＝g(x)的切線。 【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)求最值和極值利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【試題解析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋? 當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表： 函數(shù)在上的極小值為， 所以的最小值為 （Ⅱ）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋? 由（Ⅰ）得，，所以 所以的單調(diào)增區(qū)間是，無單調(diào)減區(qū)間． （Ⅲ）證明：假設(shè)直線是曲線的切線． 設(shè)切點(diǎn)為，則，即 又，則． 所以， 得，與矛盾 所以假設(shè)不成立，直線不是曲線的切線 【答案】見解析 19．（本小題滿分14 分） 已知橢圓C：的離心率為，橢圓C 與y 軸交于A ， B 兩點(diǎn)， 且｜AB｜＝2． （Ⅰ）求橢圓C 的方程； （Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在 y軸的右側(cè)．直線PA，PB與直線x＝ 4 分別交于M ， N 兩點(diǎn)．若以MN 為直徑的圓與x 軸交于兩點(diǎn)E ， F ，求點(diǎn)P 橫 坐標(biāo)的取值范圍及｜EF｜的最大值． 【知識點(diǎn)】圓錐曲線綜合橢圓 【試題解析】（Ⅰ）由題意可得，， ， 得， 解， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （Ⅱ）設(shè)，，， 所以，直線的方程為， 同理：直線的方程為， 直線與直線的交點(diǎn)為， 直線與直線的交點(diǎn)為， 線段的中點(diǎn)， 所以圓的方程為， 令，則， 因?yàn)?，所以? 所以， 因?yàn)檫@個(gè)圓與軸相交，該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解， 所以，解得． 設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，則（） 所以該圓被軸截得的弦長為最大值為2． 【答案】見解析 20．（本小題滿分13 分） 給定正整數(shù)n(n≥3)，集合．若存在集合A，B，C，同時(shí)滿足下 列條件： ① U n ＝A∪B∪C，且A∩B ＝ B∩C ＝A∩C＝； ②集合A 中的元素都為奇數(shù)，集合B 中的元素都為偶數(shù)，所有能被3 整除的數(shù)都在集 合C 中（集合C 中還可以包含其它數(shù)）； ③集合A ， B ，C 中各元素之和分別記為SA ， SB ，SC ，有SA ＝SB ＝SC ； 則稱集合 Un為可分集合． （Ⅰ）已知U8為可分集合，寫出相應(yīng)的一組滿足條件的集合A ， B ，C ； （Ⅱ）證明：若n 是3 的倍數(shù)，則Un不是可分集合； （Ⅲ）若Un為可分集合且n 為奇數(shù)，求n 的最小值． （考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效） 【知識點(diǎn)】數(shù)列綜合應(yīng)用 【試題解析】（I）依照題意，可以取，， （II）假設(shè)存在是的倍數(shù)且是可分集合． 設(shè)，則依照題意， 故， 而這個(gè)數(shù)的和為，故， 矛盾， 所以是3的倍數(shù)時(shí)，一定不是可分集合 (Ⅲ)35． 因?yàn)樗性睾蜑?，又中元素是偶?shù)，所以=(為正整數(shù)) 所以，因?yàn)闉檫B續(xù)整數(shù)，故這兩個(gè)數(shù)一個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為偶數(shù) 由（Ⅱ）知道，不是3的倍數(shù)，所以一定有是的倍數(shù)． 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，而， 所以一定有既是的倍數(shù)，又是的倍數(shù)，所以， 所以． 定義集合，即集合由集合中所有不是3的倍數(shù)的奇數(shù)組成， 定義集合，即集合由集合中所有不是3的倍數(shù)的偶數(shù)組成， 根據(jù)集合的性質(zhì)知道，集合， 此時(shí)集合中的元素之和都是，而， 此時(shí)中所有的倍數(shù)的和為， ， 顯然必須從集合中各取出一些元素，這些元素的和都是， 所以從集合中必須取偶數(shù)個(gè)元素放到集合中，所以， 所以，此時(shí) 而令集合， 集合， 集合， 檢驗(yàn)可知，此時(shí)是可分集合， 所以的最小值為． 【答案】見解析