《高中數學《三角函數的應用》教案2蘇教版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學《三角函數的應用》教案2蘇教版必修4（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第 15 課時： 1.3.4 三角函數的應用（二） 【三維目標】： 一、知識與技能 1. 會用三角函數的圖象和性質解決一些簡單實際問題，體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型 . 2. 掌握三角函數模型應用基本步驟： (1) 根據圖象建立解析式； (2) 根據解析式作出圖象； (3) 將實際問題抽象為與三角函數有關的簡單函數模型 . 3. 能正確分析收集到的數據，選擇恰當的函數模型刻畫數據所蘊含的規(guī)律，能根據問題的實際意義，利用模型解釋有關實際問題，為決策提供依據。 4. 讓學生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數學“建

2、?！彼枷?, 從而培養(yǎng)學生的 建模、分析問題、數形結合、抽象概括等能力．培養(yǎng)學生用已有的知識解決實際問題的能力 . 培養(yǎng)學生數學應用意識；提高學生利用信息技術處理一些實際計算的能力。 二、過程與方法 1. 從實際的應用中體會數學與生活是相關的，不是完全脫離現實的，同時理解三角函數在描述周期性現象時的重要作用。 2. 講解例題，總結方法，鞏固練習。 三、情感、態(tài)度與價值觀 1. 培養(yǎng)學生應用數學的能力， 讓學生體會到數學在實際生活中的應用， 意識到只要認真觀 察思考，會發(fā)現數學來源于生活。 2. 讓學生切身感受數學建模的過程， 體驗數學在解決

3、實際問題中的價值和作用， 從而激發(fā) 學生的學習興趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神； 3. 培養(yǎng)學生勇于探索、勤于思考的精神。 【教學重點與難點】 ： 重點：用三角函數模型刻畫潮汐等現象的變化規(guī)律， 用函數思想解決具有周期變化的實際問題；對問題實際意義的數學解釋，從實際問題中抽象出三角函數模型。 難點：（ 1）分析、整理、利用信息，從實際問題中抽取基本的數學關系來建立數學模型， 并調動相關學科的知識來解決問題． （ 2）由圖象求解析式時 的確定。 【學法與教學用具】 ： 1. 學法： 2. 教學用具：多媒體、實物投影儀. 【授課類型】：新授課

4、 【課時安排】： 1 課時 【教學流程】： 實例背景，資料數據，提出問題 根據散點圖形特征，選擇適當的函數擬合 求解函數模型 利用函數模型解決實際問題 反思解題過程，總結解題方法，提煉數學思想 【教學思路】： 用心 愛心 專心 - 1 - 一、創(chuàng)設情景，揭示課題 【復習提問】： 1. 回顧教材“三角函數的周期性” ； 2. 求函數 y A sin( x ) k 的解析式。（ 1） 函數 f ( x) 的橫坐標伸長為原來的 2 倍

5、， 再向左平移 個單位所得的曲線是 y 1 sin x 的圖像，試求 y f ( x) 的解析式 . （ 2） 函數 2 2 y Asin( x ),( A 0, 0, | | )的最小值是 2，其圖象最高點與最低點橫坐標差是 3 ， 2 且圖象過點 (0,1) ，求函數解析式 . 3. 討論：（ 1）如何由圖觀察得到三角函數的各系數？如何確定初相？（特殊點法） （ 2）在現實生活中，哪些現象具有周期性？（溫度、白晝、振動、情緒、智力、體力等）函數 y＝ Asin( ω

6、x＋ φ ) 的性質問題，是三角函數中的重要問題，是高中數學的重點內容，也 是高考的熱點 . 三角函數能夠模擬許多周期現象，因此在解決實際問題中有著廣泛的應用 . 二、研探新知 例 1 （學生自學完成教材 P41 例 1） 點 O 為做簡諧運動的物體的平衡位置，取向右的方向為物體位移的正方向，若已知振幅 為 3cm，周期為 3s，且物體向右運動到距平衡位置最遠處時開始計時 . （ 1）求物體對平衡位置的位移x (cm) 和時間 t(s) 之間的函數關系； （ 2）求該物體在 t=5s 時的位置 . （教師進行適當的評析 . 并回答

