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2019年高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理與概率、隨機變量及其分布 第四節(jié) 隨機事件與古典概型作業(yè)本 理 1.小敏打開計算機時,忘記了開機密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N中的一個字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字,則小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是(　　) A. B. C. D. 2.對于事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,則A,B之間的關(guān)系為(　　) A.無法確定 B.互斥事件 C.非互斥事件 D.對立事件 3.在5張電話卡中,有3張移動卡和2張聯(lián)通卡,從中任取2張,若事件“2張全是移動卡”的概率是,那么概率是的事件是(　　) A.至多有1張移動卡 B.恰有1張移動卡 C.都不是移動卡 D.至少有1張移動卡 4.已知集合M={1,2,3},N={1,2,3,4}.定義映射f:M→N,則從中任取一個映射,滿足由點A(1, f(1)),B(2, f(2)),C(3, f(3))為頂點可構(gòu)成三角形,且AB=BC的概率為(　　) A. B. C. D. 5.下面三行三列的方陣中有九個數(shù)aij(i=1,2,3;j=1,2,3),從中任取三個數(shù),則至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率是　　(　　) A. B. C. D. 6.從2,3,8,9中任取兩個不同的數(shù)字,分別記為a,b,則logab為整數(shù)的概率是　　　　. 7.連續(xù)拋擲兩顆骰子得到的點數(shù)分別為m,n,向量a=(m,n)與向量b=(1,0)的夾角記為α,則α∈的概率為　　　　. 8.設(shè)a∈{1,2,3},b∈{2,4,6},則函數(shù)y=lo是減函數(shù)的概率為　　　　. 9.(xx北京,16,13分)A,B兩組各有7位病人,他們服用某種藥物后的康復時間(單位:天)記錄如下: A組:10,11,12,13,14,15,16; B組:12,13,15,16,17,14,a. 假設(shè)所有病人的康復時間互相獨立,從A,B兩組隨機各選1人,A組選出的人記為甲,B組選出的人記為乙. (1)求甲的康復時間不少于14天的概率; (2)如果a=25,求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率; (3)當a為何值時,A,B兩組病人康復時間的方差相等?(結(jié)論不要求證明) B組　提升題組 10.某校組織5名學生參加演講比賽,采用抽簽法決定演講順序,在“學生A和B都不是第一個出場,B不是最后一個出場”的前提下,學生C第一個出場的概率為(　　)　 A. B. C. D. 11.在的展開式中,前三項的系數(shù)成等差數(shù)列,把展開式中所有的項重新排成一列,有理項都互不相鄰的概率為　　(　　) A. B. C. D. 12.(xx北京東城一模,8)甲拋擲均勻硬幣2 017次,乙拋擲均勻硬幣2 016次,下列四個隨機事件的概率是0.5的是　　(　　) ①甲拋出正面次數(shù)比乙拋出正面次數(shù)多. ②甲拋出反面次數(shù)比乙拋出正面次數(shù)少. ③甲拋出正面次數(shù)比甲拋出反面次數(shù)多. ④乙拋出正面次數(shù)與乙拋出反面次數(shù)一樣多. A.①② B.①③ C.②③ D.②④ 13.在30瓶飲料中,有3瓶已過了保質(zhì)期.從這30瓶飲料中任取2瓶,則至少取到1瓶已過保質(zhì)期飲料的概率為　　　(結(jié)果用最簡分數(shù)表示). 14.(xx北京東城一模,16)近年來共享單車在我國主要城市發(fā)展迅速.目前市場上有多種類型的共享單車,有關(guān)部門對其中三種共享單車方式(M方式、Y方式、F方式)進行統(tǒng)計(統(tǒng)計對象年齡在15~55歲),相關(guān)數(shù)據(jù)如表1,表2所示. 三種共享單車方式人群年齡比例(表1) 不同性別選擇共享單車種類情況統(tǒng)計(表2) (1)根據(jù)表1估算出使用Y方式人群的平均年齡; (2)若從統(tǒng)計對象中隨機選取男女各一人,試估計男性使用共享單車種類數(shù)大于女性使用共享單車種類數(shù)的概率; (3)現(xiàn)有一個年齡在25~35歲之間的共享單車用戶,那么他使用Y方式出行的概率最大,使用F方式出行的概率最小,試問此結(jié)論是否正確?(只需寫出結(jié)論)  答案精解精析 A組　基礎(chǔ)題組 1.C　小敏輸入密碼前兩位的所有可能情況如下: (M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5), (I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5), (N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15種. 而能開機的密碼只有一種,所以小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率為. 2.B　∵P(A)=,P(B)=,∴P(A)+P(B)=+=,又P(A∪B)=, ∴P(A∪B)=P(A)+P(B),∴A,B為互斥事件.