單擊此處編輯母版標題樣式,,*,*,*,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,2011,2011,,,*,單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,,*,8.1 頻率法的串聯(lián)校正方法,應用頻率法對系統(tǒng)進行校正，其目的是改變系統(tǒng)的頻率特性形狀，使校正后的系統(tǒng)頻率特性具有合適的低頻、中頻和高頻特性以及足夠的穩(wěn)定裕量，從而滿足所要求的性能指標。,,控制系統(tǒng)中常用的串聯(lián)校正裝置是帶有單零點與單極點的濾波器，若其零點比極點更靠近原點，則稱之為超前校正，否則稱之為滯后校正。,4,,8.1.1 基于頻率響應法的串聯(lián)超前校正方法,1.超前校正裝置的特性,,設超前校正裝置的傳遞函數(shù)為,,,,其頻率特性為,5,,(1) 極坐標圖,超前校正裝置的極坐標圖如圖8-2所示。,,當,ω,＝0→∞變化時，,G,c,(j,ω,)的相位角,φ,> 0，,G,c,(j,ω,)的軌跡為一半圓，由圖可得超前校正的最大超前相位角,φ,m,為,,,(8-3),,,令,,,,可得對應于最大相位角,φ,m,時的頻率,ω,m,為,6,,(2),,對數(shù)坐標圖,,超前校正裝置的對數(shù)坐標圖如圖8-3所示。,,當,,,,,,,,由此可見，超前校正裝置是一個高通濾波器(高頻通過，低頻被衰減),它主要能使系統(tǒng)的瞬態(tài)響應得到顯著改善，而穩(wěn)態(tài)精度的提高則較小。,α,越大，微分作用越強，從而超調量和過渡過程時間等也越小。,7,,2.串聯(lián)超前校正方法,超前校正裝置的主要作用是通過其相位超前效應來改變頻率響應曲線的形狀，產生足夠大的相位超前角,以補償原來系統(tǒng)中元件造成的過大的相位滯后。因此校正時應使校正裝置的最大超前相位角出現(xiàn)在校正后系統(tǒng)的開環(huán)剪切頻率(幅頻特性的交接頻率),ω,c,處。,8,,利用頻率法設計超前校正裝置的步驟:,(1)根據(jù)性能指標對穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求,確定開環(huán)增益,k,；,,(2)利用確定的開環(huán)增益,k,，畫出未校正系統(tǒng)的Bode圖，并求出其相位裕量,r,0,和幅值裕量,k,g,；,,(3)確定為使相位裕量達到要求值，所需增加的超前相位角,φ,ｃ,，即,φ,ｃ,＝,r,,-,r,0,+ε.式中,r,為要求的相位裕量，ε是考慮到系統(tǒng)增加串聯(lián)超前校正裝置后系統(tǒng)的剪切頻率要向右移而附加的相位角，一般取ε=5,?,~15,?,；,,(4)令超前校正裝置的最大超前相位角,φ,ｍ,=,φ,ｃ,，則由下式可求出校正裝置的參數(shù),α,；,9,,,(5)若將校正裝置的最大超前相位角處的頻率,ω,ｍ,作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率,ω,ｃ,，則有,,,即,,,,或,,,由此可見，未校正系統(tǒng)的幅頻特性幅值等于-20lg√,α,時的頻率即為,ω,c,；,10,,,(6) 根據(jù),ω,ｍ,=,ω,c,，利用下式求參數(shù),T,,,,(7) 畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，檢驗性能指標是否已全部達到要求，若不滿足要求，可增大ε值，從第三步起重新計算。,,例8-1,設有一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為,,,,要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù),k,v,=20(1/s),相位裕量,r,>50,0,,幅值裕量,k,g,≥10dB,試確定串聯(lián)校正裝置,11,,,解,根據(jù),,,,可求出,k,=40，即,,,根據(jù)串聯(lián)超前校正的設計步驟，可編寫以下m文件。,,%Example8_1.m,,numo=40;deno=conv([1,0],[1,2]);,,[Gm1,Pm1,Wcg1,Wcp1]=margin(numo,deno);,,r=50; r0=Pm1;w=logspace(-1,3);,,[mag1,phase1]=bode(numo,deno,w);,12,,,for epsilon=5:15,,phic=( r-r0+epsilon)*pi/180;,,alpha=(1+sin(phic))/(1-sin(phic));,,[i1,ii]=min(abs(mag1-1/sqrt(alpha)));,,wc=w(ii);,,T=1/(wc*sqrt(alpha));,,numc=[alpha*T,1];denc=[T,1];,,[num,den]=series(numo,deno,numc,denc);,,[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(num,den);,,if(Pm>= r);break;end,,end,,13,,,printsys(numc,denc),printsys(num,den),,[mag2,phase2]=bode(numc,denc,w);,,[mag,phase]=bode(num,den,w);,,subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(mag),w,20*log10(mag1),'--',w,20*log10(mag2),'-.');,,grid;ylabel('幅值 (dB)');,,title('-- Go, -. Gc, __ GoGc');,,subplot(2,1,2);semilogx(w,phase,w,phase1,'--',w,phase2,'-.',w,(w-180-w),':');,,grid;ylabel('相位 (度)');xlabel('頻率 (rad/sec)'),,title(['校正后：幅值裕量=',num2str(20*log10(Gm)),' dB,','相位裕量=',num2str(Pm),'°']);,,disp(['校正前：幅值裕量=',num2str(20*log10(Gm1)),' dB,','相位裕量=',num2str(Pm1),'°']);,,disp(['校正后：幅值裕量=',num2str(20*log10(Gm)),' dB,','相位裕量=',num2str(Pm),'°']);,14,,,執(zhí)行后可得如下結果及圖8-4所示曲線,,num/den =,,0.22541 s + 1,,------------------,,0.053537 s + 1,,num/den =,,9.0165 s + 40,,---------------------------------------,,0.053537 s^3 + 1.1071 s^2 + 2 s,,校正前：幅值裕量=Inf dB,相位裕量=17.9642,?,,,校正后：幅值裕量=Inf dB,相位裕量=50.7196,?,15,,,,,,,,,,,圖8-4 超前校正裝置及校正前后系統(tǒng)的伯德圖,16,,8.1.2 基于頻率響應法的串聯(lián)滯后校正方法,,1.滯后校正裝置的特性,,設滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為,,,,其頻率特性為,,17,,（1）極坐標圖,滯后校正裝置的極坐標圖如圖8-6所示。由圖可知，當,ω,=0→∝變化時，,G,c,(j,ω,)的相位角,φ,<0，,G,c,(j,ω,)的根軌跡為一半圓。,,同理可求得最大滯后相位角,φ,ｍ,和對應的頻率,ω,ｍ,分別為,18,,（2）對數(shù)坐標圖,滯后校正裝置的對數(shù)坐標圖如圖8-7所示,,,,,由此可見，滯后校正裝置是一個低通濾波器（低頻通過，高頻被衰減），且,α,越大，高頻衰減越厲害，抗高頻干擾性能越好，但使響應速度變慢，故滯后校正能使穩(wěn)態(tài)得到顯著提高，但瞬態(tài)響應時間卻隨之而增加，,α,越大，積分作用越強，穩(wěn)態(tài)誤差越小。,19,,2.串聯(lián)滯后校正方法,滯后校正裝置的主要作用是在高頻段造成幅值衰減，降低系統(tǒng)的剪切頻率，以便能使系統(tǒng)獲得充分的相位裕量，但應同時保證系統(tǒng)在新的剪切頻率附近的相頻特性曲線變化不大。,,利用頻率法設計滯后校正裝置的步驟::,,（1）根據(jù)性能指標對穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求，確定開環(huán)增益,k,；,,（2）利用已確定的開環(huán)增益,k,，畫出未校正系統(tǒng)的Bode圖，并求出其相位裕量,r,0,和幅值裕量,k,g,；,20,,（3）如未校正系統(tǒng)的相位和幅值裕量不滿足要求，尋找一新的剪切頻率,ω,c,，在,ω,c,處開環(huán)傳遞函數(shù)的相位角應滿足下式,,∠,G,o,(,jω,c,)= -180°+,r,+,ε,,式中,r,為要求的相角裕量，,ε,是為補償滯后校正裝置的相位滯后而附加的相位角，一般取,ε,=5,?,~12,?,；,,(4) 為使滯后校正裝置對系統(tǒng)的相位滯后影響較?。ㄒ话阆拗圃?,?,~12,?,），,ω,m,應遠離,ω,c,，一般取滯后校正裝置的第一個交接頻率：,ω,1,=1/,T,=(1/5~1/10),ω,c,（即,ω,m,<<,ω,c,），,ω,1,取得愈小，對系統(tǒng)的相位裕量影響愈小，但太小則校正裝置的時間常數(shù),T,將很大，這也是不允許的；,21,,,,(5)確定使校正后系統(tǒng)的幅值曲線在新的剪切頻率,ω,c,處下降到0dB所需的衰減量20,lg,|,G,o,(,jω,c,)|，并根據(jù),,20lg |,G,o,(j,ω,c,),G,c,(j,ω,c,)|≈20lg |,G,o,(j,ω,c,)|-20lg,α,=0,,即,α,=|,G,o,(j,ω,c,)|,,求出校正裝置的參數(shù),α,；,,(6) 畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，檢驗性能指標是否已全部達到要求，若不滿足要求，可增大,ε,值，從第三步起重新計算。,22,,,例8-2,設有一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為,,,,要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù),k,v,=5(1/s)，相位裕量,r,≥40,0,，幅值裕量,k,g,≥10dB，試確定串聯(lián)校正裝置。,,解,根據(jù),,,,可求出,k,=5，即,23,,根據(jù)串聯(lián)滯后校正的設計步驟，可編寫以下m文件。,%Example8_2.m,,numo=5;deno=conv([1,0],conv([1,1],[0.25,1]));,,[Gm1,Pm1,Wcg1,Wcp1]=margin(numo,deno);,,r=40;w=logspace(-3,1);,,[mag1,phase1]=bode(numo,deno,w);,,for epsilon=5:15,,r0=(-180+ r+epsilon);,,[i1,ii]=min(abs(phase1-r0));,,wc=w(ii);alpha=mag1(ii);T=5/wc;,,numc=[T,1];denc=[alpha*T,1];,,[num,den]=series(numo,deno,numc,denc);,,[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(num,den);,,if (Pm>=r);break;end;,,end,24,,,printsys(numc,denc);printsys(num,den);,,[mag2,phase2]=bode(numc,denc,w);[mag,phase]=bode(num,den,w);,,subplot(2,1,1);,,semilogx(w,20*log10(mag),w,20*log10(mag1),'--',w,20*log10(mag2),'-.');,,grid;ylabel('幅值 (dB)');title('-- Go, -. Gc, __ GoGc');,,subplot(2,1,2);,,semilogx(w,phase,w,phase1,'--',w,phase2,'-.',w,(w-180-w),':');,,grid;ylabel('相位 (度)');xlabel('頻率 (rad/sec)'),,title(['校正后：幅值裕量=',num2str(20*log10(Gm)),' dB,','相位裕量=',num2str(Pm),'°']);,,disp(['校正前：幅值裕量=',num2str(20*log10(Gm1)),' dB,','相位裕量=',num2str(Pm1),'°']);,,disp(['校正后：幅值裕量=',num2str(20*log10(Gm)),' dB,','相位裕量=',num2str(Pm),'°']);,25,,,執(zhí)行后可得如下結果及圖8-8所示曲線。