7、下列問題：根據物理常識，應選擇怎樣的函數式模擬物體的運動；怎樣求 和初相位 θ ；第二問中的“ t=5s 時的位置”與函數式有何關系？） 例 2（學生自學完成教材 P42 例 2）一半徑為 3cm 的水輪如圖 1-3-22 所示，水輪圓心 O 距 離水面 2cm ，已知水輪每分鐘轉動 4 圈，如果當水輪上點 P 從水中浮現時（圖中 P0 點）開始 計算時間。 （ 1）將點 P 距離水面的高度 z(cm) 表示為時間 t( s) 的函數； （ 2）點 P 第一次到達最高點大約要多長時間？ 例 3 （教材 P42 探究案例）海水受日月的

8、引力，在一定的時候發(fā)生漲落的現象叫潮汐， 一般的早潮叫潮 , 晚潮叫汐 . 在通常的情況下，船在漲潮時駛進航道，靠近船塢；卸貨后落潮 是返回海洋 . 下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個時刻的水深 . 時間 0.00 3.00 6.00 9.00 12.00 15.00 18.00 21.00 24.00 水深 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 （ 1）選用一個三角函數來近似描述這個港口的水深與時間的函數關系，并給出在整點時的近似數值 . （2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為 4 米

9、，安全條例規(guī)定至少要有 1.5 米 的安全間隙（船底與海底的距離） ，該船何時能進入港口？在港口能呆多久？ （3）若船的吃水深度為 4 米，安全間隙為 1.5 米，該船在 2： 00 開始卸貨，吃水深度以 每小時 0.3 米的速度減少，那么該船在什么時間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？ 【問題】： （ 1）選擇怎樣的數學模型反映該實際問題？ （ 2）圖表中的最大值與三角函數的哪個量有關？ 用心 愛心 專心 - 2 - 5.5 米 （ 3）函數的周期為多少？ （ 4）“吃水深度”對應函數中的哪個字母？請同學們看下面這個

10、問題： 【問題探究 1】：請同學們仔細觀察表格中的數據，你能夠從中得到一些什么信息？ 小組合作發(fā)現，代表發(fā)言?？赡芙Y果： 1）水深的最大值是 7.5 米，最小值是 2.5 米。 2）水的深度開始由 5.0 米增加到 7.5 米，后逐漸減少一直減少到 2.5 ，又開始逐漸變深， 增加到 7.5 米后，又開始減少。 3）水深變化并不是雜亂無章，而是呈現一種周期性變化規(guī)律。 4） 學生活動：作圖——更加直觀明了這種周期性變化規(guī)律。（研究數據的兩種形式） 5）教師呈現作圖結果，

11、學生小組代表發(fā)言，跟我們前面所學過哪個函數類型非常的類似？ 追問為什么類似正弦型函數 y Asin( x ) b （排除法，關鍵在于周期性）。 （學生活動，求解解析式） 得到的是一個刻畫水深與時間關系的三角函數模型，為了保證所選函數的精確性，通常還需要一個檢驗過程，教師點明：建模過程——選模，求模，驗模，應用。有了這個模型，我們大致可以知道哪些情況？學生小組合作討論回答，如周期、單調性、每時每刻的水深。 【問題探究 2】：一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為 4 米，安全條例規(guī)定至少要有 1.5 米的安全間隙（船底與洋底的距離），試問：該船

12、何時能夠進入港口？在港口能呆多久？ （師生一起分析）用數學的眼光看，這里研究的是一個怎樣的數學問題？水深 得出 2.5sin x 5 4 1.5 ，即 sin x 0.2 ， 6 6 （師生齊分析）解三角不等式 x 0.2的方法 sin x 6 x 令 sin 0.2 學生活動： 操作計算器計算 0.2014, x 0.3848 ， 結合電腦呈現圖 6 6 象 發(fā)

