單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,6.2 多元函數(shù)的微積分,主要內(nèi)容：,一,.,多元函數(shù)的概念,二.二元函數(shù)的極限和連續(xù),三.偏導數(shù)的概念及簡單計算,四.全微分,五.空間曲線的切線與法平面,六.曲面的切平面與法線,七.多元函數(shù)的極值,設,D,是平面上的一個點集如果對于每個點,P,(,x,，,y,),D,，,變量,z,按照一定法則總有確定的值和它對應，則稱,z,是變量,x、y,的二元函數(shù)(或點,P,的函數(shù))，記為,z,=,f,(,x,，,y,)(,或,z,=,f,(,P,),二元函數(shù)的定義：,其中,D,稱為定義域，,x,，,y,稱為自變量，,z,稱為因變量,類似地可定義三元及三元以上函數(shù),當自變量的個數(shù)多于一個時,函數(shù)稱為多元函數(shù),一.多元函數(shù)的概念,二元函數(shù)的圖形：,二元函數(shù)的圖形是一張曲面,例,z,=,a x,+,b,y,+c,是一張平面，,x,y,z,O,x,0,y,0,M,0,點集(,x,，,y,，,z,)|,z,=,f,(,x,，,y,)，(,x,，,y,),D,稱為二元函數(shù),z,f,(,x,，,y,),的圖形,由方程,x,2,y,2,z,2,a,2,確定的函數(shù),z,=,f,(,x,，,y,),有兩個：,由方程,x,2,y,2,z,2,a,2,確定的函數(shù),z,=,f,(,x,，,y,),是中心在原點，,它的定義域為,D,=(,x,，,y,)|,x,2,y,2,a,2,O,x,y,半徑為,a,的球面,二.二元函數(shù)的極限和連續(xù),1.二元函數(shù)的極限,設函數(shù),f,(,x,，,y,),在開區(qū)域(或閉區(qū)域),D,內(nèi)有定義，,P,0,(,x,0,，,y,0,),是,D,的內(nèi)點或邊界點如果對于任意給定的正數(shù),e,總存在正數(shù),d,，,使得對于適合不等式,都有|,f,(,x,，,y,),A,|,e,成立，,則稱常數(shù),A,為函數(shù),f,(,x,，,y,),當,x,x,0,，,y,y,0,時的極限，,記為,這里,r,|,P,P,0,|,我們把上述二元函數(shù)的極限叫做,二重極限,定義,的一切點,P,(,x,，,y,),D,，,(1),二重極限存在，是指,P,以任何方式趨于,P,0,時，函數(shù)都無限接近于,A,.,例,當點,P,(,x,，,y,),沿,x,軸、,y,軸趨于點(0，0)時函數(shù)的極限為零，,當點,P,(,x,，,y,),沿直線,y,=,k,x,趨于點(0，0)時,注意：,(2),如果當,P,以兩種不同方式趨于,P,0,時，函數(shù)趨于不同的值，則函數(shù)的極限不存在,則稱函數(shù),f,(,x,，,y,),在點,P,0,(,x,0,，,y,0,),連續(xù),定義：,設函數(shù),f,(,x,y,),在開區(qū)域(或閉區(qū)域),D,內(nèi)有定義,P,0,(,x,0,y,0,),D,函數(shù),f,(,x,，,y,),在區(qū)域(開區(qū)域或閉區(qū)域),D,內(nèi)連續(xù)：是指函數(shù),f,(,x,，,y,),在,D,內(nèi)每一點連續(xù)此時稱,f,(,x,，,y,),是,D,內(nèi)的連續(xù)函數(shù),二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應地推廣到,n,元函數(shù),f,(,P,),上去,2.,二元函數(shù)的連續(xù)性,如果,所以函數(shù)在原點不連續(xù),.,例,函數(shù)在單位圓,上各點是否連續(xù)？,解：,如果,函數(shù)在單位圓上任何點都連續(xù),若在單位圓上任何點都不連續(xù),設函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在點(,x,0,，,y,0,),的某一鄰域內(nèi)有定義，,當,y,固定,在,y,0,而,x,在,x,0,處有增量,x,時，,相應地函數(shù)有增量,f,(,x,0,x,，,y,0,),f,(,x,0,，,y,0,)，,（）如果極限,存在，,則稱此極限為函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在點(,x,0,，,y,0,),處對,x,的偏導數(shù)，記作,定義,偏導數(shù)的概念及簡單計算,1.