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1、 高一數(shù)學弧度制人教版 【同步教育信息 】 一 . 本周教學內(nèi)容：弧度制 二 . 重點、難點： 本節(jié)重點是角度制與弧度制的換算。 【典型例題】 [ 例 1] 已知兩個角的差是 1，和是 1 弧度，求這兩個角的度數(shù)和弧度數(shù)。 1 解： 設兩個角分別為 、 ，則 1rad 180 由 1rad 180 ，故 2 又由 1

2、 rad ，故 180 180 2 1 8 0r a d， 180 rad 3 6 0 360 [ 例 2] 試問 9rad 和 10rad 的角的終邊分別在第幾條象限？ 解： 1rad (180 ) 57 18 ，則 57 1rad 58 ， 513 9rad 522

3、即 360 153 9rad 360 162 ，故 9rad 的角的終邊在第二象限 又由 570 10rad 580 即 360 210 10rad 360 220 故 10 弧度的角的終邊在第三象限 [ 例 3] 一個半徑為 R 的扇形，它的周長為 4R ，求這個扇形的弧所對的弦長以其所在弓形的 面積。 解： 設弧長為 L ，則 l 2R 4R ， l 2R 又設弧長所對

4、圓心角為 ，則由 l 2，故 AB 2R sin1 ，故 R 又 S扇OAB l R R 2 ， S OAB 1 OA 2 sin 1 R 2 sin 2 2 1 2 2 故 S弓 S扇 OAB S OAB R 2 R2 sin 2 2 A C B

5、 R O [ 例 4] 扇形的面積一定，問它的中心角 取何值時，扇形的周長 C 最小，這個最小值是多 少？ 解： 設扇形面積為 S， 則 S 1 Rl 1 R2 2S 2 2 2S 2S R

6、 2R R 2R 故 R 2 ，則 C 2R l 2R R 2 R 2 2R 2S 4 S R 2S S 時，周長 C 取最小值，此時 2S 2rad 當且僅當 2R ，即 R R2 R 所以，當扇形中心角為

7、 2rad 時，扇形周長 C 最小，最小值為 4 S [ 例 5] 已知 (0 , ) ，且 7 的終邊與 的終邊關于 y 軸對稱，求 。 2 ) ， k 8 2k 解： 由已知，則 7 2k ( k 又由 0 ，即 0 k 4 8 2 4 8 2 1 k 3 ，故 k 0 或

8、k 1 即 或 3 2 ，又由 k 8 2 8 綜上， 或 3 8 8 [ 例 6] 若 是第三象限，求 的終邊所在的象限，并確定 與 終邊之間的關系。 解： 由 是第三象限角，所以 2k 0 ， 0 ( , ) ， k 3

9、 2 故 0 0 2 則 2( k) 0 2 2 ( ) 終邊關于 y 軸對稱 故 為第四象限角， 由 ，故 與 [ 例 7] 已知 A | 2k , k ， B | (4k 1) , k ，求 A 與 B 之 間有何關系？ 解： 若 B ，則 (

10、 4k 1) 或 (4k 1) ， k Z 當 (4k 1) 時，由 2 (2k ) ，則 A 當 (4k 1) 時，由 2( 2k 1) ，則 A 因此， B A ，若 A ，則 2k ， k Z 當 k 2n ， n Z 時， 2 (2n) ，即 4n ， n Z ，故B 當 k 2n 1 ， n Z 時， 2( 2n 1) ，即 4n

11、 ， n Z 故 B ，因此， A B ，綜上所述， A=B [ 例 8] 已知 A | 2k , k ， B | k , k ，求 A 與 B 3 3 6 2 有何關系？ 解： 若 A ，則 2k ， k 3 6

12、 即 2k 1 或 2k 2 故 B 因此， A B 3 3 2 2 若 B ，則 k ， k 3 2 2n 2 2n 當 k 2n 2， n 時， 3

13、 2 3 6 當 k 2n 1， n 時， 2n 1 2n 3 2 3 6 A 因此， B A 故有， 綜上所述， A=B 或解：把 k 分三種情形， k 3n 或 k 3n 1 ，或 k 3n 2 ，則 A | 2k 6 , k | 2n 6 ,

