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2019-2020年高三4月第一次周考 理科數(shù)學(xué) 含答案 參考公式： 如果事件互斥，那么 球的體積公式 其中表示球的半徑 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)符合題目要求。 1．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部是（　?。? A． B． C． D． 2．設(shè)的值（　　） A． B． C． D． 3．下列有關(guān)命題的說法正確的是（　?。? A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”． B．“”是“”的必要不充分條件． C．命題“存在，使得”的否定是：“對(duì)任意，均有”． D．命題“若，則”的逆否命題為真命題． 4．某圓柱被一平面所截得到的幾何體如圖（1）所示，若該幾何體的正視圖是等腰直角三角形，俯視圖是圓（如右圖），則它的側(cè)視圖是（　?。? 5．右面是“二分法”求方程在區(qū)間上的近似解 　的流程圖．在圖中①~④處應(yīng)填寫的內(nèi)容分別是（　?。? A．；是；否 B．；是；否 C．；是；否 D．；否；是 6．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，其前項(xiàng)和是，對(duì)任意的 且，則的最大值是（ ） A． B． C． D． 7．已知雙曲線的離心率為2，則橢圓的離心率為（　　） A． B． C． D． 8．函數(shù)在坐標(biāo)原點(diǎn)附近的圖象可能是（　?。? 9．如右圖，給定兩個(gè)平面向量和，它們的夾角為，點(diǎn)在以為圓心的圓弧上，且（其中），則滿足的概率為（　?。? A． B． C． D． 10．已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，成立（其中的導(dǎo)函數(shù)），若，，則的大小關(guān)系是（　?。? A． B． C． D． 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填寫在答題卡上 11.若二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為,則= 　　 . 12．如果函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一條平行于軸的對(duì)稱軸，則的取值范圍是　　　　　　． 13．已知實(shí)數(shù)滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是________________． 14．已知三棱錐，兩兩垂直且長(zhǎng)度均為6，長(zhǎng)為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)在內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），則的中點(diǎn)的軌跡與三棱錐的面圍成的幾何體的體積為 ． 三、選做題（本大題共兩小題，任選一題作答，若兩題都做，則按所做的第①題給分，共5分） 15．①（極坐標(biāo)與參數(shù)方程選講選做題）已知點(diǎn)，參數(shù)，點(diǎn)Q在曲線C：上，則點(diǎn)與點(diǎn)之間距離的最小值為 ． ②（不等式選講選做題）若存在實(shí)數(shù)滿足,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___． 四、解答題：本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 16．（本小題滿分12分）已知函數(shù)， （1）求函數(shù)的最大值和最小正周期； （2）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別且,，若，求的值． 17．（本小題滿分12分） 目前南昌市正在進(jìn)行師大地鐵站點(diǎn)圍擋建設(shè)，為緩解北京西路交通壓力，計(jì)劃將該路段實(shí)施“交通限行”．在該路段隨機(jī)抽查了50人，了解公眾對(duì)“該路段限行”的態(tài)度，將調(diào)查情況進(jìn)行整理，制成下表： （1）完成被調(diào)查人員年齡的頻率分布直方圖； （2）若從年齡在的被調(diào)查者中各隨機(jī)選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查，記選中的4人中不贊成“交通限行”的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望． 18．（本小題滿分12分） 如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，．點(diǎn)分別在邊上，點(diǎn)與點(diǎn)不重合，．沿將翻折到的位置，使平面平面． （1）求證：平面； （2）設(shè)點(diǎn)滿足，試探究：當(dāng)取得最小值時(shí)，直線與平面所成角的大小是否一定大于？并說明理由． 19．（本小題滿分12分） 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）在數(shù)列的每?jī)身?xiàng)之間都按照如下規(guī)則插入一些數(shù)后，構(gòu)成新數(shù)列，在兩項(xiàng)之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，求的值； （3）對(duì)于（2）中的數(shù)列，若，并求（用表示）． 20.（本小題滿分13分） 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，離心率為，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，且 （1）若過三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓C的方程； （2）在（1）的條件下，過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，說明理由． 21．（本題滿分14分） 已知，函數(shù) （1）求的極小值； （2）若在上為單調(diào)增函數(shù)，求的取值范圍； （3）設(shè)，若在（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上至少存在一個(gè)，使得成立，求的取值范圍． 高三數(shù)學(xué)（理）參考答案 一、選擇題 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D C D C A B A 二、填空題 11． 12． 13． 14． 三、選做題 15．①4-1　② 四、解答題 16．解析：（1）……………．3分 則的最大值為0， 最小正周期是………………………………………………6分 （2）則 由正弦定理得①………………………………9分 由余弦定理得 即② 由①②解得 ………………………………………12分 17．解：（1） （2）所有可能取值有0，1，2，3， ， ………………………………………………10分 所以的分布列是 0 1 2 3 所以的期值是……………………………………12分 18．解：（1）證明：∵　菱形的對(duì)角線互相垂直，∴，∴， ∵ ，∴． ∵　平面⊥平面，平面平面，且平面， ∴　平面, ∵ 平面，∴?。? ∵ ，∴　平面．……………………………… 4分 （2）如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè) 因?yàn)椋詾榈冗吶切危? 故，．又設(shè)，則，． 所以，，， 故 ， 所以， 當(dāng)時(shí)，．此時(shí)，………………………………6分 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由（1）知，，則，，，．所以，， ∵，　∴ ． ∴，∴． 10分 設(shè)平面的法向量為，則． ∵，，∴　 取，解得：， 所以．……………………………… 8分 設(shè)直線與平面所成的角， ∴ ．……………………………………………… 10分 又∵∴． ∵，∴． 因此直線與平面所成的角大于，即結(jié)論成立．……………………………12分 19．解：（1）當(dāng)時(shí)，由.又與相減得： ，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以；…………4分 （2）設(shè)和兩項(xiàng)之間插入個(gè)數(shù)后，這個(gè)數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為，則 ，又，故……………………………… 8分 （3）依題意， ，考慮到， 令，則 ， 所以………………………… 12分 20．解：（1）由題意，得，所以 又 由于，所以為的中點(diǎn)， 所以 所以的外接圓圓心為，半徑…………………3分 又過三點(diǎn)的圓與直線相切， 所以解得， 所求橢圓方程為 …………………………………………………… 6分 （2）有（1）知,設(shè)的方程為： 將直線方程與橢圓方程聯(lián)立 ,整理得 設(shè)交點(diǎn)為，因?yàn)? 則……………………………………8分 若存在點(diǎn)，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形， 由于菱形對(duì)角線垂直，所以 又 又的方向向量是，故，則 ，即 由已知條件知………………………11分 ，故存在滿足題意的點(diǎn)且的取值范圍是………………13分 21．解：（1）由題意，，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故． …………………………………………………………………4分 （2） ，，由于在內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范圍是．…………………9分 （3）構(gòu)造函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，由得，，，所以在上不存在一個(gè)，使得． 當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，，所以要在上存在一個(gè)，使得，必須且只需，解得，故的取值范圍是．…………………14分 另法:（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)時(shí)，由，得 ， 令，則，所以在上遞減，． 綜上，要在上存在一個(gè)，使得，必須且只需． ……………………………………………………………………………………………14分