立體幾何 一、基礎(chǔ)知識回顧： 1. 給出下列四個推理：①若點 A 平面α，則直線 AB 平面α；②若 A、B、 C 三點可以確定一個平面， 則點 B 直線 AC；③若經(jīng)過 A、 B、 C 三點的平面有無數(shù)個，則 A、 B、C 三點共線；④若直線 AB 平面α， 直線 AB 平面β，則α與β是同一個平面 . 在以上推理中，正確的有 3 個 . 2. 下列命題：①四邊相等的四邊形的菱形； ②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形； ③若四邊形有 一組對角都是直角，則該四邊形是圓內(nèi)接四邊形；④在空間，過已知直線外一點，引該直線的平行線，可 能不只一條； ⑤四條直線兩兩平行，無三線共面，它們可確定 6個平面； ⑥空間四邊形的內(nèi)角和一定是 360；⑦有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等. 其中正確的命題個數(shù)是 2. 3. 如圖，已知一個多面體的平面展開圖由一邊長為 1 的正方形和 4 個邊長為 1 的正三角形組成， 2 。 則該多面體的體積是 6 4. △ABC 的邊 AB=5 ，BC=3 ，AC=4 ，設(shè)分別以此三邊為軸，把△ ABC 旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 V AB ，V BC，V AC ，則它們的大小關(guān)系是 V BC.>V AC>V AB 5. 已知一個棱長為 6cm 的正方體塑料盒子 (無上蓋 )，上口放著一個半徑為 5cm 的鋼球， 則球心到盒底的距 離為 10 cm. D 6. 如圖， A, B, C , D 為空間四點，在 ABC 中， AB 2, AC BC 2 . A 等邊三角形 ADB 以 AB 為軸運動 . 當(dāng) CD =_____ 2 _____時， CD 面 ABC . B C 7. 關(guān)于直線 m、 n 和平面 、 有以下四個命題： ① 當(dāng) m∥ ，n∥ ， ∥ 時， m∥n， ② 當(dāng) m∥n， m ，n⊥ 時， ⊥ ， ③ 當(dāng) ∩ = m，m∥n 時， n∥ 且 n∥ ， ④ 當(dāng) m⊥n， ∩ = m 時， n⊥ 或 n⊥ 。 其中假命題的序號是 ①③④ . 8. 已知 P 為四面體 S-ABC 的側(cè)面 SBC 內(nèi)的一個動點，且點 P 與頂點 S 的距離等于點 P 到底面 ABC 的距 離，那么在側(cè)面 SBC 內(nèi)，動點 P 的軌跡是某曲線的一部分，則該曲線一定是 D A. 圓或橢圓 B. 橢圓或雙曲線 C. 雙曲線或拋物線 D. 拋物線或橢圓 二、例題精講： 例 1. 如下圖，兩個全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB，M∈ AC，N∈ FB 且 AM=FN，求證： MN ∥平面 BCE. 證：在 BC 上取點 P，使 CP CM MP CM = ,連結(jié) MP ，則 MP//AB, 且 = CB CA AB CA 在 BE 上取點 Q，使 BQ = BN ,連結(jié) MQ ，則 NQ//FE, 且 NQ = BN BE BF FE BF 連結(jié) PQ CM BN MP NQ CA=BF,AM-FN CM=BN = = CA BF AB FE MP=NQ MP//AB,NQ//FE.AB//FE MP//NQ MNQP是平行四邊形 MN//PQ 又 MN 面 BCE,PQ 面 BEC MN ∥平面 BCE. A F D M N B Q E P C 例 2. 如圖，四邊形 ABCD 為矩形， BC 上平面 ABE ，F(xiàn) 為 CE 上的點，且 BF⊥平面 ACE. (1)求證： AE ⊥BE； (2)設(shè)點 M 為線段 AB 的中點，點 N 為線段 CE 的中點． 