立體幾何專題 1. 如圖，正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，點在棱上. （1） 若，求證：直線平面； （2）是否存點， 使平面⊥平面，若存在，請確定點的位置，若不存在，請說明理由； （3）請指出點的位置，使二面角平面角的大小為. 2. (1)求證:直線BC1//平面AB1D; (2)求二面角B1-AD-B的大?。? (3)求三棱錐C1-ABB1的體積。 3. 四棱錐PABCD的底面是邊長為a的菱形，∠ABC=60，PC⊥平面ABCD，PC=a，E是PA的中點. (1)求證：平面EBD⊥平面ABCD； (2)求點E到平面PBC的距離； (3)求二面ABED的大?。ㄎ目浦磺笳兄担? 4. 如圖，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為2的正三角形，頂點A1在底面ABC上的射影O是△ABC的中心，異面直線AB與CC1所成的角為45. (1)求證：AA1⊥平面A1BC； (2)求二面角A1BCA的大小； (3)求這個斜三棱柱的體積. 5. 如圖正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=1，A1A=2，E、F分別是A1A和D1B的中點． （Ⅰ）求證：平面EFB1⊥平面D1DBB1； A B C D E F A1 B1 C1 D1 （Ⅱ）求四面體B1-FBC的體積； （Ⅲ）求平面D1EF與平面ABCD所成二面角（銳角）的大?。? （用反三角函數(shù)表示） 6. 如圖，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長為，側(cè)棱長為4.E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點，EF∩BD=G. (Ⅰ)求證：平面B1EF⊥平面BDD1B1； (Ⅱ)求點D1到平面B1EF的距離d； (Ⅲ)求三棱錐B1EFD1的體積V. 7. 正三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長都等于2，D是BC上一點，且AD⊥BC. A1 C D A B1 C1 B ⑴求證：A1B∥平面ADC1; ⑵求截面ADC1與側(cè)面ACC1A1所成的二面角D—AC1—C的大小. 8. 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD。E 是PC上一點， 滿足EC=，又AB=2，PA=4，O是正方形中心。 (1)求證：OE是異面直線PC和BD的公垂線。 (2)求點A到平面PBD的距離。 (3)求二面角B-PC-D的余弦值。 9. 如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90. BC=CC1=a，AC=2a. （Ⅰ）求證：AB1⊥BC1； （Ⅱ）求二面角B－AB1－C的大小； （Ⅲ）求點A1到平面AB1C的距離. 10. 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱底面ABCD，，E是PC的中點. (I)證明 平面； (II)求EB與底面ABCD所成的角的正切值. 11. 在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，點P在棱CC1上，且CC1=4CP. (Ⅰ)求直線AP與平面BCC1B1所成的角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）； B1 P A C D A1 C1 D1 B O H (Ⅱ)設(shè)O點在平面D1AP上的射影是H，求證：D1H⊥AP； (Ⅲ)求點P到平面ABD1的距離. 三.解答題答案: 1. （1）證：連接交于點， 在平行四邊形中， 有，又 ∴為的中位線，從而， 又平面∴直線平面； （2）解：假設(shè)存在點，使平面⊥平面， 過點作于，則平面， 又過作于，則平面， 而過平面外一點有且僅有一條直線與已知平面垂直，故、應(yīng)重合于點，此時應(yīng)有，故， 又點在棱上，故， 顯然矛盾，故不存在這樣的點，使平面⊥平面. （3）解：連接，過作于.由（2）中的作法可知 為二面角平面角， 設(shè)，則， 則可得，， ， ∴.∴ 即點在棱上且. 2. (1)略。 (2)過B作BE⊥AD于E，連接EB1，則∠B1EB是二面角B1-AD-B的角 BD=BC=AB,E是AD的中點, 故∠B1EB=60o. 3. （1）連結(jié)AC交BD于O ∵ABCD是菱形 ∴O是AC的中點又E是PA的中點 ∴OE∥PC， 由已知PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，又OE平面EBD， ∴平面EBD⊥平面ABCD， （2）∵OE∥PC ∴OE∥平面PBC， ∴點E到平面PBC的距離等于點O到平面PBC的距離， 由已知PC⊥平面ABCD，又PC平面PBC， ∴平面PBC⊥平面ABCD，在平面ABCD內(nèi)作OH垂直于BC于H， 則OH垂直于平面PBC.由已知可知△ABC為正三角形， ∴OC=0.5AC=0.5BC=0.5a，∠ACB=∠ABC=60. （3）∵ABCD是菱形 ∴AO⊥BD 又由（1）已證得平面EBD⊥平面ABCD 而平面EBD∩平面ABCD=BD且OA平面ABCD ∴OA⊥平面BDE 作OG⊥BE于G由三垂線定理知AG⊥BE ∴∠AGO為二面角ABED的平面角 4. （1）證明：∵頂點A1在底面ABC1內(nèi)的射影O是△ABC的中心， ∴三棱錐A1為正三棱錐, ∵AA1∥CC1，∴∠A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角， ∴∠A1AB=45，又∵A1A=A1B，∴∠A1AB=∠A1BA=45 ∴△A1AB為等腰直角三角形，即AA1⊥A1B， ∴AA1⊥A1C∩A1C=A ∴AA1⊥面A1BC. （2）連AO并延長交BC于D，則AD⊥BC，連A1D， 則∠ADA1即為二面角A1-BC-A的平面角.