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1、第四章 常微分方程 4.1 基本概念和一階微分方程 考試內(nèi)容 常微分方程的基本概念 變量可分離的方程 齊次微分方程 一階線性微分方程 伯努利( Bernoulli )方程 全微分方程 可 用簡單的變量代換求解的某些微分方程 可降階的高階微分方程 線性微分方程解的性質及解的結構定理 二階常系數(shù)齊次線性微 分方程 高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程 簡單的二階 常系數(shù)非齊次線性微分方程 歐拉( Euler )方程 微分方程簡單 應用 考試要求 1 ．了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念 2．掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法． 3．會解齊次方程、伯努

2、利方程和全微分方程，會用簡單的變量 代換解某些微分方程 4.會用降階法解下列方程：y (n) =f (x), y,= f (x, y)和 y =f (y, y). 5．理解線性微分方程解的性質及解的結構定理． 6．掌握二隊常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于 二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。 7 .會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以 及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程. 8 .會解歐拉方程. 9 .會用微分方程解決一些簡單的應用問題. (甲)內(nèi)容要點 一、基本概念 1、常微分方程和階 2、解、通解和特解 3、初始條件 4、齊次

3、線性方程和非齊次線性方程 二、變量可分離方程及其推廣 1、dy p(x)Q(y) (Q(y) 0) dx 2、齊次方程：—f — dx x 三、一階線性方程及其推廣 1、孚 P(x)y Q(x) dx 2、2 P(x)y Q(x)y ( 0,1) dx 四、全微分方程及其推廣(數(shù)學一) 1、 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0, 2、 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0,—— x 五、差分方程(數(shù)學三) (乙)典型例題 例1、求y2 x2 dy xydy■的通解。 dx dx 解：y2 (x2 xy) dy 0 "dy dx dx Q P x

4、y —P 但存在 R( x, y),使(RQ) y x (RP) y 2 y 2 y x 2 xy x y 1 x 85 令)u,則u xdu工 x dx u 1 1 —dy y i —dy 3 y y e dy 3 y4 Cy 設y ex是xy p(x)y x的一個解，求此微分方程滿足 x ln2 0的特解 解：將y ex代入微分方程求出 P(x) xe x x,方程化為—(e x 1)y 1 dx 先求出對應齊次方程 dy (ex 1)y dx 一一 _ x 0的通解y ce 根據(jù)解的結構立刻可得非齊次方 ud

5、x x(1 u)du 0 1 u , dx - du ——C1 u x In | xu | u C1 y Ci u u "x xu e ce , y cex 例2 求微分方程dy —J 的通解 dx x y 解：此題不是一階線性方程，但把x看作未知函數(shù)，y看作自變量, 1,Q(y) y3 y 所得微分方程dx J即做」x y3是一階線性方程P(y) dy y dy y 程通解y ex cex e 1 再由 yx 1n2 0 得 2 2e2c 0, c x e x 1 故所求解y ex e 2 設F(x) f(x)g(x)，其中f(x), g(x)在(，)內(nèi)滿足

6、以下條件 f (x) g(x), g (x) f(x)，且 f (0) 0, f(x) g(x) 2ex (1)求F(x)所滿足的一階微分方程 (2)求出F(x)的表達式 解：(1)由 F (x) f (x)g(x) f(x)g(x) 2 2 g2(x) f2(x) 2 [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所滿足的一階微分方程為 F (x) 2F(x) 4e2x (2) 2dx / 2x 2dx . F (x) e 4e e dx c 2x 4x . e 4e dx c 2x 2x e ce 將 F(0)

7、f(0)g(0) 0代入，可知 c 1 于是 F(x) e2x e 2x 例5 求微分方程(y x)Vl x2 dy (1 y2)，2的通解 dx 解：令y tanu,x tanv,原方程化為 sec2 udu _3 (tan u tan v) secv 2 sec u sec vdv 化簡為 du sin(u v)—— dv 再令z 曳1,方程化為 dv dz . sinz 1 dv sin z , dz sinz sin z dv c, (sinz 1)1dz 1 sinz v c, 1 sin z z -dz v c 1 sin z

