,*,,,,,,,,,,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,7-1,空間解析幾何基本知識,,第一節(jié),一、空間直角坐標(biāo)系,二、曲面及其方程的概念,三、幾種常見的曲面及其方程,空間解析幾何基本知識,第,七,章,,,Ⅶ,面,面,面,Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,Ⅵ,Ⅷ,x,軸,(,橫軸,),y,軸,(,縱軸,),z,,軸,(,豎軸,),復(fù)習(xí),1.,空間直角坐標(biāo)系,,,2.,平面基本方程,:,一般式,復(fù)習(xí),平面,A x,+,B y,+,C z,= 0,通過坐標(biāo)原點(diǎn)；,3.,平面一般方程,的幾種特殊情況：,截距式,,,平面過,x,,軸；,平面,//,x,,軸；,平面,Cz,+,D,= 0,平行于,xoy,,坐標(biāo)面；,平面過,y,,軸；,平面,//,y,,軸；,平面,By,+,D,=0,平行于,xoz,,坐標(biāo)面；,平面,Ax,+,D,=0,平行于,yoz,,坐標(biāo)面,.,平面過,z,,軸；,平面,//,z,,軸,.,,,4.,柱面方程的,特征：,只含兩個坐標(biāo)的方程,一定是,柱面方程,，,缺少哪個變量字母，,母線,就,平行于哪個坐標(biāo)軸,.,二元方程,都是柱面方程,25,,,引例,.,,分析方程,表示怎樣的曲面,.,的坐標(biāo)也滿足方程,解,:,在,xoy,面上，,表示圓,C,,,沿曲線,C,平行于,,z,軸的一切直線,故在空間,過此點(diǎn)作,所形成的曲面稱為,圓柱面,.,對任意,z,,,平行,,z,,軸的直線,l ,,表示,圓柱面,,在圓,C,上任取一點(diǎn),其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,,,三、柱面,,,觀察柱面的形成過程,:,平行于定直線,并,沿定曲線,C,移動的,直線,L,所,這條,定曲線,C,,叫,(1),定義,形成的曲面,稱為,柱面,.,柱面的,準(zhǔn)線，,直線,L,,叫柱面的,母線,.,動,C,一般的,,,C,平行于定直線,并,沿定曲線,C,移動的,直線,L,所,(1),定義,形成的曲面,稱為,柱面,.,三、柱面,觀察柱面的形成過程,:,這條,定曲線,C,,叫,柱面的,準(zhǔn)線，,直線,L,,叫柱面的,母線,.,動,,,C,平行于定直線,并,沿定曲線,C,移動的,直線,L,所,(1),定義,形成的曲面,稱為,柱面,.,三、柱面,觀察柱面的形成過程,:,這條,定曲線,C,,叫,柱面的,準(zhǔn)線，,直線,L,,叫柱面的,母線,.,動,,,C,平行于定直線,并,沿定曲線,C,移動的,直線,L,所,(1),定義,形成的曲面,稱為,柱面,.,三、柱面,觀察柱面的形成過程,:,這條,定曲線,C,,叫,柱面的,準(zhǔn)線，,直線,L,,叫柱面的,母線,.,動,,,C,平行于定直線,并,沿定曲線,C,移動的,直線,L,所,(1),定義,形成的曲面,稱為,柱面,.,三、柱面,觀察柱面的形成過程,:,這條,定曲線,C,,叫,柱面的,準(zhǔn)線，,直線,L,,叫柱面的,母線,.,動,,,C,平行于定直線,并,沿定曲線,C,移動的,直線,L,所,(1),定義,形成的曲面,稱為,柱面,.,三、柱面,觀察柱面的形成過程,:,這條,定曲線,C,,叫,柱面的,準(zhǔn)線，,直線,L,,叫柱面的,母線,.,動,,,C,平行于定直線