由已知可得 5. G B C D E F A1 B1 C1 D1 O A （Ⅰ）連AC交BD于O,連FO，F(xiàn)O//D1D//EA且FO==EA，F(xiàn)OAE為平行四邊形，EF∥AO， AO⊥面D1DBB1,∴EF⊥面D1DBB1, EF∴平面ＥＦＢ1⊥平面D1DBB1． (Ⅱ),高等于O到平面B1BC的距離=, V=． (Ⅲ)延長D1E、DA交于G,連BG為所求二面角的棱, 證∠D1BD為所求二面角的平面角, ， 所求二面角為． 6. 連結(jié)AC.∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，∴AC⊥BD，又AC⊥D1D， 故AC⊥平面BDD1B1. ∵E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，故EF∥AC， ∴EF⊥平面BDD1B1， ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1. 證法二： ∵BE=BF，∠EBD=∠FBD=45，∴EF⊥BD. 又 EF⊥D1D ∴EF⊥平面BDD1B1， ∴平面B1EF⊥平面BDD1B1. （Ⅱ）在對角面BDD1B1中，作D1H⊥B1G，垂足為H. ∵平面B1EF⊥平面BDD1B1，且平面B1EF∩平面BDD1B1=B1G， ∴D1H⊥平面B1EF，且垂足為H，∴點D1到平面B1EF的距離d=D1H. 解法一：在Rt△D1HB1中，D1H=D1B1sin∠D1B1H. ， 解法二： ∵△D1HB1～△B1BG， 解法三：連結(jié)D1G，則三角形D1GB1的面積等于正方形DBB1D1面積的一半， 7. ⑴解：在正三棱柱ABC—A1B1C1中，∵AD⊥BC，∴D是BC的中點。 連A1C交AC1于E，則E是A1C的中點，連ED，則ED為△A1BC的中位線。 ∴ED∥A1B。又ED平面ADC1，∴A1B∥平面ADC。 ⑴過D作DM⊥AC于M，∵正三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)面ACC1A1⊥底面ABC， DM底面ABC，∴DM⊥側(cè)面ACC1A1，作MN⊥AC1于N，連ND，則根據(jù)三垂線定理知：AC1⊥ND，∴AC1⊥面NDM，∴∠DNM即為二面角D—AC1—C的平面角， 在Rt△DMC中，DM=DC 在Rt△ANM中，NM=AM 在Rt△DMN中，tan∠DNM= 即所求二面角的大小為 8. (1)PA⊥平面ABCD ∴PA⊥BD，又AC⊥BD ∴BD⊥平面PAC，OE平面PAC，BD⊥OE，又AB=2，AC=4，PA=4，△PAC為等腰Rt△, ∠PCA=45,OC=2, ∴OE⊥PC,即OE為PC和BD的公垂線。 (2)由（1）BD⊥平面PAC ∴平面PBD⊥平面PAC，交線PO，過A作AF⊥PO，則AF⊥平面PBD，可求得AF=。 (3)可證Rt△PBC≌Rt△PDC,作BG⊥PC于G，連結(jié)DG，則DG⊥PC，∴∠BGD為二面角的平面角，BG=DG=，由余弦定理得cos∠BGD=-。 9. （Ⅰ）證明：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱， ∴CC1⊥平面ABC， ∴AC⊥CC1 ∵AC⊥BC ∴AC⊥平面B1BCC1.∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影. ∵BC=CC1，∴四邊形B1BCC1是正方形，∴BC1⊥B1C. 根據(jù)三垂線定理得，AB1⊥BC1. …………5分 （Ⅱ）解：設(shè)BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于點P，連結(jié)BP. ∵BO⊥AC，且BO⊥B1C，∴BO⊥平面AB1C. ∴OP是BP在平面AB1C上的射影. 根據(jù)三垂線定理得，AB1⊥BP. ∴∠OPB是二面角B－AB1－C的平面角. ……………………………………………8分 ∵△OPB1~△ACB1， ∴，∴. 在Rt△POB中，tan， ∴二面角B－AB1－C的大小為. ……………………………………………10分 （Ⅲ）解：[解法1] ∵A1C1∥AC，A1C1平面AB1C， ∴A1C1∥平面AB1C. ∴點A1到平面AB1C的距離與點C1到平面AB1C的距離相等. ∵BC1⊥平面AB1C， ∴線段C1O的長度為點A1到平面AB1C的距離. ∴點A1到平面AB1C的距離為. ………………………………………12分 [解法2]連結(jié)A1C，有，設(shè)點A1到平面AB1C的距離為h. ∵B1C1⊥平面ACC1A1， ∴， 又，， ∴. ∴點A1到平面AB1C的距離為. 12分 10. (I)證明：連結(jié)AC，AC交BD于O.連結(jié)EO. 底面ABCD是正方形，點O是AC的中點 在中，EO是中位線，. 而平面EDB且平面EDB， 所以，平面EDB. ………………3分 (II) 解：作交DC于F.連結(jié)BF.設(shè)正方形 ABCD的邊長為.底面ABCD， 為DC的中點. 底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內(nèi)的射影，故為直線EB與底面ABCD所成的角. 在中， 在中， 所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為 ……12分 11. （I）連結(jié)BP.∵AB⊥平面BCC1B1， ∴AP與平面BCC1B1所成的角就是∠APB, ∵CC1=4CP,CC1=4，∴CP=I. 在Rt△PBC中，∠PCB為直角，BC=4，CP=1，故BP=. 在Rt△APB中，∠ABP為直角，tan∠APB= ∴∠APB= (2)(3)略 12. （1） （2）略 （3），當(dāng)時，