,,num/den =,,8.3842s + 1,,---------------,,59.7135s + 1,,num/den =,,41.9208s+5,,------------------------------------------------,,14.9284s^4+74.8918s^3+60.9635s^2+s,,校正前：幅值裕量= -3.8573e-015 dB，相位裕量=7.3342e-006,?,,校正后：幅值裕量=15.8574dB，相位裕量=40.6552,?,26,,,,,,,,,,圖8-8 滯后校正裝置及校正前后系統(tǒng)的伯德圖,27,,8.1.3 基于頻率響應法的串聯(lián)滯后-超前校正方法,1.滯后-超前校正裝置的特性,,設滯后-超前校正裝置的傳遞函數(shù)為,,,,,,上式等號右邊的第一項產生超前網絡的作用，而第二項產生滯后網絡的作用。,28,,(1) 極坐標圖,滯后-超前校正裝置的極坐標圖如圖8-9所示。,,由圖可知，當角頻率,ω,在0→,ω,0,之間變化時, 滯后-超前校正裝置起著相位滯后校正的作用；當,ω,在,ω,0,→∝之間變化時,它起著超前校正的作用，對應相位角為零的頻率,ω,0,為,29,,（2）對數(shù)坐標圖,滯后-超前校正裝置的對數(shù)坐標圖如圖8-10所示。從圖可清楚看出，當0<,ω,<,ω,0,時滯后-超前校正裝置起著相位滯后校正的作用；當,ω,0,<,ω,<∝時它起著相位超前校正的作用。,30,,2.串聯(lián)滯后-超前校正方法,滯后-超前校正裝置的超前校正部分，因增加了相位超前角，并且在幅值穿越頻率(剪切頻率)上增大了相位裕量,提高了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性；滯后部分在幅值穿越頻率以上，將使幅值特性產生顯著的衰減，因此在確保系統(tǒng)有滿意的瞬態(tài)響應特性的前提下，容許在低頻段上大大提高系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，以改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。,,利用頻率法設計滯后-超前校正裝置的步驟:,,(1),根據(jù)性能指標對穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求，確定開環(huán)增益,k,；,31,,,(2)求出未校正系統(tǒng)相位和幅值裕量；,,(3)如果未校正系統(tǒng)相位和幅值裕量不滿足要求，則選擇未校正系統(tǒng)相頻特性曲線上相位角等于-180,?,的頻率，即相位交接頻率作為校正后系統(tǒng)的幅值交接頻率,ω,c,；,,(4)利用,ω,c,確定滯后校正部分的參數(shù),T,2,和,β,。通常選取滯后校正部分的第二個交接頻率,ω,2,=1/,T,2,=(1/10),ω,c,,并取,β,=10；,,(5)根據(jù)校正后系統(tǒng)在新的幅值交接頻率ω,c,處的幅值必為0db確定超前校正部分的參數(shù),T,1,；,,(6)畫出校正后系統(tǒng)的波德圖，并檢驗系統(tǒng)的性能指標是否已全部滿足要求。,32,,,例8-3,設有單位負反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為,,,,若要求,k,v,=10(1/s)相位裕量為50,?,，幅值裕量為10dB，試設計一個串聯(lián)滯后超前-校正裝置，來滿足要求的性能指標。,,解,根據(jù),,,可求出,k,=10，即,33,,根據(jù)其以上設計步驟，可編寫以下m文件。,%Example8_3.m,,numo=10;,,deno=conv([1,0],conv([1,1],[0.5,1]));,,[Gm1,Pm1,Wcg1,Wcp1]=margin(numo,deno);,,w=logspace(-2,2);,,[mag1,phase1]=bode(numo,deno,w);,,ii=find(abs(w-Wcg1)==min(abs(w-Wcg1)));,,wc=Wcg1;,,w2=wc/10;beta=10;,,numc2=[1/w2,1];denc2=[beta/w2,1];,,w1=w2;,,mag(ii)=2;,34,,,while(mag(ii)>1),,numc1=[1/w1,1];denc1=[1/(w1*beta),1];,,w1=w1+0.01;,,[numc,denc]=series(numc1,denc1,numc2,denc2);,,[num,den]=series(numo,deno,numc,denc);,,[mag,phase]=bode(num,den,w);,,end,,printsys(numc1,denc1);,,printsys(numc2,denc2);,,printsys(num,den);,,[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(num,den);,,[mag2,phase2]=bode(numc,denc,w);,,[mag,phase]=bode(num,den,w);,35,,,subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(mag),w,20*log10(mag1),'--',w,20*log10(mag2),'-.');,,grid;ylabel('幅值 (dB)');,,title('-- Go, -. Gc, __ GoGc');,,subplot(2,1,2);semilogx(w,phase,w,phase1,'--', w,phase2,'-.', w,(w-180-w),':');,,grid;ylabel('相位 (度)');xlabel('頻率 (rad/sec)'),,title(['校正后：幅值裕量=',num2str(20*log10(Gm)),' dB,','相位裕量=',num2str(Pm),'°']);,,disp(['校正前：幅值裕量=',num2str(20*log10(Gm1)),' dB,','相位裕量=',num2str(Pm1),'°']);,,disp(['校正后：幅值裕量=',num2str(20*log10(Gm)),' dB,','相位裕量=',num2str(Pm),'°']);,36,,,執(zhí)行后可得如下結果及圖8-11所示曲線。