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觀察與歸納(B) 年級(jí) 班 姓名 得分 一、填空題 1. 先觀察前面三個(gè)算式,從中找出規(guī)律,并根據(jù)找出的規(guī)律,直接在( )內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù). (1)1234567899=1111111101, (2)12345678918=2222222202, (3)12345678927=3333333303, (4)12345678972=( ), (5)12345678963=( ), (6)666666660654=( ), (7)999999990981=( ), (8)5555555505123456789=( ). 2. 將下列分?jǐn)?shù)約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù): =____________. 3. 在所有的兩位數(shù)中,十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大的兩位數(shù)有____個(gè). 4. 大于1的整數(shù)加下圖所示,排成8列,數(shù)1000將在第____列. 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 17 16 15 14 5. 將所有自然數(shù)如下圖排列.15120這個(gè)數(shù)應(yīng)在第____行第____個(gè)位置上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. 11個(gè)數(shù)排成一列,相鄰三個(gè)數(shù)之和等于20.已知第2個(gè)數(shù)是1,第13個(gè)數(shù)是9,第9個(gè)數(shù)是____. 7. 一數(shù)列相鄰四個(gè)數(shù)的和都是45,已知第6個(gè)數(shù)是11,第19個(gè)數(shù)是5,第44個(gè)數(shù)是24,那么第一個(gè)數(shù)是____. 8. 數(shù)列1,1991,1990,1,1989,1988,1,…從第三個(gè)數(shù)起,每個(gè)數(shù)是前兩個(gè)數(shù)的差,這個(gè)數(shù)列中第一個(gè)零出現(xiàn)在第____項(xiàng). 9. 例6中第70個(gè)數(shù)被5除余____. 10. 如下圖,有一個(gè)六邊形點(diǎn)陣,它的中心是個(gè)點(diǎn),算作第一層;第二層每邊有兩個(gè)點(diǎn)(相鄰兩邊公用一個(gè)點(diǎn));第三層每邊有三個(gè)點(diǎn),……這個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有層,第層有____個(gè)點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)陣共有____個(gè)點(diǎn). 二、解答題 11. 現(xiàn)有如下一系列圖形: 當(dāng)=1時(shí),長(zhǎng)方形分為2個(gè)直角三角形,總計(jì)數(shù)出5條邊. 當(dāng)=2時(shí),長(zhǎng)方形分為8個(gè)直角三角形,總計(jì)數(shù)出16條邊. 當(dāng)=3時(shí),長(zhǎng)方形分為18個(gè)直角三角形,總計(jì)數(shù)出33條邊. …… 按如上規(guī)律請(qǐng)你回答:當(dāng)=100時(shí),長(zhǎng)方形應(yīng)分為多少個(gè)直角三角形?總計(jì)數(shù)出多少條邊? 12. 下面的()、()、()、()為四個(gè)平面圖.數(shù)一數(shù),每個(gè)平面圖各有多少個(gè)頂點(diǎn)?多少條邊?它們分別圍成了多少個(gè)區(qū)域?請(qǐng)將結(jié)果填入下表(按填好的樣子做). 頂點(diǎn)數(shù) 邊數(shù) 區(qū)域數(shù) () 4 6 3 () () () 觀察上表,推斷一個(gè)平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系? 現(xiàn)已知某個(gè)平面圖有999個(gè)頂點(diǎn),且圍成了999個(gè)區(qū)域,試根據(jù)以上關(guān)系確定這個(gè)圖有多少條邊. 13. 全體奇數(shù)排成下圖形式,十字框子框出5個(gè)數(shù),要使這五個(gè)數(shù)之和等于, (1) 1989; (2) 1990; (3) 2005; (4) 2035,能否辦到?若能辦到,請(qǐng)你寫出十字框中的五個(gè)數(shù). 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 14. 有一列數(shù)1,3,4,7,11,18…(從第三個(gè)數(shù)開始,每個(gè)數(shù)恰好是它前面相鄰兩個(gè)數(shù)的和). (1)第1991個(gè)數(shù)被6除余幾? (2)把以上數(shù)列按下述方法分組(1),(3,4),(7,11,18)…(第組含有個(gè)數(shù)),問第1991組的各數(shù)之和被6除余數(shù)是幾? ———————————————答 案—————————————————————— 答 案: 1. 8888888808, 7777777707, 123456789, 123456789, 45. 2. 因?yàn)?,,……,即分子分母添上相同個(gè)數(shù)的6,分?jǐn)?shù)值不變,所以. 3. 十位數(shù)字是1時(shí),這樣的兩位數(shù)只有10這1個(gè); 十位數(shù)字是2時(shí),這樣的兩位數(shù)有20,21這2個(gè); 十位數(shù)字是3時(shí),這樣的兩位數(shù)有30,31,32這3個(gè); …… 由此可以推知:“十位上的數(shù)字是幾,符合條件的兩位數(shù)就有幾個(gè).”所以,符合題目條件要求的兩位數(shù),共計(jì)有:1+2+3…+8+9=45. 