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2019-2020年高三數(shù)學第69練計數(shù)原理排列組合練習 訓練目標 (1)熟練掌握兩個計數(shù)原理并能靈活應(yīng)用； (2)會應(yīng)用排列、組合的計算公式解決與排列組合有關(guān)的實際問題． 訓練題型 (1)兩個計數(shù)原理的應(yīng)用；(2)排列問題；(3)組合問題；(4)排列與組合的綜合問題． 解題策略 (1)理解兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握分類與分步的原則，正確把握分類標準；(2)將常見的排列組合問題分成不同類型，并掌握各種類型的解法，弄清問題實質(zhì)，做到融會貫通. 1．設(shè)集合A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}，如果方程x2－mx－n＝0 (m，n∈A)至少有一個根x0∈A，就稱方程為合格方程，則合格方程的個數(shù)為(　　) A．13 B．15 C．17 D．19 2．(xx漢口一模)某單位有7個連在一起的車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需停放，如果要求剩余的4個空車位連在一起，則不同的停放方法有(　　) A．16種 B．18種 C．24種 D．32種 3．(xx西安調(diào)研)將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有(　　) A．10種 B．20種 C．36種 D．52種 4．(xx德陽診斷)學校計劃利用周五下午第一、二、三節(jié)課舉辦語文、數(shù)學、英語、理綜4科的專題講座，每科一節(jié)課，每節(jié)至少有一科，且數(shù)學、理綜不安排在同一節(jié)，則不同的安排方法共有(　　) A．36種 B．30種 C．24種 D．6種 5．計劃將排球、籃球、乒乓球3個項目的比賽安排在4個不同的體育館舉辦，每個項目的比賽只能安排在一個體育館進行，則在同一個體育館比賽的項目不超過2個的安排方案共有(　　) A．60種 B．42種 C．36種 D．24種 6．“2 012”含有數(shù)字0,1,2，且有兩個數(shù)字2，則含有數(shù)字0,1,2，且有兩個相同數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為(　　) A．18 B．24 C．27 D．36 7．(xx衡水二模)已知數(shù)列{an}共有5項，a1＝0，a5＝2，且|ai＋1－ai|＝1，i＝1,2,3,4，則滿足條件的數(shù)列{an}的個數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 8．某親子節(jié)目的熱播引發(fā)了一陣熱潮，某節(jié)目制作組選取了6戶家庭到4個村莊體驗農(nóng)村生活，要求將6戶家庭分成4組，其中2組各有2戶家庭，另外2組各有1戶家庭，則不同的分配方案的種數(shù)是(　　) A．216 B．420 C．720 D．1 080 二、填空題 9．已知一個公園的形狀如圖所示，現(xiàn)有3種不同的植物要種在此公園的A，B，C，D，E這五個區(qū)域內(nèi)，要求有公共邊界的兩塊相鄰區(qū)域種不同的植物，則不同的種法共有________種． 10．從甲、乙等6名運動員中選出4名參加4100米接力賽．如果甲、乙兩人都不跑第一棒，那么不同的參賽方法共有________種． 11．現(xiàn)有12種商品擺放在貨架上，擺成上層4件、下層8件的形式，現(xiàn)要從下層的8件中取2件調(diào)整到上層，若其他商品的相對順序不變，則不同的調(diào)整方法的種數(shù)為________． 12．公安部新修訂的《機動車登記規(guī)定》正式實施后，小型汽車的號牌已經(jīng)可以采用“自主編排”的方式進行編排．某人欲選由A、B、C、D、E中的兩個不同字母，和1、2、3、4、5中的三個不同數(shù)字(三個數(shù)字都相鄰)組成一個號牌，則他選擇號牌的不同的方法種數(shù)為________.  答案精析 1．