,,num/den =,,1.8817 s + 1,,-----------------,,0.18817 s + 1,,num/den =,,7.0711 s + 1,,----------------,,70.7107 s + 1,,num/den =,,133.0595 s^2 + 89.5281 s + 10,,-------------------------------------------------------------------------,,6.653 s^5 + 55.4084 s^4 + 120.1542 s^3 + 72.3989 s^2 + s,,校正前：幅值裕量= -10.4567 dB，相位裕量= -28.0814,?,,校正后：幅值裕量=13.7848 dB，相位裕量=52.4219,?,,37,,,,,,,,,,圖8-11 滯后超前校正裝置及校正前后系統(tǒng)的伯德圖,38,,8.2 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器的設計,,39,8.2.1 狀態(tài)反饋,狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的狀態(tài)變量乘以相應的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入疊加形成控制作為受控系統(tǒng)的控制輸入，采用狀態(tài)反饋不但可以實現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的極點任意配置，而且也是實現(xiàn)解耦和構成線性最優(yōu)調節(jié)器的主要手段。,40,,1.全部極點配置,給定控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，則經常希望引入某種控制器，使的該系統(tǒng)的閉環(huán)極點移動到某個指定位置，因為在很多情況下系統(tǒng)的極點位置會決定系統(tǒng)的動態(tài)性能。,,假設系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為,,,,其中,A,:,n,×,n,;B:,n,×,r,;C:,m,×,n,,引入狀態(tài)反饋，使進入該系統(tǒng)的信號為,,u,=,r,–,Kx,,式中,r,為系統(tǒng)的外部參考輸入，,K,為,r,×,n,矩陣。,41,,可得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為,,,(8-12),,可以證明，若給定系統(tǒng)是完全能控的，則可以通過狀態(tài)反饋將該系統(tǒng)的閉環(huán)極點進行任意配置。,,假定單變量系統(tǒng)的n個希望極點為λ,1,,λ,2,,…,λ,n,，則可求出期望的閉環(huán)特征方程為,,f,*,(,s,)= (,s,-λ,1,)(,s,-λ,2,) …(,s,-λ,n,)=,s,n,+,a,1,s,n-,1,+ … +,a,n,,這時狀態(tài)反饋陣,K,可根據(jù)下式求得,,,K,=[0 … 0 1],U,c,-,1,f,*,(,A,) (8-13),,式中,U,c,=[,b Ab,…,A,n-1,b,]，,f,*,(,A,)是將系統(tǒng)期望的閉環(huán)特征方程式中的,s,換成系統(tǒng)矩陣,A,后的矩陣多項式。,42,,例8-4,已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,,,,,,采用狀態(tài)反饋，將系統(tǒng)的極點配置到-1,-2,-3，求狀態(tài)反饋陣,K,。,,解,MATLAB程序為,,%Example8_4.m,,A=[-2 –1 1;1 0 1;-1 0 1]; b=[1;1;1];,,Uc=ctrb(A,b);rc=rank(Uc);,,f=conv([1,1],conv([1,2],[1,3]));,,K=[zeros(1,length(A)-1) 1]*inv(Uc)*polyvalm(f,A),43,,,執(zhí)行后得,,K=,,-1 2 4,,其實，在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中就提供了單變量系統(tǒng)極點配置函數(shù)acker( )，該函數(shù)的調用格式為,,K,=acker(,A,,,b,,,P,),,式中,P,為給定的極點，,K,為狀態(tài)反饋陣。,,對例8-4，采用下面命令可得同樣結果,,>>A=[-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1];b=[1;1;1];rc=rank(ctrb(A,b));,,>>p=[-1,-2,-3];K=acker(A,b,p),,結果顯示,,K=,,-1 2 4,44,,,對于多變量系統(tǒng)的極點配置，MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中也給出了函數(shù)place( )，其調用格式為,,K,=place(,A,,,B,,,P,),,例8-5,已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為,,,,,,求使狀態(tài)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)極點為-2-3,,,(-1±j√3)/2的狀態(tài)反饋陣,K,。