求證： MN ∥平面 DAE ． C (1) BF⊥平面 ACE,AE 面 ACE D BF ⊥AE N F BC ⊥面 ABE,AE 面 ABE A BC ⊥AE M B 又 BF BC=B,BF 面 BCE,BC 面 BCE AE ⊥面 BCE E BE 面 BCE AE ⊥ BE (2) 取 QE 中點 P，連結(jié) PA,PN 在 EDC 中 EP=PD,EN=NC PN // 1 DC 2 AM= 1 AB,AB // DC 2 PN // AM MNPA 是平行四邊形 MN//PA MN 面 DAE PA 面 DAE MN ∥平面 DAE 例 3．如圖，已知空間四邊形 ABCD 中， A BC AC, AD BD ， E 是 AB 的中點． 求證：（ 1） AB 平面 CDE； E （2）平面 CDE 平面 ABC ． （3）若 G 為 ADC 的重心 , 試在線段 AE 上確定一點 F, 使得 GF// 平面 CDE． C （ 1）在 CAB中， BC=AC,AE=EB CE B AB 在 DAB中， = , AE=EB DE AB AD BD CE DE=E,CE 面 CDE,DE 面 CDE D AB 平面 CDE （ 2）由（ 1）知 AB 面 CDE 又 AB 面 ABC 平面 CDE 平面 ABC （3）結(jié)論： F 是 AE的三等分點（距點 2 E 較近）即 AF= AE 3 理由：連結(jié) AG并延長交 DC于 H，連結(jié) FG，EH G 是 ADC 的重心 AG 2 = 3 AH 2 AF 2 AF AG AF= AE 即= 3 AE = 3 AE AH FG//EH FG 面 CDE,EH 面 CDE FG//面 CDE, 即 GF// 面 CDE 例 4. 一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中 M、 N 分別是 AB、AC 的中點， G 是 DF 上的一動點 . （1）求證： GN AC; （2）當(dāng) FG=GD 時，在棱 AD 上確定一點 P，使得 GP//平面 FMC , 并給出證明 . （1）由三視圖可知，  ABCD  為正方形 FDA  為等腰三角形且  FDA  ECB 連結(jié)  BD,FB N 為 FD  AC 中點 AD,FD  N 必在 DC.AD  BD 上且為 DC=D,AD  BD  中點 面 ABCD DC  面  ABCD  AD  面  ABCD AC  面  ABCD  FD  AC 又  BD  AC,FD  BD=D,FD  面  FDB AC GN  面 面  FDB FDB GN AC （ 2）結(jié)論： P 即為點 A 理由：取 FC 中點 H ，連結(jié) HG,HM,GA GH 分別為 FD,FC 中點 GH // 1 DC 1 2 AM= GH // AM AB,AB // DC 2 GHMA 為平行四邊形 GA//HM GA 面 FMC,HM 面 FMC GA// 面 FMC P 點即為 A 點 例 5. 如圖所示，等腰 △ ABC 的底邊 AB 6 6 ，高 CD 3 ，點 E 是線段 BD 上異于點 B，D 的 動點，點 F 在 BC 邊上，且 EF ⊥ AB ，現(xiàn)沿 EF 將 △ BEF 折起到 △ PEF 的位置，使 PE ⊥ AE ， 記 BE x ， V( x) 表示四棱錐 P ACFE 的體積． （ 1）求 V (x) 的表達(dá)式； （ 2）當(dāng) x 為何值時， V ( x) 取得最大值？ （ 3）當(dāng) V (x) 取得最大值時，在線段 AC 上取一點 M，使得 AM 42 ，求證： MF ∥平面 APE . P D E A B F C （1）（翻折不改變“ ”） EF AB 即 BE EF PE EF PE AE,EF AE=E EF 面 ACFE,AE 面 ACFE PE 面 ACFE PE 為四棱錐 P-ACFE 的高 1 V(X)= S ACFE ? PE 3 BE=X PE=BE=X 在 BDC 中 CD DB,FE DB CD//DB,FE DB CD//FE EF BE = BD DC X X EF= BE ? DC= 6 ? 3= BD 3 6 S ACFE =S ABC -S BEF 1 ? CD- 1 = AB BE ? EF 2 2 = 1 ? 6 6 ? 