《2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(含解析)新人教A版選修2-2.doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(含解析)新人教A版選修2-2.doc(5頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(含解析)新人教A版選修2-2
一、選擇題
1.函數(shù)y=x+xln x的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A.(-∞,e-2) B.(0,e-2)
C.(e-2,+∞) D.(e2,+∞)
【解析】 因?yàn)閥=x+xln x,所以定義域?yàn)?0,+∞).
令y′=2+ln x<0,解得0
0,所以函數(shù)f(x)在(4,5)上單調(diào)遞增.故選C.
【答案】 C
3.若函數(shù)f(x)=ax3-x在R上是減函數(shù),則( )
A.a(chǎn)≤0 B.a(chǎn)<1
C.a(chǎn)<2 D.a(chǎn)≤
【解析】 f′(x)=3ax2-1.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上是減函數(shù),所以f′(x)=3ax2-1≤0恒成立,所以a≤0.故選A.
【答案】 A
4.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(-1)=2,對(duì)任意x∈R,f′(x)>2.則f(x)>2x+4的解集為( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞)
【解析】 構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-(2x+4),
則g(-1)=2-(-2+4)=0,又f′(x)>2.
∴g′(x)=f′(x)-2>0,∴g(x)是R上的增函數(shù).
∴f(x)>2x+4?g(x)>0?g(x)>g(-1),
∴x>-1.
【答案】 B
5.已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞,+∞)上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-∞,-)∪[,+∞)
B.[-,]
C.(-∞,-)∪(,+∞)
D.(-, )
【解析】 f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立且不恒為0,Δ=4a2-12≤0?-≤a≤.
【答案】 B
二、填空題
6.函數(shù)f(x)=x-2sin x在(0,π)上的單調(diào)遞增區(qū)間為
__________.
【解析】 令f′(x)=1-2cos x>0,則cos x<,又x∈(0,π),解得0,得a2>1,解得a<-1或a>1.
【答案】 (-∞,-1)∪(1,+∞)
8.若函數(shù)y=-x3+bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,則b的取值范圍是__________.
【解析】 若函數(shù)y=-x3+bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,則y′=-4x2+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,所以b>0.
【答案】 (0,+∞)
三、解答題
9.(xx吉林高二檢測(cè))定義在R上的函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+3同時(shí)滿足以下條件:
①f(x)在(-∞,-1)上是增函數(shù),在(-1,0)上是減函數(shù);
②f(x)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù);
③f(x)在x=0處的切線與第一、三象限的角平分線垂直.
求函數(shù)y=f(x)的解析式.
【解】 f′(x)=3ax2+2bx+c,
因?yàn)閒(x)在(-∞,-1)上是增函數(shù),在(-1,0)上是減函數(shù),
所以f′(-1)=3a-2b+c=0.①
由f(x)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),得b=0,②
又f(x)在x=0處的切線與第一、三象限的角平分線垂直,所以f′(0)=c=-1,③
由①②③得a=,b=0,c=-1,
即f(x)=x3-x+3.
10.若函數(shù)f(x)=x3-mx2+2m2-5的單調(diào)遞減區(qū)間是(-9,0),求m的值及函數(shù)的其他單調(diào)區(qū)間.
【解】 因?yàn)閒′(x)=3x2-2mx,
所以f′(x)<0,即3x2-2mx<0.
由題意,知3x2-2mx<0的解集為(-9,0),
即方程3x2-2mx=0的兩根為x1=-9,x2=0.
由根與系數(shù)的關(guān)系,得-=-9,即m=-.
所以f′(x)=3x2+27x.
令3x2+27x>0,解得x>0或x<-9.
故(-∞,-9),(0,+∞)是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
綜上所述,m的值為-,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-9),(0,+∞).
[能力提升]
1.已知函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖134所示,那么y=f′(x),y=g′(x)的圖象可能是( )
圖134
【解析】 由題圖,知函數(shù)g′(x)為增函數(shù),f′(x)為減函數(shù),且都在x軸上方,所以g(x)的圖象上任一點(diǎn)的切線的斜率都大于0且在增大,而f(x)的圖象上任一點(diǎn)的切線的斜率都大于0且在減小.又由f′(x0)=g′(x0),知選D.
【答案】 D
2.設(shè)f(x),g(x)是定義在R上的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù),且f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,則當(dāng)af(b)g(b)
B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
C.f(x)g(b)>f(b)g(x)
D.f(x)g(x)>f(a)g(a)
【解析】 因?yàn)椤洌?
.又因?yàn)閒′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,所以在R上為減函數(shù).又因?yàn)閍>,又因?yàn)閒(x)>0,g(x)>0,所以f(x)g(b)>f(b)g(x).因此選C.
【答案】 C
3.(xx亳州高二檢測(cè))若函數(shù)f(x)=x3+x2+mx+1是R上的單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______.
【解析】 f′(x)=3x2+2x+m,由于f(x)是R上的單調(diào)函數(shù),所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立.
由于導(dǎo)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)3>0,所以只能有f′(x)≥0恒成立.
法一 由上述討論可知要使f′(x)≥0恒成立,只需使方程3x2+2x+m=0的判別式Δ=4-12m≤0,故m≥.
經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)m=時(shí),只有個(gè)別點(diǎn)使f′(x)=0,符合題意.
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥.
法二 3x2+2x+m≥0恒成立,即m≥-3x2-2x恒成立.
設(shè)g(x)=-3x2-2x=-32+,易知函數(shù)g(x)在R上的最大值為,所以m≥.
經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)m=時(shí),只有個(gè)別點(diǎn)使f′(x)=0,符合題意.
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥.
【答案】
4.設(shè)函數(shù)f(x)=a2ln x-x2+ax(a>0).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求所有的實(shí)數(shù)a,使e-1≤f(x)≤e2對(duì)x∈[1,e]恒成立.
【解】 (1)∵f(x)=a2ln x-x2+ax,其中x>0,
∴f′(x)=-2x+a
=-,
由于a>0,∴f(x)的增區(qū)間為(0,a),減區(qū)間為(a,+∞).
(2)由題意得,f(1)=a-1≥e-1,
即a≥e,
由(1)知f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,
要使e-1≤f(x)≤e2對(duì)x∈[1,e]恒成立,
只要
解得a=e.
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