,并,沿定曲線,C,移動的,直線,L,所,(1),定義,形成的曲面,稱為,柱面,.,三、柱面,觀察柱面的形成過程,:,這條,定曲線,C,,叫,柱面的,準(zhǔn)線，,直線,L,,叫柱面的,母線,.,動,,,C,平行于定直線,并,沿定曲線,C,移動的,直線,L,所,(1),定義,形成的曲面,稱為,柱面,.,三、柱面,觀察柱面的形成過程,:,這條,定曲線,C,,叫,柱面的,準(zhǔn)線，,直線,L,,叫柱面的,母線,.,動,,,C,平行于定直線,并,沿定曲線,C,移動的,直線,L,所,(1),定義,形成的曲面,稱為,柱面,.,三、柱面,觀察柱面的形成過程,:,這條,定曲線,C,,叫,柱面的,準(zhǔn)線，,直線,L,,叫柱面的,母線,.,動,,,C,平行于定直線,并,沿定曲線,C,移動的,直線,L,所,(1),定義,形成的曲面,稱為,柱面,.,三、柱面,觀察柱面的形成過程,:,這條,定曲線,C,,叫,柱面的,準(zhǔn)線，,直線,L,,叫柱面的,母線,.,動,,,C,平行于定直線,并,沿定曲線,C,移動的,直線,L,所,(1),定義,形成的曲面,稱為,柱面,.,三、柱面,觀察柱面的形成過程,:,這條,定曲線,C,,叫,柱面的,準(zhǔn)線，,直線,L,,叫柱面的,母線,.,動,,,（,2,）求柱面方程,設(shè),母線,//,z,軸，,準(zhǔn)線是,xoy,面,上的曲線,C,:,F,(,x,y,)=0.,設(shè),M,(,x,y,z,),是柱面上的任一點(diǎn)，,作,面于,N,，,則,N,(,x, y,),是曲線,F,(,x,y,)=0,上的點(diǎn)，,則得,M,(,x,y,z,),點(diǎn)滿足的方程為,F,(,x,y,)=0.,所以柱面方程為：,x,z,y,o,N,M,(,x,,,y,,,z,),F,(,x,y,)=0,只含,x,y,而缺,z,的方程,F,(,x,y,)=0,，,在空間直角坐標(biāo)系,中表示母線平行于,z,軸的柱面，,而準(zhǔn)線為,xoy,面上的曲線,C,.,,,g,(,y,,,z,)=0,是,母線,//,x,軸,,,g,(,y,,,z,)=0,所構(gòu)成的,柱面,.,類似地：,準(zhǔn)線為,yoz,面,內(nèi)的曲線,h,(,x,,,z,)=0,是,母線,//,y,軸,,,h,(,x,,,z,)=0,所構(gòu)成的,柱面,.,準(zhǔn)線為,xoz,面,內(nèi)的曲線,注意：,柱面方程,一定是,二元方程,，,缺少哪個變量字母，,母線,就,平行于哪個坐標(biāo)軸,.,,,柱面方程的,特征：,只含兩個坐標(biāo)的方程,一定是,柱面方程,，,缺少哪個變量字母，,母線,就,平行于哪個坐標(biāo)軸,.,二元方程,都是柱面方程,,,拋物柱面,平面,例,問方程,表示什么曲面？,z,x,y,o,拋物柱面,,,橢圓柱面,x,y,z,o,拋物柱面,雙曲柱面,例如：,母線,//,x,軸,母線,//,z,軸,母線,//,y,軸,,,例,1,指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？,解,斜率為,1,的直線,平面解析幾何中,空間解析幾何中,方程,,,(1),定義,以一條,平面,這條,定直線,叫旋轉(zhuǎn)曲,3,、旋轉(zhuǎn)曲面,曲線,繞該平面上的,一條直線,旋轉(zhuǎn)一周,所生成的曲面稱為,旋轉(zhuǎn)曲面,.,面的,軸,．