偏導數(shù)的概念：,記作,（）如果極限,則稱此極限為函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在點(,x,0,，,y,0,),處對,y,的偏導數(shù)，,存在，,對自變量的偏導函數(shù)，記作,偏導函數(shù)：,如果函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在區(qū)域,D,內(nèi)每一點(,x,，,y,),處對,x,的偏導數(shù)都,存在，,那么這個偏導數(shù)就是,x,、,y,的函數(shù)，,它就稱為函數(shù),z,f,(,x,，,y,),類似地，可定義函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在點(,x,0,，,y,0,),處對,y,的偏導,函數(shù)，,記為,偏導數(shù)與偏導函數(shù)的關系：,2.一階偏導數(shù)的計算,注意：,看成二者之商,.,例,3,求,z,x,2,3,x,y,y,2,在點(1，2)處的偏導數(shù),解,3.二階偏導數(shù)的計算,按照對變量求導次序的不同有下列四個二階偏導數(shù),二階偏導數(shù)：,設函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在區(qū)域,D,內(nèi)具有偏導數(shù),那么在,D,內(nèi),f,x,(,x,，,y,)、,f,y,(,x,，,y,),都是,x,，,y,的函數(shù)如果這兩個函數(shù),的偏導數(shù)也存在,則稱它們是函數(shù),z,f,(,x,，,y,),的二偏導數(shù),二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù),其中,稱為,混合偏導數(shù),同樣可得三階、四階以及,n,階偏導數(shù),高階偏導數(shù):,解,在對,x,求導就有,得證.,設,z,f,(,u,，,v,)，,而,u,j,(,x,，,y,)，,v,y,(,x,，,y,)，,則復合函數(shù),4.復合函數(shù)的微分法(鏈式法則),z,f,j,(,x,，,y,)，,y,(,x,，,y,),的偏導數(shù)為：,四.全微分,全增量：,z,f,(,x,x,，,y,y,),f,(,x,，,y,),稱為函數(shù)在點,P(x，y),對,自變量增量,x,、,y,的全增量,全微分的定義：,如果函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在點(,x,，,y,),的全增量,記作,dz,或,df,(,x,y,),即,或,可微:,當函數(shù),z,=,f,(,x,y,),在,(,x,y,),全微分存在時,稱,z,=,f,(,x,y,),在,(,x,y,),可微.,當函數(shù),z,=,f,(,x,y,),在區(qū)域,D,的每一點都可微時,稱,z,=,f,(,x,y,),在,區(qū)域,D,可微.,定理1,函數(shù),z,=,f,(,x,y,),在其一階偏導數(shù)連續(xù)時一定可微.,定理2,函數(shù),z,=,f,(,x,y,),在可微點連續(xù).,定理1和定理2的結論可推廣到三元及三元以上函數(shù),連續(xù)，則它可微,且其全微分為,解,由定義知,所以,得,解,因為,所以,五空間曲線的切線與法平面,定義:,設在空間曲線 上有一個定點,，,在其鄰近處取 上另一點,，,并作割線,令 沿 趨近 ，,那么割線的極限位置,的,切線,就是曲線 在點,M,M,x,y,z,O,T,設空間曲線,的參數(shù)方程為,得曲線在點,M,處的切線方程為,過曲線,上,t,t,0,和,t,t,0,t,對應的,考慮,當,M,M,，,即,t,0,時,x,(,t,)，,y,y,(,t,)，,z,w,(,t,),這里假定,(,t,)，,y,(,t,)，,w,(,t,),都可導,點,M,和,M,，,作曲線的割線,M,M,，,x,y,z,O,M,通過點,M,而與切線垂直的平面,法平面：,x,y,z,O,M,j,(,t,0,)(,x,x,0,),y,(,t,0,)(,y,y,0,),w,(,t,0,)(,z,z,0,),0,稱為曲線,在點,M,處的法平面.,法平面方程為:,例,9,求曲線,x,t,，,y,t,2,，,z,t,3,在點(1，1，1)處的切線及法平面,于是，切線方程為,法平面方程為,(,x,1),2(,y,1),3(,z,1),0，,即,x,2,y,3,z,6,方程.,數(shù),t,1，,所以,曲面,上通過點,M,的一切曲線在點,M,的切線都在,同一個平面上這個平面稱為曲面,在點,M,的切平面,通過點,M,(,x,0,，,y,0,，,z,0,),而垂直于切平面的直線稱為曲面在該,曲面的切平面：,曲面的法線：,六曲面的切平面與法線,曲面的法向量：,垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量,點的法線,其中函