14、n 3 | 2n , n | 2n 5 , n 6 2 | 2n 7 , n | 3 , k 6 2n 2 n 對 B，把 k 分六種情形， k 6n 2 或 k 6n 1 ，或 k 6n ，或 k 6n

15、 3 ， ，則有： B=A [ 例 9] 已知集合 A | 3k , k ， B | 5k , k, 且 k 10 ，求 4 6 與集合 A B 中角終邊相同的角的集合。 解： 設 A B ，則 A 且 B ，即存在 k1 ， k2 且 k2 10 使得： 3k1 5k2 18k1 20k 2 k1 10 k 2

16、 4 6 9 由 k1 10 ，又 k2 且 k2 10 ，則 k2 0 或 k2 9 或 k 2 9 ，則 k2 9 k1 0 或 k1 10 k1 10 故 0 或 15 15 即 0 k 2 或 9 或 2 k 2 9 k2 2 即 A B 0, 15

17、 , 15 ，所以，與 A B 終邊相同的角的集合為 2 2 | 2k , k | 2k 15 , k 2 | 2k 15 , k 2 [ 例 10] 單位圓周上一點 A（ 1，0）依逆時針方

18、向旋轉(zhuǎn)， 已知點 A 在 1 分針轉(zhuǎn)過 [ (0 , )] ， 經(jīng)過 2 分鐘到達第三象限，第 14 分鐘回到原來的位置，求 。 解： 依題意 2k 2 2k 3 k k 3 ， k 2 4 3 2 由 0 ，則 2 ，又由 14 2n ， n N * 4 故 n 3 即 7 21 則 n 4 或 n

19、5 7 4 n 4 2 2 因此， 4 或 5 7 7 【模擬試題】 一. 選擇題： 1. 鐘表分針長 5cm ，經(jīng)過 20 分鐘，分針端點轉(zhuǎn)過的弧長是（ ） A. 5 cm B. 10cm C. 10 cm D. 10 cm 3

20、 3 3 2. 設 M k , k ， N | ，則集合 M N =（ ） | 2 5 A. , 3 5 10 C. , 3 , 4 , 7 5 10 5 10  B. 7 , 3 , 4 10 5 5 D. 7 , , 3 , 4 10 5 10 5 3. 設扇形周長為定值，當扇形面積取最大值時，該扇形中心角為（ ） rad 。 1 1 C. 2 D. 4

21、 A. B. 4 2 二. 填空題： 1. 設角 的終邊與 2 終邊關于 y 軸對稱且 ( 2 , 2 ) ，則 。 3 2. 已知 A | k k , k ，B | 1 2 ，則 A B 。 4 3. 已知弓形弦長 3cm，它所對圓周角為 ，則

22、此弓形面積為 。 3 三. 解答題： 1. 已知 、 滿足 4 2 ，求 2 的范圍。 3 ， 3 3 3 1 lg 2 2. ABC 中， A ， B ， C 分別對應三邊 a 、b 、c ，且 lg a lg c lg sin B ， 2 B (0 , ) ，試判斷 ABC 的形狀。

23、 2 【試題答案】 一 . 1. D 2. D 3. C 二 . 1. 或 5 3 3 2. | 3 3 | 0 4 4 3 3 3. 4 三. 1.

24、 解：設 m( ) n( ) 2 ，則 (m n) (m n) 2 m n 2 m 1 2 1 2 3 由 ) ) m n 1 3 6 ( ， ( n 2 3 2 2 2 又由 2 1 ( ) 3 ( ) ，故 5 2 6

25、 2 2 6 2. 解：由 lg a lg c 1 lg 2 ， lg a lg 2 2 c 2 即 a 2 ，又由 lg sin B 1 lg 2即 sin B 2 ，又 B (0 , ) c 2 2 2 2 故 B 4 利用余弦定理有： b2 a 2 c2 2ac cos B a 2 ( 2a) 2 2a 2a 2 a 2 2 即 b a ，故 A B ， C 4 2 因此， ABC 是等腰直角三角形。