,45,,,解,MATLAB程序為,,%Example8_5.m,,A=[0 0 4 1;10 13 2 8;-3 -3 0 -2;-10 -14 -5 -9];,,B=[-2 0;4 -3;-1 1;-3 3];,,P=[-2;-3;(-1+sqrt(3)*j)/2;(-1-sqrt(3)*j)/2];,,K=place(A,B,P),,,執(zhí)行后得,,K=,,32.5923 65.6844 58.8332 46.6557,,55.4594 111.8348 103.6800 81.0239,46,,2.部分極點配置,在一些特定的應用中，有時沒有必要去對所有的極點進行重新配置，而只需對其中若干個極點進行配置，使得其他極點保持原來的值，例如若系統(tǒng)開環(huán)模型是不穩(wěn)定的，則可以將那些不穩(wěn)定的極點配置成穩(wěn)定的值，而不去改變那些原本穩(wěn)定的極點。作這樣配置的前提條件是原系統(tǒng)沒有重極點，這就能保證由系統(tǒng)特征向量構成的矩陣是非奇異的。,47,,,假設,x,i,為對應于λ,i,的特征向量，即,A,,x,i,,=λ,i,x,i,，這樣可以對各個特征值構造特征向量矩陣,X,=[,x,1,,,x,2,,…,,x,n,]，由前面的假設可知,X,矩陣為非奇異的，故可以得出其逆陣,T,=,X,-,1,，且令,T,的第,i,個行向量為,T,i,，且想把λ,i,配置到,μ,i,的位置，則可以定義變量,r,i,=（μ,i,-λ,i,）/,b,i,，其中,b,i,為向量,Tb,的第,i,個分量，這時配置全部的極點，則可以得出狀態(tài)反饋陣,,,特別地，若不想對哪個極點進行重新配置，則可以將對應的項從上面的求和式子中刪除就可以得出相應的狀態(tài)反饋陣，它能按指定的方式進行極點配置。,48,,,例8-6,對于例8-4所示系統(tǒng)，實際上只有一個不穩(wěn)定的極點1,若僅將此極點配置到-5，試采用部分極點配置方法對其進行。,,解,MATLAB程序為,,%Example8_6.m,,A=[-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1];,,b=[1;1;1];,,[X,D]=eig(A);,,ii=find(diag(D)>0);T=inv(X);mu= -5;V=diag(D);,,bb=T*b;,,gamma=(mu-V(ii))/bb(ii);,,K=real(gamma*T(ii,:)),,執(zhí)行后得,,K=,,1.5000 -1.5000 -6.0000,49,,8.2.2 狀態(tài)觀測器的設計,1.全維狀態(tài)觀測器的設計,,極點配置是基于狀態(tài)反饋，因此狀態(tài),x,必須可量測，當狀態(tài)不能量測時，則應設計狀態(tài)觀測器來估計狀態(tài)。,,對于系統(tǒng),,,,,若系統(tǒng)完全能觀測，則可構造如圖8-12所示的狀態(tài)觀測器。,50,,,51,,,由上圖可得觀測器的狀態(tài)方程為,,,即,,其特征多項式為,f,（,s,）=|sI-(,A,-,LC,)|,,由于工程上要求能比較快速的逼近,x,，只要調整反饋陣,L,，觀測器的極點就可以任意配置達到要求的性能，所以，觀測器的設計與狀態(tài)反饋極點配置的設計類似。,52,,,假定單變量系統(tǒng)所要求的,n,個觀測器的極點為λ,1,,λ,2,,…,λ,n,，則可求出期望的狀態(tài)觀測器的特征方程為,,f,*,(,s,)=(λ-λ,1,)(λ-λ,2,)…(λ-λ,n,)=,s,n,+,a,1,s,n-,1,,+ … +,a,n,,這時可求得反饋陣,L,為,,,,,,式中 ， ,,f,*,（,A,）是將系統(tǒng)期望的觀測器特征方程,,,中,s,換成系統(tǒng)矩陣,A,后的矩陣多項式。,53,,,利用對偶原理，可使設計問題大為簡化，求解過程如下：,,首先構造系統(tǒng)式(8-14)的對偶系統(tǒng),,,,(8-15),,然后，根據(jù)下式可求得狀態(tài)觀測器的反饋陣,L,。,,L,T,=acker(,A,T,,,C,T,,,P,),,或,L,T,=place(,A,T,,,C,T,,,P,),,其中,P,為給定的極點，,L,為狀態(tài)觀測器的反饋陣。,54,,例8-7,已知開環(huán)系統(tǒng),,,,其中,,,,,設計全維狀態(tài)觀測器，使觀測器的閉環(huán)極點為,,-2±j2√3,-5。,,55,,,解,為求出狀態(tài)觀測器的反饋陣,L,，先為原系統(tǒng)構造一對偶系統(tǒng)。,,,,然后采用極點配置方法對對偶系統(tǒng)進行閉環(huán)極點位置的配置，得到反饋陣,K,，從而可由對偶原理得到原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器的反饋陣,L,。,,MATLAB程序為,,A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6];b=[0;0;1];C=[1 0 0];,,disp('The Rank of Obstrabilaty Matrix'),,r0=rank(obsv(A,C)),A1=A';b1=C';C1=b';,,P=[-2+2*sqrt(3)*j -2-2*sqrt(3)*j -5];,,K=acker(A1,b1,P);L=K',,56,,,執(zhí)行后得,,The Rank of Obstrabilaty Matrix,,r0 =,,3,,L =,,3.0000,,7.0000,,-1.0000,,由于rank,r,0,=3，所以系統(tǒng)能觀測，因此可設計全維狀態(tài)觀測器。,57,,2.降維觀測器的設計,前面所討論的狀態(tài)觀測器的維數(shù)和被控系統(tǒng)的維數(shù)相同，故稱為全維觀測器，實際上系統(tǒng)的輸出,y,總是能夠觀測的。因此，可以利用系統(tǒng)的輸出量,y,來直接產生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測器的維數(shù)。假設系統(tǒng)是完全能觀測器，若狀態(tài),x,為,n,維，輸出,y,為,m,維，由于,y,是可量測的，因此只需對,n,-,m,個狀態(tài)進行觀測，也就是說用(,n,-,m,)維的狀態(tài)觀測器可以代替全維觀測器，這樣觀測器的結構可以大大簡化。,58,,8.2.3 帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng),狀態(tài)觀測器解決了受控系統(tǒng)的狀態(tài)重構問題，為那些狀態(tài)變量不能直接量測得到的系統(tǒng)實現(xiàn)狀態(tài)反饋創(chuàng)造了條件。帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)由三部分組成，即原系統(tǒng)、觀測器和控制器，圖8-13是一個帶有全維觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)。,59,,60,,,設能控能觀測的受控系統(tǒng)為,,,（8-21）,,狀態(tài)反饋控制律為,,（8-22）,,狀態(tài)觀測器方程為,,（8-23）,,由以上三式可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為,61,,,可以證明，由觀測器構成的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)，其特征多項式等于狀態(tài)反饋部分的特征多項式|,s,I-(,A,-,BK,)|和觀測器部分的特征多項式|,s,I,-,(,A,-,LC,)|的乘積，而且兩者相互獨立。因此，只要系統(tǒng)∑,0,(,A,,,B,,,C,)能控能觀測，則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣,K,和觀測器反饋陣,L,可分別根據(jù)各自的要求，獨立進行配置，這種性質被稱為分離特性。,,同理，用降維觀測器構成的反饋系統(tǒng)也具有分離特性,62,,,例8-9,已知開環(huán)系統(tǒng),,,,,設計狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點為 -1.8±j2.4，而且狀態(tài)不可量測，因此設計狀態(tài)觀測器使其閉環(huán)極點為-8,-8。,,解,狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測器的設計分開進行，狀態(tài)觀測器的設計借助于對偶原理。在設計之前，應先判別系統(tǒng)的能控性和能觀測性，MATLAB的程序為,,%Example8_9.m,,A=[0 1; 20.6 0];b=[0;1];C=[1 0];,,63,,,% Check Contrillability and Observablity,,disp (‘The rank of Controllability Matrix’),,rc=rank (ctrb(A,b)),,disp (‘The rank of Observability Matrix’),,ro=rank(obsv(A,C)),,%Design Regulator,,P=[-1.8+2.4*j -1.8-2.4*j];,,K=acker(A,b,P),,%Design State Observer,,A1=A';b1=C';C1=b';,,P1=[-8 -8];K1=acker(A1,b1,P1);,,L=K1',64,,,執(zhí)行后得,,The rank of Controllability Matrix,,rc =,,2,,The rank of Observability Matrix,,ro =,,2,,K =,,29.6000 3.6000,,L =,,16.0000,,84.6000,65,,8.2.4 離散系統(tǒng)的極點配置和狀態(tài)觀測器的設計,離散系統(tǒng)的極點配置和狀態(tài)觀測器的設計的求解過程與連續(xù)系統(tǒng)基本相同，在MATLAB中，可直接采用工具箱中的place( )和acker( )函數(shù)進行設計，這里不在贅述。,66,,8.2.5 控制系統(tǒng)的解耦,在多變量系統(tǒng)中，如果傳遞函數(shù)陣不是對角矩陣，則不同的輸入與輸出之間存在著耦合，即第,i,輸入不但會對第,i,輸出有影響，而且還會影響到其他的輸出，就給控制系統(tǒng)的設計造成了很大的麻煩，故在多變量控制系統(tǒng)的設計中就出現(xiàn)了解耦控制方法。,67,,,假設控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為,,,(8-25),,其中,A,:,n,×,n,;,B,:,n,×,r,;,C,:,m,×,n,;,D,:,m,×,r,,引入狀態(tài)反饋,,(8-26),,其中,R,為,r,×1參考輸入向量，在解耦控制中實際還應要求,r,=,m,，亦即系統(tǒng)的輸入個數(shù)等于輸出個數(shù)，這時閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可以寫成,68,,,若閉環(huán)系統(tǒng)的,m,×,r,矩陣,G,(s)為對角的非奇異矩陣，則稱該系統(tǒng)是動態(tài)解耦的系統(tǒng)，若,G,(0)為對角非奇異矩陣，且系統(tǒng)為穩(wěn)定的，則稱該系統(tǒng)是靜態(tài)解耦的。,,在給定的控制結構下，若系統(tǒng)的,D,矩陣為0，則閉環(huán)傳遞函數(shù)陣,G,(s)可以簡化成,,,(8-28),,由上式可見，若,H,矩陣為奇異矩陣，則,G,(,s,)矩陣必為奇異的，所以為使得系統(tǒng)可以解耦，首先應該要求,H,為非奇異矩陣。,,,,其中,69,,,首先這里將給出能解耦的條件：可以證明，若按下面方法生成的矩陣,B,*,為非奇異的，若取,H,=(,B,*,),-1,，則由前面給出的控制格式得出的系統(tǒng)能解耦原系統(tǒng)。,,,,（8-29）,,,式中,C,１,,,C,２,,…,,C,m,為,C,矩陣的行向量，參數(shù),d,１,,,d,２,,…,,d,m,是在保證,B,＊,為非奇異的前提下任選區(qū)間［0,,n,-1］上的整數(shù)。