,曲面的,母線,.,曲線,叫旋轉(zhuǎn),,,(1),定義,以一條,平面,這條,定直線,叫旋轉(zhuǎn)曲,3,、旋轉(zhuǎn)曲面,曲線,繞該平面上的,一條直線,旋轉(zhuǎn)一周,所生成的曲面稱為,旋轉(zhuǎn)曲面,.,面的,軸,．,曲面的,母線,.,曲線,叫旋轉(zhuǎn),,,(1),定義,以一條,平面,這條,定直線,叫旋轉(zhuǎn)曲,3,、旋轉(zhuǎn)曲面,曲線,繞該平面上的,一條直線,旋轉(zhuǎn)一周,所生成的曲面稱為,旋轉(zhuǎn)曲面,.,面的,軸,．,曲面的,母線,.,曲線,叫旋轉(zhuǎn),,,(1),定義,以一條,平面,這條,定直線,叫旋轉(zhuǎn)曲,3,、旋轉(zhuǎn)曲面,曲線,繞該平面上的,一條直線,旋轉(zhuǎn)一周,所生成的曲面稱為,旋轉(zhuǎn)曲面,.,面的,軸,．,曲面的,母線,.,曲線,叫旋轉(zhuǎn),,,(1),定義,以一條,平面,這條,定直線,叫旋轉(zhuǎn)曲,3,、旋轉(zhuǎn)曲面,曲線,繞該平面上的,一條直線,旋轉(zhuǎn)一周,所生成的曲面稱為,旋轉(zhuǎn)曲面,.,面的,軸,．,曲面的,母線,.,曲線,叫旋轉(zhuǎn),,,(1),定義,以一條,平面,這條,定直線,叫旋轉(zhuǎn)曲,3,、旋轉(zhuǎn)曲面,曲線,繞該平面上的,一條直線,旋轉(zhuǎn)一周,所生成的曲面稱為,旋轉(zhuǎn)曲面,.,面的,軸,．,曲面的,母線,.,曲線,叫旋轉(zhuǎn),,,(1),定義,以一條,平面,這條,定直線,叫旋轉(zhuǎn)曲,3,、旋轉(zhuǎn)曲面,曲線,繞該平面上的,一條直線,旋轉(zhuǎn)一周,所生成的曲面稱為,旋轉(zhuǎn)曲面,.,面的,軸,．,曲面的,母線,.,曲線,叫旋轉(zhuǎn),,,(1),定義,以一條,平面,這條,定直線,叫旋轉(zhuǎn)曲,3,、旋轉(zhuǎn)曲面,曲線,繞該平面上的,一條直線,旋轉(zhuǎn)一周,所生成的曲面稱為,旋轉(zhuǎn)曲面,.,面的,軸,．,曲面的,母線,.,曲線,叫旋轉(zhuǎn),,,(1),定義,以一條,平面,這條,定直線,叫旋轉(zhuǎn)曲,3,、旋轉(zhuǎn)曲面,曲線,繞該平面上的,一條直線,旋轉(zhuǎn)一周,所生成的曲面稱為,旋轉(zhuǎn)曲面,.,面的,軸,．,曲面的,母線,.,曲線,叫旋轉(zhuǎn),,,(1),定義,以一條,平面,這條,定直線,叫旋轉(zhuǎn)曲,3,、旋轉(zhuǎn)曲面,曲線,繞該平面上的,一條直線,旋轉(zhuǎn)一周,所生成的曲面稱為,旋轉(zhuǎn)曲面,.,面的,軸,．,曲面的,母線,.,曲線,叫旋轉(zhuǎn),,,(1),定義,以一條,平面,這條,定直線,叫旋轉(zhuǎn)曲,3,、旋轉(zhuǎn)曲面,曲線,繞該平面上的,一條直線,旋轉(zhuǎn)一周,所生成的曲面稱為,旋轉(zhuǎn)曲面,.,面的,軸,．,曲面的,母線,.,曲線,叫旋轉(zhuǎn),,,(1),定義,以一條,平面,這條,定直線,叫旋轉(zhuǎn)曲,3,、旋轉(zhuǎn)曲面,曲線,繞該平面上的,一條直線,旋轉(zhuǎn)一周,所生成的曲面稱為,旋轉(zhuǎn)曲面,.,面的,軸,．,曲面的,母線,.,曲線,叫旋轉(zhuǎn),,,例如,:,,,(2),建立,yoz,面上曲線,C,,繞,z,,軸旋轉(zhuǎn)所成曲面,的,方程,:,給定,yoz,,面上曲線,C,:,設(shè)所求曲面上的動點(diǎn)為,則點(diǎn),M,一定是曲線上的某點(diǎn)轉(zhuǎn)過來的,.,故旋轉(zhuǎn)曲面方程為：,當(dāng)繞,z,軸旋轉(zhuǎn)時,,,設(shè),則有,則有,該點(diǎn)轉(zhuǎn)到,,,思考,：當(dāng)曲線,C,繞,y,軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？