12.2 古典概型與幾何概型,高考理數(shù),1.古典概型及其概率公式 (1)古典概型 具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型,簡稱古典概型. a.試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件 只有有限個(gè) ; b.每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性 相等 . (2)古典概型的概率公式 P(A)= . 2.幾何概型及其概率公式 (1)幾何概型:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的 長度(面積或體積) 成比例,則 稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型. (2)幾何概型的概率公式,知識(shí)清單,設(shè)幾何概型的基本事件空間為可度量的區(qū)域Ω,事件A所對應(yīng)的區(qū)域用A表示(A?Ω),則P(A)= . 【知識(shí)拓展】 1.對古典概型的理解 (1)一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型,在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)——有限性和等可能 性,只有同時(shí)具備這兩個(gè)特點(diǎn)的概型才是古典概型.正確判斷試驗(yàn)的類型是解決概率問題的關(guān) 鍵. (2)古典概型是一種特殊的概率模型,但并不是所有的試驗(yàn)都是古典概型. 2.古典概型與幾何概型的異同點(diǎn) 幾何概型是與古典概型最為接近的一種概率模型,兩者的共同點(diǎn)是基本事件是等可能的,不同點(diǎn) 是基本事件數(shù)一個(gè)是有限的,一個(gè)是無限的.對于幾何概型,基本事件可以抽象為點(diǎn),這些點(diǎn)盡管 是無限的,但它們所占據(jù)的區(qū)域是有限的,根據(jù)等可能性,一個(gè)點(diǎn)落在區(qū)域的概率與該區(qū)域的幾 何度量成正比,而與該區(qū)域的位置和形狀無關(guān).,求古典概型概率的基本步驟: 注意:較為復(fù)雜的問題的處理方法: (1)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和; (2)采用間接法,利用P(A)=1-P( ). 例1 (2014陜西,6,5分)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中,任取2個(gè)點(diǎn),則這2個(gè)點(diǎn)的距離不 小于該正方形邊長的概率為 ( ) A. B. C. D. 解析 取兩個(gè)點(diǎn)的所有情況有 =10種,這兩個(gè)點(diǎn)的距離小于正方形邊長的有4種,故這兩個(gè)點(diǎn),突破方法,方法1 古典概型,的距離不小于正方形邊長的情況有6種,概率為 = ,故選C. 答案 C 1-1 (2016四川宜賓二模,19,12分)根據(jù)十八大的精神,全國在逐步推進(jìn)教育教學(xué)制度改革,各高 校自主招生在高考錄取中所占的比例正在逐漸加大.對此,某高校在今年的自主招生考試中制定 了如下的規(guī)則:筆試階段,考生從6道備選試題中一次性抽取3道題,并獨(dú)立完成所抽取的3道題,至 少正確完成其中2道試題則可以進(jìn)入面試.已知考生甲正確完成每道題的概率為 ,且每道題正 確完成與否互不影響;考生乙能正確完成6道試題中的4道題,另外2道題不能完成. (1)求考生甲至少正確完成2道題的概率; (2)求考生乙能通過筆試進(jìn)入面試的概率; (3)記所抽取的三道題中考生乙能正確完成的題數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望. 解析 (1)記甲至少答對2道題的概率為P,則P= + = + = . (4分) (2)記考生乙能通過筆試為事件A,則基本事件總數(shù)n= =20, (5分) 事件A包含的基本事件數(shù)m= + =16. (7分),所以P(A)= = . (8分) (3)ξ的所有可能取值為1,2,3. P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = ,P(ξ=3)= = . (10分) 則ξ的分布列為,(11分) E(ξ)=1 +2 +3 =2. (12分),求幾何概型概率的基本步驟: 例2 (2015貴州紅花崗模擬)設(shè)實(shí)數(shù)a,b均為區(qū)間[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù),則關(guān)于x的不等式bx2+ax+ 0 有實(shí)數(shù)解的概率為( ) A. B. C. D. 解析 當(dāng)b=0,a=0時(shí),不等式bx2+ax+ 0等價(jià)于 0,顯然不成立;當(dāng)b=0,a≠0時(shí),不等式bx2+ax+ 0等價(jià)于ax+ 0,有實(shí)數(shù)解;,方法2 幾何概型,當(dāng)b≠0時(shí),若不等式bx2+ax+ 0.作出平面區(qū)域如下: 綜上,易知關(guān)于x的不等式bx2+ax+ 0有實(shí)數(shù)解的概率為圖中陰影部分與正方形的面積比,S陰= = = ,故 = = ,故選C. 答案 C 2-1 (2016廣西南寧月考,15,5分)在區(qū)間[-3,3]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率為 . 答案,解析 設(shè)f(x)=|x+1|-|x-2|,則f(x)=|x+1|-|x-2|= 由2x-1≥1得x≥1,故1≤x2,即當(dāng)1≤x ≤3時(shí),f(x)≥1.由幾何概型概率公式得所求概率為 = = .,