若確定了,d,i,參數(shù)，則可以直接獲得解耦矩陣,70,,,例8-11,對如下系統(tǒng)進行解耦,,,,,,,解,MATLAB程序為,,%Example8_11.m,,A=[-1 0 0;0 -2 0;0 0 -3];B=[1 0;2 3;-3 -3];C=[1 0 0;1 1 1];,,D=[0 0;0 0];,,[m,n]=size(C);,,BB=C(1,:)*B;,,d(1)=0;,71,,,for ii=2:m,,for jj=0:n-1,,BB=[BB;C(ii,:)*A^jj*B];,,if rank(BB)==ii,d(ii)=jj;break;else BB=BB(1:ii-1,:);end,,end,,end,,H=inv(BB),,CC=C(1,:)*A^(d(1)+1);,,for ii=2:m,,CC=[CC;C(ii,:)*A^(d(ii)+1)];,,end,,K=H*CC,,[n1,d1]=ss2tf(A-B*K,B*H,C,D,1),,[n2,d2]=ss2tf(A-B*K,B*H,C,D,2),72,,,執(zhí)行后可得,,H =,,1.0000 0,,-1.3333 0.3333,,K =,,-1.0000 0 0,,1.6667 1.3333 3.0000,,n1 =,,0 1.0000 -0.0000 -0.0000,,0 0.0000 0.0000 0.0000,,d1 =,,1.0000 -0.0000 -0.0000 0,,n2 =,,,0 0 0 0,,0 0.0000 1.0000 0,,d2 =,,1.0000 -0.0000 -0.0000 0,73,,,亦即系統(tǒng)解偶后的傳遞函數(shù)陣為,,,,,,解耦控制系統(tǒng)的目的是將原模型變換成解耦的模型，而并不必去考慮變換之后的響應品質，因為響應品質這類問題可以在解耦之后按照單變量系統(tǒng)進行設計補償，單回路的設計當然可以采用單變量系統(tǒng)的各種方法，例如可以采用超前滯后補償，PI設計以及PID設計等，并能保證這樣設計出來的控制器不會去影響其他回路。,74,,8.2.6 生成狀態(tài)估計器或觀測器,假設控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為,,,,,函數(shù)estim( )將生成下述狀態(tài)和輸出估計器,75,,,在MATLAB中，函數(shù)estim( )的調用格式如下,,est,=estim(,A,,,B,,,C,,,D,,,L,),,其中,A,,,B,,,C,,,D,為系統(tǒng)系數(shù)矩陣，,L,為狀態(tài)估計增益矩陣。狀態(tài)估計增益矩陣,L,可由極點配置函數(shù)place( )形成，或者由Kalman濾波函數(shù)kalman生成。利用以上命令可生成給定增益矩陣,L,下的狀態(tài)空間模型,A,,,B,,,C,,,D,的輸出估計器,est,。,76,,,例8-13,利用例8-7所得的狀態(tài)觀測器的反饋陣,L,，求其系統(tǒng)的狀態(tài)估計器。,,解,MATLAB程序為,,>>A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6];b=[0;0;1];C=[1 0 0];,,>>L=[3;7;-1],,>>est=estim(A,b,C,0,L),,執(zhí)行后得,,est =,,-3.0000 1.0000 0,,-7.0000 0 1.0000,,-5.0000 -11.0000 -6.0000,77,,8.2.7 生成系統(tǒng)控制器,假設控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為,,,,,利用函數(shù)reg( )可生成下述控制器,78,,,在MATLAB中，函數(shù)reg( )的調用格式為,,est,=reg(,A,,,B,,,C,,,D,,,K,,,L,),,其中,A,,,B,,,C,,,D,為系統(tǒng)系數(shù)矩陣，,K,為狀態(tài)反饋增益矩陣，,L,為狀態(tài)估計增益矩陣。利用以上命令可生成給定狀態(tài)反饋增益矩陣,K,及狀態(tài)估計增益矩陣,L,下的狀態(tài)空間模型,A,,,B,,,C,,,D,的控制器,est,。假定系統(tǒng)的所有輸出可測。,79,,,例8-14,利用例8-7所得的狀態(tài)觀測器的反饋陣,L,，求其系統(tǒng)的控制器。假設狀態(tài)反饋陣,K,=[-1 2 4]。,,解,MATLAB程序為,,>>A=[0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6];b=[0;0;1];C=[1 0 0];,,>>K=[-1 2 4];,,>>L=[3;7;-1],,>>est=reg(A,b,C,0,K,L),,執(zhí)行后得,,est =,,-3 1 0,,-7 0 1,,-4 -13 -10,80,,8.3 最優(yōu)控制系統(tǒng)設計,MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中也提供了很多函數(shù)用來進行系統(tǒng)的最優(yōu)控制設計，相關函數(shù)如表8-3所示。,81,8.3.1 狀態(tài)反饋的線性二次型最優(yōu)控制器的設計,設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為,,,(8-31),,式中,A,:,n,×,n,;,B,:,n,×,r,;,C,:,m,×,n,,并設目標函數(shù)為二次型性能指標,,,(8-32),,式中,Q,(,t,)為,n,×,n,半正定實對稱矩陣，,R(t,)為,r,×,r,正定實對稱矩陣。一般情況下，假定這兩個矩陣為定常矩陣，它們分別決定了系統(tǒng)暫態(tài)誤差與控制能量消耗之間的相對重要性。,S,為對稱半正定終端的加權陣，它為常數(shù)。,82,,,當,x,(,t,f,)值固定時，則為終端控制問題，特別是當,x,(,t,f,)＝0 時，則為調節(jié)器問題；當,t,0,,,,t,f,均固定時，則為暫態(tài)過程最優(yōu)控制。,,最優(yōu)控制問題是為給定的線性系統(tǒng)式（8-31）尋找一個最優(yōu)控制律,u,*,(,t,)，使系統(tǒng)從初始狀態(tài),x,(,t,0,)轉移到終端狀態(tài),x,(,t,f,)，且滿足性能指標式（8-32）最小。它可以用變分法、極大值原理和動態(tài)規(guī)劃等三種方法中的任一種求解。這里我們采用極大值原理求解,u,*,(,t,)。