C　[當m＝0時，取n＝0,1,4，方程為合格方程； 當m＝1時，取n＝0,2,6，方程為合格方程； 當m＝2時，取n＝0,3，方程為合格方程； 當m＝3時，取n＝0,4，方程為合格方程； 當m＝4時，取n＝0,5，方程為合格方程； 當m＝5時，取n＝0,6，方程為合格方程； 當m＝6時，取n＝0,7，方程為合格方程； 當m＝7時，取n＝0，方程為合格方程． 綜上可得，合格方程的個數(shù)為17， 故選C.] 2．C　[將4個連在一起的空車位“捆綁”，作為一個整體，則所求即4個不同元素的全排列，有A＝24(種)不同的停放方法，故選C.] 3．A　[1號盒子可以放1個或2個球，2號盒子可以放2個或3個球，所以不同的放球方法有CC＋CC＝10(種)．] 4．B　[由于每科一節(jié)課，每節(jié)至少有一科，必有兩科在同一節(jié)，先從4科中任選2科看作一個整體，然后做3個元素的全排列，共CA種方法，再從中排除數(shù)學、理綜安排在同一節(jié)的情形，共A種方法，故總的方法種數(shù)為CA－A＝36－6＝30.] 5．A　[兩種情況，第一種情況安排3個場地，每個場地安排1項比賽，安排方案有A＝24(種)；第二種情況，一個場地安排兩場，第二個場地安排一場，安排方案有CA＝36(種)． 綜上所述，一共有60種方案．] 6．B　[依題意，就所含的兩個相同數(shù)字是否為0進行分類計數(shù)：第一類，所含的兩個相同數(shù)字是0, 則滿足題意的四位數(shù)的個數(shù)為CA＝6；第二類，所含的兩個相同數(shù)字不是0，則滿足題意的四位數(shù)的個數(shù)為CCC＝18.由分類加法計數(shù)原理得，滿足題意的四位數(shù)的個數(shù)為6＋18＝24.] 7．C　[方法一　因為|ai＋1－ai|＝1，所以ai＋1－ai＝1或ai＋1－ai＝－1，即數(shù)列{an}從前往后，相鄰兩項之間增加1或減少1，因為a1＝0，a5＝2，所以從a1到a5有3次增加1，有1次減少1，故數(shù)列{an}的個數(shù)為C＝4. 方法二　設(shè)bi＝ai＋1－ai，i＝1,2,3,4，因為|ai＋1－ai|＝1，所以|bi|＝1，即bi＝1或－1.a5＝a5－a4＋a4－a3＋a3－a2＋a2－a1＋a1＝b4＋b3＋b2＋b1＝2，故bi(i＝1,2,3,4)中有3個1,1個－1，故滿足條件的數(shù)列{an}的個數(shù)為C＝4.] 8．D　[先分組，每組含有2戶家庭的有2組，則有種不同的分組方法，剩下的2戶家庭可以直接看成2組，然后將分成的4組進行全排列，故有A＝1 080(種)不同的分配方案．] 9．18 解析　先在A，B，C三個區(qū)域種植3個不同的植物，共有A＝6(種)種法，若E與A種植的植物相同，最后種D，有1種種法；若E與C種植的植物相同，最后種D，有2種種法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理知共有6(1＋2)＝18(種)不同的種法． 10．240 解析　方法一　(從元素考慮)從6名運動員中，選出4人有三種情況：(1)甲、乙都被選出，有C種選法；(2)甲、乙恰有1人被選出，有CC種選法；(3)甲、乙都未被選出，有C種選法．再將4人按要求安排位置：甲、乙都參加，有AA種排法；甲、乙中有一人參加，有AA種排法；甲、乙都不參加，有A種排法．故不同的參賽方法共有CAA＋CCAA＋CA＝240(種)． 方法二　(從位置考慮)第一棒從甲、乙以外的4人中選取，再排其他各棒，有AA＝240(種)不同的參賽方法． 方法三　(間接法)從總數(shù)中減去甲、乙跑第一棒的情況，有A－AA＝240(種)不同的參賽方法． 11．840 解析　首先從下層中抽取2件商品，共有C＝28(種)不同的結(jié)果，把抽出的2件商品放到上層有兩種情況：一種是2件商品相鄰，放在上層4件商品形成的5個空中，有5A＝10(種)不同的調(diào)整方法；另一種是2件商品不相鄰，把抽出的2件商品插入上層4件商品形成的5個空中，有A＝20(種)不同的調(diào)整方法，所以共有28(10＋20)＝840(種)不同的調(diào)整方法． 12．3 600 解析　三個數(shù)字相鄰，則共有A種情況，在A、B、C、D、E中選兩個不同的字母，共有A種不同的情況，這兩個字母形成三個空，將數(shù)字整體插空，共C種情況．綜上所述，此人選擇號牌的不同的方法種數(shù)為AAC＝60203＝3 600.