,總之：旋轉(zhuǎn)曲面的方程方程：,yoz,面上的曲線,f,(,y,z,)=0,繞,z,軸旋轉(zhuǎn)一周所成的,旋轉(zhuǎn),曲面的方程：,yoz,坐標(biāo)面上的已知曲線,f,(,y,z,)=0,繞,y,軸旋轉(zhuǎn)一周的,旋轉(zhuǎn)曲面的方程,為,,,例,3.,,求坐標(biāo)面,xoz,,上的雙曲線,分別繞,,x,軸和,z,,軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程,.,解,:,繞,x,,軸旋轉(zhuǎn),繞,z,,軸旋轉(zhuǎn),這兩種曲面都叫做,旋轉(zhuǎn)雙曲面,.,所成曲面方程為,所成曲面方程為,,,旋轉(zhuǎn)拋物面,o,y,z,x,x,y,z,o,,,例,4.,,試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn),,,旋轉(zhuǎn)軸為,z,軸,,,半頂角為,的圓錐面方程,.,解,:,,在,yoz,面上直線,L,的方程為,繞,z,,軸旋轉(zhuǎn)時,,,圓錐面的方程為,兩邊平方,,,該曲面叫,圓錐面,.,方程的,特點(diǎn)：,叫,標(biāo)準(zhǔn)圓錐面,.,三元二次齊次方程,.,同理：,中心軸是,y,,軸,中心軸是,,x,,軸,.,也是,標(biāo)準(zhǔn)圓錐面,.,也是,標(biāo)準(zhǔn)圓錐面,.,是上半圓,錐面,.,,,旋轉(zhuǎn)拋物面,.,旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面,.,如,,,5,、其它的二次曲面,三元二次方程,這類曲面通常都可以先經(jīng)過旋轉(zhuǎn),,,然后伸縮變形得到,稱為,旋轉(zhuǎn),+,伸縮型二次曲面,,.,其基本類型有,:,橢球面、拋物面、雙曲面、錐面,的圖形通常為,二次曲面,.,(,二次項系數(shù)不全為,0 ),特征：,,,1.,定義：,三元二次方程,適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,,,下面僅,就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹,.,研究二次曲面特性的基本方法,:,截痕法,,,伸縮法,,.,其基本類型有,:,,橢球面、拋物面、雙曲面、錐面,的圖形通常為,二次曲面,.,(,二次項系數(shù)不全為,0 ),相應(yīng)地,平面,被稱為,一次曲面．,用,坐標(biāo)面,和,平行于坐標(biāo)面的平面,與曲面相截,,,了解曲面的全貌，,即為,截痕法,.,考察其交線,（即截痕）,的形狀，,然后加以綜合，從而,截痕法：,5,、其它的二次曲面,,,伸縮法：,,,o,z,y,x,將旋轉(zhuǎn)橢球面 沿 軸方向伸縮 倍得：,2.,橢球面,橢球面的幾種特殊情況：,旋轉(zhuǎn)橢球面,球面,,,,,（,2,）雙葉雙曲面,o,z,y,x,x,y,o,z,旋轉(zhuǎn)雙曲面,,,沿軸 方向伸縮 