3- 1X ? X = 9 6 - X 2 2 2 6 2 6 V(X)= 1 ( 9 6 - X 2 ) ? X 3 2 6 = 3 6 X- 6 X 3 36 E 在 BD 上 0<x< 3 6 V(X)= 3 6 X— 6 X 3 (0<x< 3 6 ) 36 (2) V (X)= 3 6 - 6 X 2 ,0<x< 3 6 12 令 V (X)=0 得 X=6(X= -6 舍去 ) 列表 X (0,6) 6 3 6 ) (6, V (X) + 0 — V(X) ↗ 極大值 ↘ 當(dāng) X=6 時， V(X) 取得最大值 （3） AC= AD 2 DC 2 63 = 3 7 CM=AC-AM= 3 6 - 42 CM 3 7 - 42 6 CA = 7 =1- 3 3 在 BDC 中， BE=6,DE=DB-BE= 3 6 -6 EF//DC CF DE 3 6 - 6 6 CB = = =1- DB 3 6 3 CM CF = CA CB MF//AB 即 MF//AM MF 面 APE,AE 面 APE MF// 面 APE 三、課后鞏固練習(xí)： 1 D、E 分別是三棱錐 P—ABC的側(cè)面△ PAB，△PBC的重心， AC=a，則 DE的長為  1 A D a . . 2 F 2. 邊長為 a 的正方形的直觀圖的面積為 2 a2 . 4  B C E 3. 如圖， E、 F 分別為正方形 ABCD 的邊 BC， CD 的中點，沿圖中虛線將邊長為 2 的正方形折起來，圍成 一個正三棱錐，則此三棱錐的體積是 1 ． 3 4. 一圓柱形鐵管的高是底面半徑的 5 倍，其全面積為 12 ，同一段鐵絲在鐵管上纏繞 4 圈，使得鐵絲的 兩個端點落在圓柱的同一條母線上，則鐵絲的最短長度為 25 64 2 5. 已知直線 l 平面 ，直線 m 平面 ，則下列四個命題： ① // l m ；② l // m ；③ l // m ；④ l m // 其中正確命題的序號是 ______①③ ______. 6 設(shè) , , 為兩兩不重合的平面， l m n 為兩兩不重合的直線，給出下列四個命題： ①若 , ，則 // ；②若 ③若 // ， l ，則 l // ；④若 其中正確命題的序號為 ②③ .  // ,m // ,n ，則 m n ； m n, m // ,n ，則 // 7. 給出下列關(guān)于互不相同的直線 m,n, l 和平面 , 的四個命題： （1） m , l A,點A m, 則 l 與 m 不共面； （2） l 、 m 是異面直線， l // , m// ,且n l , n m, 則n ； （3）若 l ,m ,l m 點A,l // , m // ，則 // ； （4）若 l // ,m // , // ,則l // m 其中真命題是 （1）（2）（3） （填序號） 8. 用平行于四面體 ABCD一組對棱 AC和 BD的平面截此四面體得一四邊形 MNPQ. ( Ⅰ) 求證： MNPQ是平行四邊形 . ( Ⅱ) 若 AC＝ BD，能截得菱形嗎 ?如何截 ? ( Ⅲ) 在什么情況下，可以截得一個矩形 ? ( Ⅳ) 在什么情況下，能截得一個正方形嗎 ?如何截 ? ( Ⅴ) 若 AC＝BD＝a，求證：平行四邊形 MNPQ的周長一定 . ( Ⅵ) 若 AC＝a，BD＝b，AC和 BD所成的角為 θ， 求四邊形 MNPQ面積的最大值 ( Ⅰ ) AC// 面 MNPQ ， AC 面 ADC ， 面 MNPQ 面 ADC=PQ AC//PQ 同理 AC//MN PQ//MN 同理 MQ//NP MNPQ 是平行四邊形（線 //面線// 交線） (Ⅱ )能， M 、 N 、Q、P 分別為 AB 、BC、 DC、 DA 中點 (Ⅲ )AC BD (Ⅳ )AC=BD 且 AC BD ， M 、N 、P、 Q 為 AB 、 BC、DC、DA 中點 (Ⅴ )設(shè) DQ =t，則 AQ =1-t PQ=tAC=ta ， MQ= （ 1-t ）BD= （ 1-t ）a CMNPQ =2（ PQ+MQ ）=2a 為定值 DA AD (Ⅵ )設(shè) DQ AQ =t ，則 =1-t DA AD S =PQ? MQ? Sin =ta ?（ 1-t ）b ? Sin MNPQ =t （ 1-t ） abSin =[-(t- 1 ) 2+ 1 ]abSin 2 4 當(dāng) t= 1 時，（ SMNPQ） min= 1 abSin 2 4 9. 