8、 42特殊的高階微分方程(數(shù)學四不要) (甲)內(nèi)容要點 、可降階的高階微分方程 方程類型 解法及解的表達式 y⑺ f(x) 通解 y f (x)(dx)n Cixn i C2xn 2 Cn ix Cn n次 y f (x, y ) 令y p,則y p，原方程 p f (x, p)——一階方程，設其解為 p g(x,Ci), 即y g(x,Ci),則原方程的通解為 y g(x,Ci)dx C2 y f (y, y) 令y p,把p看作y的函數(shù)，則 y — — — p— 把 y , y 的表達式代入原方程， dx dy dx dy /口 dp i ., 、 .、…

9、信——f (y, p) 一階方程， dy p 設其解為p g(y,Cj即電 g(y,Cj則原方程的通解為 dx dy _ x C2 g(y,Ci) 二、線性微分方程解的性質與結構 我們討論二階線性微分方程解的性質與結構， 其結論很容易地推廣到更高階的線性微分 方程。 二階齊次線性方程 y p(x)y q(x)y 0 (1) 二階非齊次線性方程 y p(x)y q(x)y f (x) (2) 1、若yi(x),y2(x)為二階齊次線性方程的兩個特解，則它們的線性組合 Ciyi(x) C2y2(x) (C1C2為任意常數(shù))仍為同方程的解，特別地，當 yi(x) 丫2兇(為

10、常數(shù))，也即yi(x)與y2(x)線性無關時，則方程的通解為 y Ciyi(x) C2y2(x)。 2、若y(x)為二階非齊次線性方程的一個特解，而 Ciyi(x) C2y2(x)為對應的二階齊次 線性方程的通解(Ci,C2為獨立的任意常數(shù))則 y y(x) Ciyi(x) C2y2(x)是此二 階非齊次線性方程的通解。 3、設 y1(x)與y2(x)分別是 y p(x)y q(x)y f1(x)與 y p(x)y q(x)y f2(x)的特解，則 yi(x) y2(x)是 y P(x)y q(x)y fi(x) f2(x)的特解 三、二階常系數(shù)齊次

11、線性方程 y py qy 0, p,q 為常數(shù) 2 特征方程 p q 0 特征方程根的三種不同情形對應方程通解的三種形式 2 (1)當 p 4q 0,特征萬程有兩個不同的實根 則方程的通解為 y Cieix C2e2x (2)當 p2 4q 0,特征方程有而重根 1 2, 則方程的通解為 y (Ci C2x)e 1x (3)當 p2 4q 0,特征方程有共軻復根 i , x - 則萬程的通解為 y e (Ci cos x C2 sin x) 四、二階常系數(shù)非齊次線性方程 方程 y py qy f (x) 其中p,q為常數(shù) 通解 y y Ciyi(x) C2y

12、2(x) 其中Ciyi(x) C2y2(x)為對應二階常系數(shù)齊次線性方程的通解上面已經(jīng)討論。所以關 鍵要討論二階常系數(shù)非齊次線性方程的一個特解 y如何求? 我們根據(jù)f(x)的形式，先確定特解 y的形式，其中包含一些待定的系數(shù)，然后代入方程確 定這些系數(shù)就得到特解 》,常見的f(x)的形式和相對應地 7的形式如下： i、f (x) pn(x),其中pn(x)為n次多項式 (i)若 0不是特征根，則令 y Rn(x) axn aixni an〔x an 其中ai(i 0,1,2, ,n)為待定系數(shù)。 (2)若0是特征方程的單根，則令 y xRn(x) (3)若0是特征方程的重根，