倍,,,x,y,z,o,o,y,z,x,,,設(shè),a,,,b,均大于,0,,以平行于,xOy,面的平面,z,=,z,0,(,z,0,＞,0),截橢圓拋物面,,,所得截線方程為,它表示平面,z,=,z,0,上一橢圓,.,以,z,=,0,截曲面,,,截得一點(diǎn)為原點(diǎn),.,,,,以平行于,xOz,面的平面,y,=,y,0,截曲面,,,截線方程為,,這是平面,y,=,y,0,上一條拋物線,.,以平行于,yOz,面的平面,x,=,x,0,截曲面所得截線是平面,x,=,x,0,上的一條拋物線,.,,,,,x,y,z,o,,,,1.,空間曲面,三元方程,球面,旋轉(zhuǎn)曲面,,柱面,----,二元方程,如,,,曲面,表示母線平行,z,,軸的柱面,.,又如,,,橢圓柱面,,,雙曲柱面,,,拋物柱面等,.,,圓錐面的方程,時 叫標(biāo)準(zhǔn)圓錐面,.,yoz,面上的曲線,f,(,y,,z,)=0,繞,z,軸旋轉(zhuǎn)一周所成的,旋轉(zhuǎn),曲面的方程：,內(nèi)容小結(jié),,,2.,二次曲面,三元二次方程,橢球面,拋物面,:,橢圓拋物面,雙曲拋物面,雙曲面,:,單葉雙曲面,雙葉雙曲面,橢圓錐面,:,,,,B,B,,,空間曲線可視為兩曲面的交線,,,其一般方程為方程組,例如,,,方程組,表示圓柱面與平面的交線,C,，是空間一個橢圓,.,C,一、空間曲線的一般方程,補(bǔ),,,又如,,,方程組,表示上半球面與圓柱面的交線,C,.,,由于,是上半球面,,,是圓柱面,,,交線如圖,,,叫維維尼曲線,,,例如,:,下列方程組各表示怎樣的曲線？,所以，空間曲線的方程是不唯一的,.,,,三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影,C,C,C,關(guān)于 的投影柱面,C,在 上的投影曲線,O,x,z,y,設(shè)曲線,則,C,關(guān)于,xoy,面的投影柱面方程應(yīng)為消,z,后的方程：,所以,C,在,xoy,面上的投影曲線的方程為：,,,例,3.,解：,代入消元,求交線,C,的投影曲線的方程,.,由所給的方程相減得：,消去,z,得關(guān)于,xoy,面的,投影柱面,的方程為,則交線,C,在,xoy,面上的,投影曲線,的方程為：,在,xoy,面上,,,總之,:,設(shè)空間曲線,C,消去,,z,得投影柱面,xoy,面上的投影曲線方程,與,xoy,面方程聯(lián)立得,C,在,消去,x,得,C,在,yoz,,面上的投影曲線方程,消去,y,得,C,在,zox,面上的投影曲線方程,,,o,y,z,x,例,4.,求曲線,繞,z,,軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面,的交線在,,xoy,平面的投影曲線方程,.,解：,旋轉(zhuǎn)曲面方程為,交線為,此曲線向,xoy,,面的投影柱面方程為,所以,此曲線在,xoy,面上的投影曲線方程為,,,它與所給平面的,,,例,5,,求曲線 在坐標(biāo)面上的投影,.,解,（,1,）消去變量,z,后得,在 面上的投影為,,,所以在 面上的投影為線段,.,（,3,）同理在 面上的投影也為線段,.,（,2,）因為曲線在平面 上，,,,例如,,,所圍的立體在,xOy,,面上的投影區(qū)域為,:,上半球面,和錐面,在,xOy,面上的投影曲線,二者交線,所圍圓域,:,二者交線在,xOy,面上的投影曲線所圍之域,.,,,補(bǔ)充,:,空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影,.,空間立體,曲面,,,