4. 所有8的倍數(shù)均在第三列中,數(shù)1000是8的倍數(shù),所以它在第三列中. 5. 每一行的最末一個(gè)數(shù)正好為該行行數(shù)的平方,該行開頭的數(shù)是前一行最末一個(gè)數(shù)加1.由于1222<15120<1232,15120-1222=236,故15120在第123行的236號(hào)上. 6. 14個(gè)數(shù)是每三個(gè)數(shù)的循環(huán)排列,第二個(gè)數(shù)是1,那么第8個(gè)數(shù)也是1.第13個(gè)數(shù)是9,那么第10個(gè)數(shù)也是9,所以第9個(gè)數(shù)是20-1-9=10. 7. 數(shù)列每隔4項(xiàng)重復(fù)出現(xiàn).第2個(gè)數(shù)是11,第3個(gè)數(shù)是5,第4個(gè)數(shù)是24,那么第一個(gè)數(shù)是45-(11+5+24)=5. 8. 除開1不看,數(shù)列是 1991,1990,1989,1988,…, 第1992個(gè)是0,再加上前面的996個(gè)1,第一個(gè)0出現(xiàn)在第1992+996=2988項(xiàng)上. 9. 寫出每個(gè)數(shù)被5除的余數(shù): 0,1,3,3,1,0,4,2,2,4,0,1,3,… 可見每10個(gè)余數(shù)循環(huán)一次,7010=7,第70個(gè)數(shù)被5除余為0. 10. 觀察點(diǎn)陣中各層點(diǎn)數(shù)的規(guī)律,然后歸納出點(diǎn)陣共有的點(diǎn)數(shù). 第一層有點(diǎn)數(shù):1; 第二層有點(diǎn)數(shù):16; 第三層有點(diǎn)數(shù):26; 第四層有點(diǎn)數(shù):36; ……; 第層有點(diǎn)數(shù):(-1)6. 因此,這個(gè)點(diǎn)陣的第層有點(diǎn)(-1)6個(gè), 層共有點(diǎn)數(shù)為 1+16+26+36+…+(-1)6 =1+6[1+2+3+…+(-1)] =1+6 =1+3(-1). 11. =1時(shí),直角三角形212個(gè),邊數(shù)=21(1+1)+12=5; =2時(shí),直角三角形222個(gè),邊數(shù)=22(2+1)+22=16; =3時(shí),直角三角形232個(gè),邊數(shù)=23(3+1)+32=33; 對(duì)一般的,共分為22個(gè)直角三角形, 總計(jì)數(shù)出2(+1)+2條邊. 所以=100時(shí),共分為21002=20000個(gè)直角三角形, 總計(jì)數(shù)出2100(100+1)+1002=30200條邊. 12. (1)填表如下: 頂點(diǎn)數(shù) 邊數(shù) 區(qū)域數(shù) () 4 6 3 () 8 12 5 () 6 9 4 () 10 15 6 (2)由該表可以看出,所給四個(gè)平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)之間有下述關(guān)系: 4+3-6=1 8+5-12=1 6+4-9=1 10+6-15=1 所以,我們可以推斷:任何平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)之間,都有下述關(guān)系: 頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)-邊數(shù)=1. (3)由上面所給的關(guān)系,可知所求平面圖的邊數(shù). 邊數(shù)=頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)-1 =999+999-1 =1997 注:本題第二問中的推斷是正確的,也就是說任何平面圖的頂點(diǎn)數(shù)、區(qū)域數(shù)及邊數(shù)都能滿足我們所推斷的關(guān)系.當(dāng)然,平面圖有許許多多,且千變?nèi)f化,然而不管怎么變化,頂點(diǎn)數(shù)加區(qū)域數(shù)再減邊數(shù),最后的結(jié)果永遠(yuǎn)等于1,這是不變的.因此, 頂點(diǎn)數(shù)+區(qū)域數(shù)-邊數(shù) 就稱為平面圖的不變量(有時(shí)也稱為平面圖的歐拉數(shù)——以數(shù)學(xué)家歐拉的名字命名). 13. 十字框中5個(gè)數(shù)的和等于中間那個(gè)數(shù)的5倍,1989不是5的倍數(shù),1990=5398是5的偶數(shù)倍,均不可能.20055=401,能辦到的五個(gè)數(shù)是399,401,403, 389,413. 20055=407,40712=33…11,407在最右邊一列上,故不可能. 14. 設(shè)表示數(shù)列中的等個(gè)數(shù), =+(), =+(6)(). 容易列出下表: 被6除的余數(shù) 1 3 4 1 5 0 5 5 4 3 1 4 5 被6除的余數(shù) 3 2 5 1 0 1 1 2 3 5 2 1 3 觀察上表可知=(6), =(6),則=(6).就是說,數(shù)列中的數(shù)被6除所得的余數(shù),每隔24個(gè)數(shù)重復(fù)出現(xiàn). 由于1991=2482+23,因此==5(6),即數(shù)列中等1991個(gè)數(shù)被6除余數(shù)是5. 按規(guī)定分組后,前1990組共有:1+2+3+…+1990=1981045(個(gè))數(shù),第1991組的各數(shù)之和為=++…+. 據(jù)上表可知,數(shù)列中任意相鄰的24個(gè)數(shù)之和被6除的余數(shù)就等于24個(gè)數(shù)分別被6除所得余數(shù)之和被6除所得的余數(shù),即: ++…+=(1+3+4+1+5+0+5+5+4+5+3+1+4+5+3+2+5+1+0+1+1+1+2+ 3+5+2)=66=0(6). 由1991=2482+23得 =++…++082(6). 有+=++…+=0(6), 1981045=2482543+13, ==5(6), 即被6除余數(shù)是5,故被6除所得的余數(shù)應(yīng)是1.