數(shù),z=f(x,y),具有連續(xù)的一階偏導數(shù),法線的方程,為,切平面方程為：,解,f,(,x,，,y,),3x,2,2,y,2,，,例,10,求拋物面,z,3,x,2,2,y,2,在點,P(1,，,-1,，,5),處的切平面方程及,所以在點(2，1，4)處的切平面方程為,6(,x,1),-4,(,y,+,1),(,z,5),0，,即,6,x,-4,y,z,5,0,法線方程為,法線方程,七多元函數(shù)的極值,設函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在點(,x,0,，,y,0,),的某個鄰域內(nèi)有定義，對于該,鄰域內(nèi)異開(,x,0,，,y,0,),的點(,x,，,y,)：,如果都適合不等式,f,(,x,，,y,),f,(,x,0,，,y,0,)，,則稱函數(shù)在點(,x,0,，,y,0,),有極小值,f,(,x,0,，,y,0,),極大值、極小值統(tǒng)稱為極值使函數(shù)取得極值的點稱為極值點,極值的定義：,定理,有界閉域上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值,例,11,函數(shù),z,(,x-2),2,(,y-3),2-1,在點,(,2,，,3),處有極小值,-1,也有使函數(shù)值為負的點,因為在點(0，0)處的函數(shù)值為零，,而在點(0，0)的任一鄰域,內(nèi)，,總有使函數(shù)值為正的點，,取得極小值,處既不取得極大值也不,在點,函數(shù),例,),0,0,(,4,xy,z,=,定理,設函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在點(,x,0,，,y,0,),具有偏導數(shù)，且在點,取得極值的必要條件：,(,x,0,，,y,0,),處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必然為零：,駐點：,函數(shù),z,f,(,x,，,y,),的駐點,注意,：,函數(shù)的駐點不一定是極值點,極值點一定是駐點,如：函數(shù),（，）點,是其駐點，但不是其極值點,定理,設函數(shù),z,f,(,x,，,y,),在點(,x,0,，,y,0,),的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一,取得極值的充分條件：,(3),AC,B,2,0,時可能有極值，也可能沒有極值,(2),AC,B,2,0,時具有極值，且當,A,0,時有,極小值,；,則,f,(,x,，,y,),在(,x,0,，,y,0,),處是否取得極值的條件如下：,階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又,f,x,(,x,0,，,y,0,),0，,f,y,(,x,0,，,y,0,),0，,令,求二元函數(shù)極值的步驟：,f,x,(,x,，,y,),0，,f,y,(,x,，,y,),0，,第一步 解方程組,求得一切實數(shù)解，即可得一切駐點,第二步 對于每一個駐點(,x,0,，,y,0,)，,求出二階,偏導數(shù)的,值,A,、,B,和,C,第三步 定出,AC,B,2,的符號，按定理的結論判,f,(,x,0,，,y,0,),是否是極值、是極大值 還是極小值,例,12,求函數(shù),f,(,x,，,y,),x,3,y,3,3,x,2,3,y,2,9,x,的極值,求得駐點為(1，0)、(1，2)、(,3，0)、(,3，2),在點(1，0)處，,AC,B,2,1260，,又,A,0，,所以函數(shù)的(1，0),處有極小值,f,(1，0),5,；,在點(1，2)處，,AC,B,2,12(,6)0，,所以,f,(1，2),不是極值；,在點(,3，0)處，,AC,B,2,1260，,又,A,0，,所以函數(shù)的,(,3，2)處有極大值,f,(,3，2),31,f,xx,(,x,，,y,),6,x,6，,f,xy,(,x,，,y,),0，,f,yy,(,x,，,y,),6,y,6,再求出二階偏導數(shù),八,.,小結,1 多元函數(shù)的概念,2 二元函數(shù)的極限,3 二元函數(shù)的連續(xù)性,(1)偏導數(shù)的概念,(2)一階偏導數(shù)的計算,(3)二階偏導數(shù)的計算,(4)復合函數(shù)的微分法,5 全微分,4 偏導數(shù)的概念及簡單計算,6空間曲線的切線與法平面,7曲面的切平面與法線,8.多元函數(shù)的極值,j,(,t,0,)(,x,x,0,),y,(,t,0,)(,y,y,0,),w,(,t,0,)(,z,z,0,),0,函數(shù)極值的求法,九.作業(yè),習題6.2,2,4,6,8,10,