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第十一章 方差分析,,學(xué)習(xí)要求,基本概念： 指標(biāo)、 因素、 水平、 單因素方差分析、 雙因素方差分析 基本步驟 掌握單因素方差分析的基本方法,單因素試驗(yàn) 的方差分析,在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科研活動中，我們經(jīng)常遇到這樣的問題：影響產(chǎn)品產(chǎn)量、質(zhì)量的因素很多，例如影響農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量有品種、施肥種類、施肥量等許多因素。我們要了解這些因素中哪些因素對產(chǎn)量有顯著影響，就要先做試驗(yàn)，然后對測試結(jié)果進(jìn)行分析，作出判斷。方差分析就是分析測試結(jié)果的一種方法。,引 言,基 本 概 念,試驗(yàn)指標(biāo)——試驗(yàn)結(jié)果。,可控因素——在影響試驗(yàn)結(jié)果的眾多因素中，可人為 控制的因素。,水平——可控因素所處的各種各種不同的狀態(tài)。每個 水平又稱為試驗(yàn)的一個處理。,單因素試驗(yàn)——如果在一項(xiàng)試驗(yàn)中只有一個因素改變， 其它的可控因素不變，則該類試驗(yàn)稱為 單因素試驗(yàn)。,引例,例1 （燈絲的配料方案優(yōu)選）某燈泡廠用四種配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，在每批燈泡中作隨機(jī)抽樣，測量其使用壽命（單位：小時），數(shù)據(jù)如下：,,,燈泡的使用壽命——試驗(yàn)指標(biāo),燈絲的配料方案——試驗(yàn)因素（唯一的一個）,四種配料方案（甲乙丙?。膫€水平,因此，本例是一個四水平的單因素試驗(yàn)。,引 例,用X1，X2，X3，X4分別表示四種燈泡的使用壽命，即為 四個總體。假設(shè)X1，X2，X3，X4相互獨(dú)立，且服從方差 相同的正態(tài)分布，即Xi~N（?i，?2）（i=1，2，3，4）,本例問題歸結(jié)為檢驗(yàn)假設(shè) H0：?1= ?2= ?3= ?4 是否成立,我們的目的是通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)來判斷因素 A 的不同水平對試驗(yàn)指標(biāo)是否有影響。,設(shè) A 表示欲考察的因素，它的 個不同水平，對應(yīng)的指標(biāo)視作 個總體 每個水平下,我們作若干次重復(fù)試驗(yàn)： （可等重復(fù)也可不等重復(fù)），同一水平的 個結(jié)果，就是這個總體 的一個樣本：,單因素試驗(yàn)的方差分析,單因素試驗(yàn)資料表,縱向個體間的差異稱為隨機(jī)誤差（組內(nèi)差異），由試驗(yàn)造成；橫向個體間的差異稱為系統(tǒng)誤差（組間差異），由因素的不同水平造成。,單因素試驗(yàn)的方差分析的數(shù)學(xué)模型,具有方差齊性。,相互獨(dú)立，從而各子樣也相互獨(dú)立。,首先，我們作如下假設(shè)：,檢驗(yàn)假設(shè)：,考察統(tǒng)計量,經(jīng)恒等變形，可分解為：,其中,反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。,,如果H0 成立，則SSA 較小。,總離差平方和,反映的是重復(fù)試驗(yàn)種隨機(jī)誤差的大小。,由272頁4可得：,將 的自由度分別記作,則,（記 ，稱作均方和）,則,（記 ，稱作均方和）,對給定的檢驗(yàn)水平 ，由,得H0 的拒絕域?yàn)椋?F 單側(cè)檢驗(yàn),,結(jié)論：方差分析實(shí)質(zhì)上是假設(shè)檢驗(yàn)，從分析離差平方和入手，找到F統(tǒng)計量，對同方差的多個正態(tài)總體的均值是否相等進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。單因素試驗(yàn)中兩個水平的均值檢驗(yàn)可用第九章的雙樣本均值檢驗(yàn)法。,思考：為什么此處只做單側(cè)檢驗(yàn)？,（1）若 ，則稱因素的差異極顯著（極有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響高度顯著，這時作標(biāo)記 ；,約 定,（2）若 ，則稱因素的差異顯著（差異 有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響顯著，作標(biāo)記 ；,（3）若 ，則稱因素A有一定影響，作標(biāo)記（ ）；,（4）若 ，則稱因素A無顯著影響（差異無統(tǒng)計意義）。,注意：在方差分析表中，習(xí)慣于作如下規(guī)定：,簡便計算公式：,其中,同一水平下觀測值 之和,所以觀測 值之和,方差分析步驟,,【例】為了對幾個行業(yè)的服務(wù)質(zhì)量進(jìn)行評價，消費(fèi)者協(xié)會在四個行業(yè)分別抽取了不同的企業(yè)作為樣本。