13、現：在 [0 ， 24] 范圍內，方程 sin x 的解一共有 4 個，從小到大依次記為： 0.2 6 用心 愛心 專心 - 3 - 那么其他三個 如何求得呢？（學生思考） 得到了 4 個交點的橫坐 后， 合 象 船 什么 港？什么 出 港呢？ （學生 ，交流） 可能 果：【生 1】 船可以在 0 時 30 分 左右 港，早晨 5 時 30 分 左右出港；或者是中 午 12 時 30 分 左右 港，在傍晚 17 時 30 分

14、 左右出港。 【生 2】 船可以在 0 時 30 分 左右 港，可以 早晨 5 時 30 分，中午 12 時 30 分，或 者傍晚 17 時 30 分左右出港。 ?? （學生 ，最后確定方案 1 安全方案，因 當 水深小于安全深度 ， 船盡管沒有行 ，但是 淺后船身完全可以 入淤泥，即使后來水位上 ，也很可能船身不再上?。? 才整個 程， 船在 港，在港口停留，到后來離開港口， 船的吃深深度一直沒有改 ，也就是 船的安全深度一直沒有改 ，但是 情況往往是 船 物 港，在港口卸 ，在卸 的 程中，由物理學的知 我 知道，隨

15、著船身自身重量的減小，船身會上浮， 一來當兩者都在改 的 候，我 又 如何 出港 呢？ 看下面 ： 【 探究 3】：在探究 2 條件中，若 船在 2：00 開始卸 ，吃水深度以每小 0.3 米的速度減少，那么 船在什么 必 停止卸 ，將船 向 深的水域？ （學生 ）安全即需要： 水深 安全水深，即： ， 求解方法：用代數的方法？幾何的角度？（ 作 并呈 ） 通 象可以看出，當快要到 P 刻的 候， 船就要停止卸 ， 向深水區(qū)。那么 P 點的坐 如何求得呢？（學生思考，

16、 ，交流）求 P 點橫坐 即解方程 數形 合，二分法求近似解： 由 得點 P 點橫坐 在 [6 ， 7] ，故我 只需要算出 6， 6.5 ， 7 三個 刻的安全水深與 水深的數 表就可以回答上面的 。 時間 水深 安全水深 是否安全 6． 0 5 米 4． 3 米 安全 6． 5 4．2 米 4． 1 米 安全 7． 0 3．8 米 4． 0 米 危 船 在 6 時 30 分左右 離港口。（可能有的同學有些異 ，可以 ） 從 個 可以看出，如果有 候 控制不當， 船

17、在卸 的 程中，就會出 沒有卸完，不得已要 離港口， 入深水區(qū)，等水位上 后在 回來。 公司來 用心 愛心 專心 - 4 - 說就會造成才力、物力上的巨大浪費？那該怎么來做呢？ （學生討論） 可以加快卸貨速度，也就是加快安全深度下降速度。 【問題探究 4】：若船的吃水深度為 4 米，安全間隙為 1.5 米，該船在 2： 00 開始卸貨，貨物 卸空后吃水深度為 2 米，為了保證進入碼頭后一次性卸空貨物，又能安全駛離碼頭，那么每 小時吃水深度至少要以多少速度減少？ --- 探究 3 的變式（學生課后探究）

18、 三、質疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維 1. 如圖，單擺從某點給一個作用力后開始來回擺動，離開平衡位置 O的距離 s 厘米和時間 t 秒的函數關系為 s 6sin(2 t ) . 6 （ 1）單擺擺動 5 秒時，離開平衡位置多少厘米？ （ 2）單擺擺動時，從最右邊到最左邊的距離為多少厘米？ （ 3）單擺來回擺動 10 次所需的時間為多少秒？ 2. 如圖，某地一天從6 ～ 14 時的溫度變化曲線近似滿足函數 y Asin( x ) b ．  T / C

19、30 20 （ 1）求這一天 6～ 14 時的最大溫差； 10 （ 2）寫出這段曲線的函數解析式． O 6 8 10 12 14 t / h 【問題的反思】 ： ①一般地，所求出的函數模型只能近似刻畫這天某個時段的溫度變化情況，因此應當特別注 意自變量的變化范圍； ②與學生一起探索 的各種求法；（這是本題的關鍵！也是難點！ ）（用最大小值點代入不容易 出現錯誤） ③如何根據 y Asin( x ) b 圖像求解析式中的待定參數 A,b; ;

