單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程,一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué),（,一,）,第三十講 一元微積分的應(yīng)用(六),腳本編寫：劉楚中,教案制作：劉楚中,微積分在物理中的應(yīng)用,第七章 常微分方程,本章學(xué)習(xí)要求：,了解微分方程、解、通解、初始條件和特解的概念,.,了解下列幾種一階微分方程：變量可分離的方程、齊次方,程、一階線性方程、伯努利（,Bernoulli,）方程和全微分,方程,.,熟練掌握分離變量法和一階線性方程的解法,.,會(huì)利用變量代換的方法求解齊次方程和伯努利方程,.,知道下列高階方程的降階法：,了解高階線性微分方程階的結(jié)構(gòu)，并知道高階常系數(shù)齊線,性微分方程的解法,.,熟練掌握二階常系數(shù)齊線性微分方程的解法,.,掌握自由項(xiàng)（右端）為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余,弦函數(shù)以及它們的和或乘積的二階常系數(shù)非齊線性微分方,程的解法,.,第四節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程,一、高階線性微分方程的一般理論,二、二階常系數(shù)齊線性微分方程的解,三、二階常系數(shù)非齊線性微分方程的解,一、高階線性微分方程的一般理論,n,階線性方程的一般形式為,二階線性微分方程的一般形式為,通常稱,(2),為,(1),的相對(duì)應(yīng)的齊方程。,我們討論二階線性方程的一般理論，所得結(jié)論可自然推廣至,n,階線性方程中。,1.二階齊次線性微分方程的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu),(1)疊加原理,的解，則它們的線性組合,也是方程(2)的解，,你打算怎么證明這個(gè)原理？,證,的解，則它們的線性組合,也是方程(2)的解。,推 廣,在什么情況下，疊加所得可以成為方程,(2),的通解？,(2)線性無關(guān)、線性相關(guān),例,證,由三角函數(shù)知識(shí)可知，這是不可能的，故,例,證,朗斯基(Wronsky)行列式,朗斯基行列式可以推廣到,n,個(gè)函數(shù)的情形。,例,(3)二階齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu),定理 1,的兩個(gè)線性無關(guān)的解，則,是方程,(2),的通解。,定理 2,例,解,又容易看出：,而,由疊加原理，原方程的通解為,問題：,該問題的解決歸功于數(shù)學(xué)家劉維爾。,代入方程中，得,怎么做？,關(guān)于,z,的一階線性方程,即,故有,兩邊積分，得,關(guān)于,z,的一階線性方程,劉維爾公式,為原方程的通解。,則,例,解,由劉維爾公式,故原方程的通解為,2.二階非齊線性微分方程解的結(jié)構(gòu),(1)解的性質(zhì),性質(zhì) 1,的一個(gè)特解，則,是原方程的一個(gè)特解。,性質(zhì) 2,的一個(gè)特解，則,是方程,的一個(gè)特解。,性質(zhì) 3,是其對(duì)應(yīng)的齊方程,的一個(gè)特解。,性質(zhì) 4,的一個(gè)特解。,可以直接驗(yàn)證性質(zhì)1性質(zhì)4。,如何求特解？,定理 3,的通解，則,是方程,(1),的通解。,由性質(zhì)1 以及通解的概念立即可以得知該定理成立。,常數(shù)變易法,常數(shù)變易法,常數(shù)變易法,則有,令,以下推導(dǎo)的前提,于是,對(duì)上式兩邊關(guān)于,x,求導(dǎo)，得,這兩部分為零。,即,聯(lián)立,(3)、(4),構(gòu)成方程組,解此方程組，再積分，并取積分常數(shù)為零，即可得到,例,解,該方程所對(duì)應(yīng)的齊方程為,它就是我們剛剛講過的例題，由劉維爾公式得其通解為,由常數(shù)變易法，解方程組,兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得,兩邊積分，取積分常數(shù)為零，得,故原方程有一特解,從而，原方程的通解為,在這一節(jié)中所講述的理論均可推廣到,n,階線性微分方程中去。,參考書：,北京大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、中山大學(xué)等編寫的,常微分方程教材,