,83,,MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中也提供了完整的解決線性二次型最優(yōu)控制的函數(shù)，其中命令lqr( )和lqry( )可以直接求解二次型調節(jié)器問題及相關的Riccati方程，它們的調用格式分別為,,[,K,P,r,]=lqr(,A,B,Q,R,) (8-43),,和 [,K,P,r,]=lqry(,A,B,C,D,Q,R,) (8-44),,其中 矩陣,A,,,B,,,C,,,D,,,Q,,,R,的意義是相當明顯的，返回的,K,矩陣為狀態(tài)反饋矩陣，,P,為Riccati方程解，,r,為,A,-,BK,的特征值。lqry( )命令用于求解二次調節(jié)器問題的特例，即目標函數(shù)中用輸出,y,來代替狀態(tài),x,，則目標函數(shù)為,84,,,例8-15,已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為,,,,,,試求使得性能指標,,,為最小的最優(yōu)控制,u=-Ku,的反饋增益矩陣,K,。,,其中,85,,,解,MATLAB程序為,,%Example8_15.m,,A=[0 1 0;0 0 1;0 -2 -3];B=[0;0;1];C=[1 0 0];D=0;,,Q=diag([100,1,1]);R=1;,,[K,P,r]=lqr(A,B,Q,R),,t=0:0.1:10;,,figure(1);step(A-B*K,B,C,D,1,t);,,figure(2);[,y,,,x,,t]=step(A-B*K,B,C,D,1,t);,,plot(t,,x,,',y,'),86,,,執(zhí)行后得如下結果和如圖8-15所示的階躍響應曲線。,,K =,,10.0000 8.4223 2.1812,,P =,,104.2225 51.8117 10.0000,,51.8117 37.9995 8.4223,,10.0000 8.4223 2.1812,,r =,,-2.6878,,-1.2467 + 1.4718i,,-1.2467 - 1.4718i,87,,,圖8-15 閉環(huán)系統(tǒng)輸出和狀態(tài)的階躍響應曲線,,由此構成的閉環(huán)系統(tǒng)的三個極點均位于s 的左半平面，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的。實際上，由最優(yōu)控制構成的閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，因為它們是基于Lyapunov穩(wěn)定性理論進行設計的,。,88,,8.3.2 輸出反饋的線性二次型的最優(yōu)控制,在很多情況下想采用輸出量而不是狀態(tài)變量或其觀測值來作二次型指標最優(yōu)控制，這樣就需要對前面的線性二次型（LQ）算法進行修正。,,假設引入輸出最優(yōu)反饋控制,,u,(t)= -,K,0,y,(t)=-,K,0,Cx,(t),,則最優(yōu)反饋陣,K,0,應該使得,A-B K,0,C,為漸進穩(wěn)定矩陣，且,K,0,可以根據(jù)下式求得,,K,0,＝,R,-,1,B,T,PZC,T,(,CZC,T,),-,1,,其中,P,Z,矩陣分別滿足,,P,(,A-BK,o,C,)+(,A-BK,o,C,),T,P,+,C,T,K,T,o,RK,o,C+Q,=0,,Z,(,A-BK,o,C,),T,+(,A-BK,o,C,),Z+,I,n,=0,89,,,顯然求解,K,o,需要涉及迭代過程，可根據(jù)上面算法由MATLAB編寫出下面的函數(shù)來求取基于輸出的二次型最優(yōu)控制輸出反饋矩陣,K,o,。,,%outlqr.m,,function ko=outlqr(A,B,C,Q,R,k,tol),,if (nargin==6), tol=1e-10;end,,k1= k;I=eye(size(A));,,while(1),,Ao=A-B* k1*C;,,P=lyap(Ao',C'* k1'*R* k1*C+Q);,,Z=lyap(Ao,I);,,ko=inv(R)*B'*P*Z*C'*inv(C*Z*C');,,if(norm(ko- k1,1)>tol), k1= ko;else,break;end,,end,90,,,在這里收斂條件為‖,K,0,-,K,1,‖<,tol,，并將其默認值置為,tol,=10,-10,, 調用此函數(shù)應該首先給出輸出反饋矩陣的初值,K,1,，然后由此值出發(fā)進行迭代，最終求出系統(tǒng)的最優(yōu)反饋矩陣,K,0,，注意由此迭代過程得出的輸出反饋矩陣不能保證滿足使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的前提條件，所以應該在得出矩陣后測試一下系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。,91,,,例8-17,已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為,,,,,,,,現(xiàn)要求采用輸出反饋，即設計,u= -Ky,，使以下性能指標最小。,,,其中,Q,=diag{1,0,0,0,0}，,R,=1，則可以由下面MATLAB語句求出最優(yōu)輸出反饋矩陣,K,o,及閉環(huán)極點。,92,,,解,MATLAB程序如下,,%Example8_17.m,,A=[-0.2 0.5 0 0 0;0 -0.5 1.6 0 0;0 0 -14.3 85.8 0;,,0 0 0 -33.3 100;0 0 0 0 -10];,,B=[0;0;0;0;30];C=[1 0 4 3 2];D=0;,,Q=diag([1 0 0 0 0]);R=1;,,Ko=outlqr(A,B,C,Q,R,1),,eig(A-B*Ko*C),,t=0:0.001:0.2;,,y=step(A-B*Ko*C,B,C,D,1,t);,,plot(t,y),93,,,執(zhí)行后得如下結果及圖8-22。,,Ko=,,,1.5307,,ans =,,1.0e+002 *,,-0.1561 + 1.2314i,,-0.1561 - 1.2314i,,-1.1821,,-0.0035 + 0.0039i,,-0.0035 - 0.0039i,圖8-22,94,,,而原系統(tǒng)的單位階躍響應利用以下命令可得下圖所示。,,>>y=step(A,B,C,D,1,t); plot(t,y),,,,,,,,,,可見最優(yōu)控制施加之后該系統(tǒng)的響應有了明顯的改善，還可通過調節(jié),Q,和,R,加權矩陣的方法進一步改善系統(tǒng)輸出響應。,95,,合作愉快,,,,,,,