最近一年中消費(fèi)者對總共23家企業(yè)投訴的次數(shù)如下表,分析四個行業(yè)之間的服務(wù)質(zhì)量是否有顯著差異，作出這種判斷需要檢驗(yàn)這四個行業(yè)被投訴次數(shù)的均值是否相等 如果它們的均值相等，就意味著“行業(yè)”對投訴次數(shù)是沒有影響的，即它們之間的服務(wù)質(zhì)量沒有顯著差異； 如果均值不全相等，則意味著“行業(yè)”對投訴次數(shù)是有影響的，它們之間的服務(wù)質(zhì)量有顯著差異,分析步驟 提出假設(shè) 構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計量 統(tǒng)計決策,提出假設(shè),一般提法 H0: m1 = m2 =…= mk H1: m1 ，m2 ，… ，mk不全相等 注意：拒絕原假設(shè)，只表明至少有兩個總體的均值不相等，并不意味著所有的均值都不相等,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計量,構(gòu)造統(tǒng)計量需要計算 水平的均值 全部觀察值的總均值 誤差平方和 均方(MS),構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計量 (計算水平的均值),假定從第i個總體中抽取一個容量為ni的簡單隨機(jī)樣本，第i個總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個數(shù) 計算公式為,式中： ni為第 i 個總體的樣本觀察值個數(shù) xij 為第 i 個總體的第 j 個觀察值,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計量 (計算全部觀察值的總均值),全部觀察值的總和除以觀察值的總個數(shù) 計算公式為,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計量 (例題分析),構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計量 (計算總誤差平方和 SST),全部觀察值 與總平均值 的離差平方和 反映全部觀察值的離散狀況 其計算公式為,前例的計算結(jié)果： SST = (57-47.869565)2+…+(58-47.869565)2 =115.9295,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計量 (計算水平項(xiàng)平方和 SSA),各組平均值 與總平均值 的離差平方和 反映各總體的樣本均值之間的差異程度，又稱組間平方和 該平方和既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差 計算公式為,前例的計算結(jié)果：SSA = 1456.608696,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計量 (計算誤差項(xiàng)平方和 SSE),每個水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和 反映每個樣本各觀察值的離散狀況，又稱組內(nèi)平方和 該平方和反映的是隨機(jī)誤差的大小 計算公式為,前例的計算結(jié)果：SSE = 2708,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計量 (三個平方和的關(guān)系),?總離差平方和(SST)、誤差項(xiàng)離差平方和(SSE)、水平項(xiàng)離差平方和 (SSA) 之間的關(guān)系,SST = SSA + SSE,,,,前例的計算結(jié)果： 4164.608696=1456.608696+2708,構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計量 (F分布與拒絕域),統(tǒng)計決策,? 將統(tǒng)計量的值F與給定的顯著性水平?的臨界值F?進(jìn)行比較，作出對原假設(shè)H0的決策 根據(jù)給定的顯著性水平?，在F分布表中查找與第一自由度df1＝k-1、第二自由度df2=n-k 相應(yīng)的臨界值 F? 若FF? ，則拒絕原假設(shè)H0 ，表明均值之間的差異是顯著的，所檢驗(yàn)的因素對觀察值有顯著影響 若FF? ，則不拒絕原假設(shè)H0 ，不能認(rèn)為所檢驗(yàn)的因素對觀察值有顯著影響,單因素方差分析表 (基本結(jié)構(gòu)),單因素方差分析 (例題分析),觀察值之間的差異來自兩個方面：,某因素不同水平的影響 （系統(tǒng)性影響）,其他隨機(jī)因素的影響 （隨機(jī)性影響）,水平間方差 （組間方差）,水平內(nèi)方差 （組內(nèi)方差）,,,,進(jìn)一步的理解：,如果原假設(shè)成立：說明某因素不同水平的影響不顯著（無系統(tǒng)性影響），只剩下隨機(jī)性影響，因此組間方差與組內(nèi)方差差別不大，它們的比接近于1。 如果原假設(shè)不成立：說明某因素不同水平的影響顯著（存在系統(tǒng)性影響），組間方差與組內(nèi)方差差別較大，它們的比遠(yuǎn)超出1。,用Excel進(jìn)行方差分析,用Excel進(jìn)行方差分析,第1步：選擇“工具”下拉菜單 第2步：選擇“數(shù)據(jù)分析”選項(xiàng) 第3步：在分析工具中選擇“單因素方差分析” ，然后選擇“確定” 第4步：當(dāng)對話框出現(xiàn)時 在“輸入?yún)^(qū)域”方框內(nèi)鍵入數(shù)據(jù)單元格區(qū)域 在?方框內(nèi)鍵入0.05（可根據(jù)需要確定） 在“輸出選項(xiàng)”中選擇輸出區(qū)域,補(bǔ)充概念：雙因素方差分析 (two-way analysis of variance),分析兩個因素(行因素Row和列因素Column)對試驗(yàn)結(jié)果的影響 如果兩個因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響是相互獨(dú)立的，分別判斷行因素和列因素對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響，這時的雙因素方差分析稱為無交互作用的雙因素方差分析或無重復(fù)雙因素方差分析(Two-factor without replication) 如果除了行因素和列因素對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的單獨(dú)影響外，兩個因素的搭配還會對結(jié)果產(chǎn)生一種新的影響，這時的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析或可重復(fù)雙因素方差分析 (Two-factor with replication ),