13、則令 y x2Rn(x) 2、f (x) Pn(x)ex其中Pn(x)為n次多項式， 為實常數(shù) (1)若 不是特征根，則令 y Rn (x)ex (2)若 是特征方程單根，則令 y xRn(x)ex (3)若 是特征方程的重根，則令 y x2Rn(x)ex 3、f (x) pn (x)e x sin x 或 f(x) pn(x)e xcos x 其中pn(x)為n次多項式，，皆為實常數(shù) (1)若 i 不是特征根，則令 y e x[Rn (x)cos x Tn(x)sin x] 其中 Rn(x) a0xn a1xn 1 an 1x an ai(i 0,1, n)為待定系數(shù) T

14、n(x) bxn "xn 1 bn 1x「 bi(i 0,1, n)為待定系數(shù) (2)若 i 是特征根，則令 y xex[Rn(x)cos x Tn(x)sin x] 五、歐拉方程(數(shù)學一) xny(n) p1xn 1y(n 1) Pn〔xy Pny 0,其中 Pi(i 1,2, , n)為常數(shù)稱為 n 階歐拉 方程，令x et代入方程，變?yōu)閠是自變量，y是未知函數(shù)的微分方程一定是常系數(shù)齊次線 性微分方程 (乙)典型例題 例1 求(1 x)y y ln( x 1)的通解 解：令y p,則y p，原方程化為 (x 1)p p ln(x 1) 1 ln(x 1) p ——p

15、 -(——) 屬于一階線性方程 x 1 x 1 1 . dx C1 |n(x 1)e xi x 1 ln(x 1)dx C1 ln(x 1) 1 C1 x 1 C1 - y ln(x 1) 1 dx C2 x 1 (x G)ln(x 1) 2x C2 例2 求下列微分方程的通解 yy (y)2 1 0 解令y p,則y p-,原方程化為 dy dp yp - dy pdp p2 1 dy y C1 1 2 八 -ln p 1 ln | y | C1 p 11 Gy2 dy 「Gy2 dx 當 G 0時，1—ln Cy

16、 1 Gy2 ,C1 x C2 、一 i 1 —— 當 G 0時， arcsin C1 y x C2 ,1 C1 例3 求y 2y 3y 2ex的通解 解先求相應齊次方程 y 2y 3y 0的通解，其特征方程為  特征根為 3, 1,因此齊次方程通解為 Y C1e 3x C2ex 1 設非齊次萬程的特解為 y,由于 1為特征根，因此設 y xAex,代入原方程可得A —, 2 故原方程的通解為 y C1e3x C2ex ：xex 例4 求方程y y 2y 2cos2x的通解 特征根為1 2, 2 1,因此齊次方程的通解為 Y C1e 2x C

17、2ex 設非齊次方程的特解為歹,由于題目中 0, 2, i 2i不是特征根，因此設 y Acos2x Bsin 2x ,代入原方程可得 (2A 2B 4A)cos2x (2B 2A 4B)sin2x 2cos2x 解聯(lián)立方程得 A —,B 10 3 八 cos2x 10 —，因此 10 1 —sin2x 10 故原方程的通解為 6A 2B 2 6B 2A 0 C1e 2x C2ex 3 - 1 .八 —cos2x — sin 2x 10 10 例 5 解 y cosx 2y sin x 3ycosx e cos2x sin 2

18、x 1 e y C1 C2 cosx cosx 5 cosx 解：令 u= y cosx ,貝U u y cosx ysin x, u y cosx 2y sin x ycosx ,原方程變 為 u 4u ex … - _ 1 V 斛出 u C1cos2x C2 sin2x -e 八 cos2x =Ci cosx x 1 e (- C2sinx (c2 5 cosx 2C2) 例6設函數(shù)y=y (x)在 內(nèi)具有二階導數(shù)，且 y 0,x x y是y = y (x)的反 函數(shù). d2x dx 3 (1) 試將x = x(y)所滿足的微分方程 dt y s

19、inx e 0變換為y = y (x) dy dy 滿足的微分方程； 3 (2) 求變換后的修分方程滿足初始條件 y (0) =0, y 0 —的解. 2 _ .,, dx 1 解 (1)由反函數(shù)導數(shù)公式知 — — dy y 即 y dx 1. dy 上式兩端關于x求導，得 2 dx d x 2 y 2 yo. dy dy dx ,2 y 所以d_x 吟夫。 2 2 3 dy y y 代入原微分方程得 y y sin x (*) (2)方程(*)所對應的齊次方程 y y 0的通解為 Y C1ex C2e x 設方程(*)的特解為