故選B. 3.A　“至多有1張移動卡”包含“1張是移動卡,1張是聯(lián)通卡”“2張全是聯(lián)通卡”兩種情況,它是“2張全是移動卡”的對立事件,故選A. 4.C　∵集合M={1,2,3},N={1,2,3,4}, ∴滿足映射f:M→N的事件有43=64個, ∵由點A(1, f(1)),B(2, f(2)),C(3, f(3))構(gòu)成△ABC且AB=BC,∴f(1)=f(3)≠f(2),∵f(1)=f(3)有4種選擇, f(2)有3種選擇,∴從中任取一個映射,滿足由點A(1, f(1)),B(2, f(2)),C(3, f(3))構(gòu)成△ABC且AB=BC的事件有43=12個, ∴所求概率為=. 5.D　從九個數(shù)中任取三個數(shù)的不同取法共有==84(種),取出的三個數(shù)分別位于不同的行與列的取法共有=6(種),所以至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率為1-=. 6.答案　 解析　所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12個. 記“l(fā)ogab為整數(shù)”為事件A, 則事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2個. ∴P(A)==. 7.答案　 解析　依題意得a=(m,n)(m,n為正整數(shù))共有36種情況,要使向量a與向量b=(1,0)的夾角α∈,需滿足<1,即m>n,則有(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5),共15種情況.所以所求概率為=. 8.答案　 解析　函數(shù)y=在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù), 要使函數(shù)y=lo是減函數(shù),則>1, ∵a∈{1,2,3},b∈{2,4,6}, ∴可取2,4,6,1,3,,,共7個值, 其中大于1的有2,4,6,3,,共5個值, ∴函數(shù)y=lo是減函數(shù)的概率為. 9.解析　設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個人”, 事件Bj為“乙是B組的第j個人”,i,j=1,2,…,7. 由題意可知P(Ai)=P(Bj)=,i,j=1,2,…,7. (1)由題意知,事件“甲的康復時間不少于14天”等價于“甲是A組的第5人,或者第6人,或者第7人”,所以甲的康復時間不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)=P(A5)+P(A6)+P(A7)=. (2)設(shè)事件C為“甲的康復時間比乙的康復時間長”. 由題意知,C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6. 因此P(C)=P(A4B1)+P(A5B1)+P(A6B1)+P(A7B1)+P(A5B2)+P(A6B2)+P(A7B2)+P(A7B3)+P(A6B6)+P(A7B6)=10P(A4B1)= 10P(A4)P(B1)=. (3)a=11或a=18. B組　提升題組 10.A　在“學生A和B都不是第一個出場,B不是最后一個出場”的前提下,另外3人中任何一個人第一個出場的概率都相等,故“C第一個出場”的概率為. 11.D　的展開式的通項是Tr+1=()n-r=2-r.依題意有+2-2=22-1=n,即n2-9n+8=0,所以(n-1)(n-8)=0,又n≥2,因此n=8.的展開式的通項是Tr+1= 2-r,展開式中的有理項共有3項, ∴所求的概率等于=,故選D. 12.B　設(shè)事件A為甲拋出正面次數(shù)比乙拋出正面次數(shù)多, 事件B為甲拋出反面次數(shù)比乙拋出反面次數(shù)多, 則A的對立事件為甲拋出正面次數(shù)與乙拋出正面次數(shù)相等或甲拋出正面次數(shù)比乙拋出正面次數(shù)少, 當甲拋出正面次數(shù)與乙拋出正面次數(shù)相等時,則甲拋出反面次數(shù)比乙多, 當甲拋出正面次數(shù)比乙拋出正面次數(shù)少時,則甲拋出反面次數(shù)比乙多. 綜上分析,A與B為對立事件,則P(A)+P(B)=1, 因為拋一次硬幣,出現(xiàn)正反面的概率相等,所以P(A)=P(B), 所以P(A)=,故①正確. 同理,設(shè)事件A為甲拋出反面次數(shù)比乙拋出正面次數(shù)多,則P(A)=, 則A的對立事件B為甲拋出反面次數(shù)與乙拋出正面次數(shù)相等或甲拋出反面次數(shù)比乙拋出正面次數(shù)少, 而P(甲拋出反面次數(shù)比乙拋出正面次數(shù)少)<,因此②錯. 設(shè)事件A為甲拋出正面次數(shù)比反面次數(shù)多,因為奇數(shù)次不可能出現(xiàn)正反面的次數(shù)相等, 故A的對立事件B為甲拋出正面次數(shù)比反面次數(shù)少,所以P(A)=P(B)=,所以③正確. P(乙拋出正面次數(shù)等于乙拋出反面次數(shù))=≠,所以④錯. 13.答案　 解析　解法一:概率為P==. 解法二:概率為P=1-=. 14.解析　(1)a=5. 由表1知使用Y方式人群的平均年齡的估計值為 2020%+3055%+4020%+505%=31. 答:使用Y共享單車方式人群的平均年齡約為31歲. (2)設(shè)事件Ai為“男性選擇i種共享單車”,i=1,2,3, 設(shè)事件Bi為“女性選擇i種共享單車”,i=1,2,3, 設(shè)事件E為“男性使用共享單車種類數(shù)大于女性使用共享單車種類數(shù)”. 由題意知,E=A2B1∪A3B1∪A3B2, 因此P(E)=P(A2B1)+P(A3B1)+P(A3B2)=0.58. 答:男性使用共享單車種類數(shù)大于女性使用共享單車種類數(shù)的概率為0.58. (3)此結(jié)論不正確.