如圖， M , N , K 分別是正方體 ABCD A1B1C1 D1 的棱 AB,CD ,C1D1 的中點． D （1）求證： AN //平面 A1 MK ；（ 2）求證：平面 A1 B1 C 平面 A1MK ． 1 K C1 （1）連結(jié) KN 1，，則 KN // AA 1 A B 1 KNAA 1 是平行四邊形 1 AN// A 1K AN 面 A1MK ， A 1K 面 A1 MK AN // 平面 A1 MK D N C （ 2）設(shè) A 1C KM=0 ，連結(jié) BC1 A 1K 2= A 1D 1+D 1K 2 ，A 1K 2=A 1A 2 +AM 2 A 1D1= A 1D 1， D1 K=A  A M B A 1K 2 =A 1M 2，即 A 1K= A 1 M ABCD A1 B1C1 D1 是、是正方體 0 為 KM 中點 A 1O KM K C1= 1 C1 D1 ，MB= 1 AB， C1 D1 // AB 2 2 K C1 // MB K C1BM 為平行四邊形 BC1//KM B 1C BC1 BC1 KM A O B 1C A O=C ， B1 C 面 A 1B 1C， 面 A 1B 1C 1 1 KM 面 A 1B 1C KM 面 A 1MK 面 A 1B 1C 面 A 1MK 10. 如圖，在直三棱柱 ABC A1 B1C1 中，E 、F A B A C 分別是 1 、 1 的中點，點 D 在 B1C1 上， A1D B1C 。 求證：（ 1）EF∥平面 ABC ； （2）平面 A1 FD 平面 BB1C1C . （1）在 A 1BC 中 A 1E =EB, A 1F=FC EF//BC EF 面 ABC,BC 面 ABC EF∥平面 ABC （ 2） 直三棱柱 BB 1 面 A 1B 1C1 A 1D 面 A1 B1 C1 、 BB 1 A1 D 即 A 1D BB 1 又 A 1D B C， B C BB 1 =B 1 1 1 C B1 C 面 BB C， B 1B 面 BB 1 C1 1C1 A 1D 面 BB C 1C1 A 1D 面 A 1FD 平面 A1 FD 平面 BB1C1C 11. 如圖，在直三棱柱 ABC — A 1B 1C1 中， AC=BC ，點 D 是 AB 的中點． （ I ）求證： CD⊥平面 A1 ABB 1； （ II ）求證： AC 1// 平面 CDB 1． （ I ） AC=BC ， AD=DB CD⊥AB 直三棱柱 B 1B ⊥面 ABC CD 面 ABC CD ⊥B1 B 又 AB B 1B=B AB A 1ABB 1 B 1B A 1ABB 1 CD⊥平面 A1 ABB 1  （ II ）連結(jié) BC 交 B1 C 于 H ，連結(jié) DH BD=DA ，BH=HC 1 DH//A C1 A C1 面 CDB 1 DB 面 CDB 1 A C1// 面 CDB 1 12. 如圖，在三棱錐 P ABC中，⊿ PAB是等邊三角形， ∠PAC=∠ PBC=90 o （1）證明： AB⊥PC （2）若 PC 4 ，且平面 PAC ⊥平面 PBC ，求三棱錐 P ABC 體 積。 （1） PA=PB， O PAC= PBC=90，PC=PC Rt PBC Rt PAC CB=CA 取 AB中點 D，連結(jié) PD，CD 則 PD AB ，CD AB 又 PD CD=D ， PD 面 PDC，CDC 面 PDC AB 面 PDC PC 面 PDC AC PC （ 2）設(shè) AB=PA=PB=x CA=CB=y 作 BH PC，垂足為 H，連結(jié) AH 面 PAC 面 PBC 面 PAC 面 PBC=PC BH 面 PBC BH 面 PAC AH 面 PAC BH AH BH PC,AB PC,BH AB=B BH 面 ABH ， AB 面 ABH PC 面 ABH AH 面 ABH AH PC Rt PBC Rt PAC xy BH=AH= 4 2 2 2 又 AH+BH=AB ( xy ) 2 +( 4 又 x 2 +y2=42  xy ) 2 =x2 ① 4 x=y= 2 2 BH 面 PAC BH 為三棱錐 B-PAC 的高 VP-ABC=VB-PAC 1 = S PAC? BH 3 = 1 ? 1 xy ? xy 3 2 4 = 8 3