20、 ? 6 6 2 等 ④探究其他解法： 2 或 14 14 0 2 ⑤借助三角函數模型研究的思想方法研究一些較復雜的三角函數。 四、鞏固深化，反饋矯正 1. 某海濱浴場的海浪高度 y（米）是時間 t （ 0≤ t ≤24，單位：小時）的函數，經過長期觀察，該函數的圖象可以近似地看成 y Asin( t ) b . 下表是測得的某日各時的浪高數據： t ( 時 ) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 用心 愛心 專心 - 5 - y（米）

21、 1.5 1.0 0.51.01.51.0 0.50.991.5 依規(guī)定，當浪高不低于 1 米時浴場才開放，試安排白天內開放浴場的具體時間段 . 2. 某港口水深 y（米）是時間 t （0≤ t ≤ 24，單位：小時）的函數，記為 y= f (t ) ，下面是某 日水深數據： t （時） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13

22、.0 10.1 7.0 10.0 經過長期觀察， y = f (t) 的曲線可以近似看成 = sin + 的圖象 . y A t b （ i ）根據以上數據求出 y= f (t) 的近似表達式； （ ii ）船底離海底 5 米或者 5 米以上是安全的， 某船的吃水深度為 6.5 米（船底離水面距離） ， 如果此船在凌晨 4 點進港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少時間？ 教法：從表中讀

23、到一些什么數據？ → 依次求各系數 → 應用模型解決問題 答案： y 3sin t 10 （ ≤ t ≤ ）； 13 （小時） . 6 0 24 . 求得模型后，把第（ 2）問 小結：讀取與分析表中的數據，是一種數學思維能力的訓練 的情景轉化為一個簡單的三角不等式，再運用整體思想，借助函數的圖象或者單位圓可以求 解 .

24、 3. 某商品一年內出廠價格在 6 元的基礎上按月份隨正弦曲線波動， 已知 3 月份達到最高價格 8 元，7 月份價格最低為 4 元 . 該商品在商店內的銷售價格在 8 元基礎上按月份隨正弦曲線波動， 5 月份銷售價格最高為 10 元， 9 月份銷售價最低為 6 元. （ 1）試建立出廠價格、銷售價格的模型，并求出函數解析式 ; （ 2）假設商店每月購進這種商品 m件，且當月銷完，試寫出該商品的月利潤函數. 五、歸納整理，整體認識 從以上問題可以發(fā)現三角函數

25、知識在解決實際問題中有著十分廣泛的應用，而待定系 數法是三角函數中確定函數解析式最重要的方法 . 三角函數知識作為數學工具之一，在以后的學習中將經常有所涉及 . 學數學是為了用數學，通過學習我們逐步提高自己分析問題解決問題的能力 . 三角函數應用模型的三種模式：一是給定呈周期變化規(guī)律的三角函數模型，根據所給模型，結合三角函數的性質，解決一些實際問題；而是給定呈周期變化的圖象，利用待定系數法求出函數模型，再解決其他問題；三是搜集一個實際問題的調查數據，根據數據作出散點圖，通過擬合函數圖象，求出可以近似表示變化規(guī)律的函數模型，進一步用函數模型來解決問題 . 回顧整個探究過程，經歷

26、了第一階段：收集數據 ----- 畫散點圖 第二階段：根據圖象特征 --- 選模、求模、驗模 第三階段：函數模型應用 在整個探究過程，我們用到數學常見的一些思想方法： （ 1）對實際問題處理過程是，首先是挖掘其中的數學本質，將實際問題轉化為數學問題；體現了數學中的轉化思想； （ 2）在對一些數據處理的過程用到了估算的思想； （ 3）在用代數方法處理困難的一些題目的解決中，用到了數形結合的思想； （ 4）在方程的求解過程中，用到了算法中“二分法”思想。 六、承上啟下，留下懸念 七、板書設計 八、課后記： 用心 愛心 專心 - 6 -