20、y = A cosx + B sin x , 1 __ 1 代入方程()求得 A = 0, B =——,故丫= — — sin x ,從而 y 2 2 y(x) C1ex C2ex [sinx. 由 y(0) 0,y 0 3 ,得 C1 1 1, 故所初值問題的解為 y sin x的通解是 1 y(x) e e -sinx. x 例 7.

21、設 f (x) =xsinx 一 (x t) f (t)dt,其中 f (x)連續(xù)，求 f (x) 解：由表達式可知f (x)是可導的，兩邊對 x求導，則得 x f x xcosx sin x ft dt 0 再對兩邊關于x求導，得 f x xsin x 2cosx f (x) xsinx 2cosx 屬于常系數(shù)二階非齊次線性方程 對應齊次方程通解 y C1cosx C2 sinx, 非齊次方程特解設 y x Ax B cosx x Cx D sinx代入方程求出系數(shù) A,B,C,D則 __ 1 2 3 . 得y -x cosx -xsinx,

22、故f (x)的一般表達式 4 4 r 1 2 3 八 八 f(x) x cosx xsinx C1 cosx C2sinx 4 4 由條件和導數(shù)表達式可知 f (0) =0, f 0 0可確定出C1 0,C2 0 1 2 3 因止匕 f (x) x2cosx -xsinx 4 4 例8已知y1 xex e2x, y2 xex ex, y3 xex e2x e x是某二階線性非齊次常 系數(shù)微分方程的三個解，求此微分方程及其通解 ^ 解：由線性微分方程的解的結構定理可得， x 2x x 2x y〔 y3 e ， y〔 y2 e e ， y〔 y y〔 y2 e 是該方程對應

23、的齊次方程的解，由解 ex與 e2x的形式，可得齊次方程為 y y 2y 0. 設該方程為 y y 2y f(x)，代入 y〔 xex e2x,得 f x 1 2x ex. 所以，該方程為y y 2y 1 2x ex, 其通解為 C1e x C2e2x xex e2x. 乳3微分方程的應用 、微分方程在幾何問題方面的應用 y軸之交點與切點的距離等 例1求通過(3, 0)的曲線方程，使曲線上任意點處切線與 于此交點與原點的距離。 解：設曲線y=y (x)上任意一點 M (x, y),則其切線方程為 Y-y= y X x ,故切線 與y軸交點A的坐標為 0,y

24、xy ,—一 一 一 2 2 2 ,由題思AM AO所以x xy y xy .這樣, 2yy 1 2 y x 0 令y2 u, 1 —u x 3 0 解得 3x x2,即 2 3 2 一 y 2 設函數(shù)f (x)在1, 上連續(xù)，若曲線 y=f (x),直線x = 1, x=t (t>1)與x軸圍 成平面圖形繞x軸旋轉一周所成旋轉體的體積 V (t) = — t2f t f 1 ,試求 y=f (x) 3 一4，，，、、- 2 所滿足的微分方程，并求 yx2 -的解. 9 解：由題意可知 t 一 2 2 一 一 V t f2

25、 x dx — t2f t f 1 1 3 則 3 tf2 xdx t2ft f 1 1 兩邊對t求導，3f2 t 2tf t t2f t 令 t = x, f (t) = f (x) = y,得 2 2 c 2c dy y o y x y 3y 2xy , — 3 — 2 — dx x x 人 y dy du 令 u —,y xu,— u x——, x dx dx du 這樣，x—— 3u u 1 ,當u 0,u 1時 dx du 3生 兩邊積分后得 口 cx3,方程通解為 u u 1 x u x2 9,可得 c= -1 y 1 x3 、其它應用（略） 1 sin z z 2dz v c cos z z tan z secz v c 最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。