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2019-2020年（新課程）高中數(shù)學《第三章 三角恒等變換》模塊檢測 新人教A版必修4 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．若cos θ>0，且sin 2θ<0，則角θ的終邊所在的象限是(　　)． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　sin 2θ＝2sin θcos θ<0，又cos θ>0， ∴sin θ<0，∴θ是第四象限角． 答案　D 2．函數(shù)y＝sin x的值域是(　　)． A．[－1,1] B. C. D. 答案　B 3．已知|a|＝8，e為單位向量，當它們的夾角為時，a在e方向上的投影為(　　)． A. B．－ C．4 D．－4 解析　a在e的方向上的投影為|a|cos ＝8＝－4. 答案　D 4．下列關系式中，不正確的是(　　)． A．sin 585<0 B．tan(－675)>0 C．cos(－690)<0 D．sin 1 010<0 解析　585＝360＋225是第三象限角，則sin 585<0；－675＝－720＋45，是第一象限角， ∴tan(－675)>0；1 010＝1 080－70，是第四象限角， ∴sin 1 010<0；而－690＝－720＋30是第一象限角， ∴cos(－690)>0. 答案　C 5．函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的一條對稱軸為x＝，則φ＝(　　)． A. B. C. D．－ 解析　由y＝sin x的對稱軸為x＝kπ＋(k∈Z)， 所以3＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 得φ＝kπ＋(k∈Z)． 又|φ|<，所以k＝0，φ＝，故應選C. 答案　C 6．已知D是△ABC的邊BC上的一點，且BD＝BC，設＝a，＝b，則等于(　　)． A.(a－b) B.(b－a) C.(2a＋b) D.(2b－a) 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故選C. 答案　C 7．已知a，b均為單位向量，且它們的夾角為60，那么|a＋3b|等于(　　)． A. B. C. D. 解析　本題若直接求|a＋3b|則較為困難，因此解答時可依據(jù)公式|a|＝先求(a＋3b)2. 因為|a|＝1，|b|＝1，且它們的夾角為60， 故ab＝cos 60＝， 所以(a＋3b)2＝a2＋6ab＋9b2＝1＋3＋9＝13， 即|a＋3b|＝，故應選C. 答案　C 8．計算2sin 14cos 31＋sin 17等于(　　)． A. B．－ C. D．－ 解析　原式＝2sin 14cos 31＋sin(31－14) ＝sin 31cos 14＋cos 31sin 14＝sin 45＝. 答案　A 9．設向量a＝(cos 25，sin 25)，b＝(sin 20，cos 20)，若t是實數(shù)，且c＝a＋tb，則|c|的最小值為(　　)． A. B．1 C. D. 解析　c＝a＋tb＝(cos 25，sin 25)＋(t sin 20，tcos 20) ＝(cos 25＋tsin 20，sin 25＋tcos 20)， ∴|c|＝ ＝＝ ＝， ∴當t＝－時，|c|最小，最小值為. 答案　C 10．設△ABC的三個內角為A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若mn＝1＋cos(A＋B)，則C的值為(　　)． A. 　　　　　　 B. C. 　　　　　　 D. 解析　∵mn＝sin Acos B＋cos Asin B ＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)， ∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sin C＋cos C ＝2sin＝1. ∴sin＝， ∴＋C＝π或＋C＝(舍去)，∴C＝π. 答案　C 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上)． 11．若＝－，則sin α＋cos α＝________. 解析　原式可化為 ＝ ＝－，∴sin α＋cos α＝. 答案　 12．已知向量m＝(sin x，cos x)，p＝(2，1)．若m∥p，則sin xcos x＝________. 解析　∵m∥p，∴sin x＝2cos x，tan x＝2， ∴sin xcos x＝＝＝. 答案　 13．若向量a與b不共線，ab≠0，且c＝a－b. 則向量a與c的夾角為________． 解析　∵ac＝aa－ba＝aa－aa＝0， ∴a⊥c，即a與c的夾角為90. 答案　90 14．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan(α＋)的值為________． 解析　tan(α＋)＝tan ＝＝＝. 答案　 三、解答題(本大題共5小題，共54分，解答時應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟) 15．(10分)對任意實數(shù)x和整數(shù)n，已知f(sin x)＝sin[(4n＋1)x]，求f(cos x)． 解　f(cos x)＝f＝sin ＝sin＝sin ＝cos[(4n＋1)x]． 16．(10分)已知a，b不共線，＝2a＋kb，＝a＋3b，＝2a－b，若A，B，D三點共線，求實數(shù)k的值． 解　∵＝＋＝－＋＝a－4b， 而a與b不共線，∴≠0. 又∵A，B，D三點共線，∴，共線． 故存在實數(shù)λ，使＝λ，即2a＋kb＝λa－4λb. 又∵a與b不共線， ∴由平面向量基本定理，得?k＝－8. 17．(10分)已知α為銳角，且sin α＝. (1)求的值； (2)求tan的值． 解　(1)因α為銳角，且sin α＝，∴cos α＝＝. ∴＝ ＝＝20. (2)∵tan α＝＝，∴tan＝＝＝. 18．(12分)設a＝，b＝，若a∥b，求銳角α的值． 解　∵a＝，b＝，且a∥b， ∴－cos αsin α＝0，即sin αcos α＝. 由， 得sin α＋cos α＝ ＝ ＝， ∴sin α、cos α是方程x2－x＋＝0的兩根． 解得，或 又α∈，∴α＝或. 19．(12分)已知向量b＝(m，sin 2x)，c＝(cos 2x，n)，x∈R，f(x)＝bc，若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(0,1)和. (1)求m、n的值； (2)求f(x)的最小正周期，并求f(x)在x∈上的最小值； 解　(1)f(x)＝mcos 2x＋nsin 2x， ∵f(0)＝1，∴m＝1. ∵f＝1，∴n＝1. (2)f(x)＝cos 2x＋sin 2x＝sin， ∴f(x)的最小正周期為π. ∵x∈，∴≤2x＋≤. ∴當x＝0或x＝時，f(x)的最小值為1.