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2019-2020年高三8月月考 數(shù)學(xué)理試題 考試時(shí)間：120分鐘． 第Ⅰ卷（選擇題，共60分） 一、選擇題：本題共12題，每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1.已知函數(shù)連續(xù)，則常數(shù)的值是（ ） Ａ.２　　 Ｂ.３　　 ?。?４　　 　Ｄ.５w.w.w.k.s.5.u.c.o. 2．物體運(yùn)動(dòng)的方程為，則當(dāng)?shù)乃矔r(shí)速度為 （ ） A．5 B. 25 C. 125 D. 625 3．隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布X～，且則等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4. 已知，則 （ ） A． 　　 B． C．或 D．不存在 5．從甲袋中摸出1個(gè)紅球的概率為，從乙袋中摸出1個(gè)紅球的概率為，從兩袋中各摸出一個(gè)球，則等于 ( ) Ａ.　2個(gè)球都不是紅球的概率 Ｂ.　2個(gè)球都是紅球的概率 C.　至少有1個(gè)紅球的概率 　 D.　2個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率 6．設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若（為虛數(shù)單位）則的值為 （ ） A． B． C． D． 7．展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為 （ ） A. 240 B.120 C. 60 D. 15 8.下列四個(gè)命題中，不正確 的是 （ ） A．若函數(shù)在處連續(xù)，則 B．函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)是和 C．若函數(shù)，滿足，則 D． 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，在第二步證明從n＝k到n＝k＋1成立時(shí)，左邊增加了的項(xiàng)數(shù)是 （ ） A． B． C． D． 10．世博會(huì)期間，某班有四名學(xué)生參加了志愿工作.將這四名學(xué)生分配到、、 三個(gè)不同的展館服務(wù)，每個(gè)展館至少分配一人.若甲要求不到館，則不同的分配方案有 （ ） A.種 B. 種 C. 種 D. 種 11.在各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列中，，則 （ ） A. 2 B. 8 C. 16 D. 32 12.已知,則的值為（ ）。 A. B. C. D.不存在 第Ⅱ卷（非選擇題，共90分） 二、填空題：本大題共4題，每題5分，共20分． 13．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（0, ），若P（ξ>2）=0.023，則P（-2ξ2） = 。 14．三棱錐A－BCD的側(cè)棱兩兩相等且相互垂直，若外接球的表面積s＝8π，則側(cè)棱的長(zhǎng)＝_________________。 15．某學(xué)院的A，B，C三個(gè)專業(yè)共有1200名學(xué)生，為了調(diào)查這些學(xué)生勤工儉學(xué)的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為120的樣本。已知該學(xué)院的A專業(yè)有380名學(xué)生，B專業(yè)有420名學(xué)生，則在該學(xué)院的C專業(yè)應(yīng)抽取____名學(xué)生。 16．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是 。 三、解答題：本大題共6題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 17、（本小題滿分10分）（請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上答題） （1）求的展開(kāi)式中的第3項(xiàng)的系數(shù). (2) 求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng). 18、（本小題滿分12分）（請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上答題） 甲、乙、丙三人分別獨(dú)立的進(jìn)行某項(xiàng)技能測(cè)試，已知甲能通過(guò)測(cè)試的概率是，甲、乙、丙三人都能通過(guò)測(cè)試的概率是，甲、乙、丙三人都不能通過(guò)測(cè)試的概率是，且乙通過(guò)測(cè)試的概率比丙大. （Ⅰ）求乙、丙兩人各自通過(guò)測(cè)試的概率分別是多少； （Ⅱ）求測(cè)試結(jié)束后通過(guò)的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 19、（本小題滿分12分）（請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上答題） B C D A 如圖，已知在直四棱柱中，，19、（本小題滿分12分）（請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上答題） 如圖，已知在直四棱柱中，， ，． （I）求證：平面； （II）求二面角的余弦值． 20、（本小題滿分12分）（請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上答題） 某公司生產(chǎn)陶瓷，根據(jù)歷年的情況可知，生產(chǎn)陶瓷每天的固定成本為14000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加210元．已知該產(chǎn)品的日銷售量與產(chǎn)量之間的關(guān)系式為 ，每件產(chǎn)品的售價(jià)與產(chǎn)量之間的關(guān)系式為 ． （Ⅰ）寫(xiě)出該陶瓷廠的日銷售利潤(rùn)與產(chǎn)量之間的關(guān)系式； （Ⅱ）若要使得日銷售利潤(rùn)最大，每天該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，并求出最大利潤(rùn)． 21．（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)． D E F B C P A ⑴求異面直線PD與AE所成角的大小； ⑵求證：EF⊥平面PBC ； ⑶求二面角F—PC—B的大?。? 22．（本題滿分12分）設(shè)函數(shù) （a、b、c、d∈R）滿足：對(duì)任意 都有，， （1）的解析式； （2）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)處的切線不可能互相垂直； （3）設(shè) ，證明：時(shí)， 桂林中學(xué)xx高三8月月考(數(shù)學(xué)理科)答案 一、選擇題 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D A C A B C A C B B 二、填空題 13. 0.954 14. 15. 40 16. 三、解答題： １８.甲、乙、丙三人分別獨(dú)立的進(jìn)行某項(xiàng)技能測(cè)試，已知甲能通過(guò)測(cè)試的概率是，甲、乙、丙三人都能通過(guò)測(cè)試的概率是，甲、乙、丙三人都不能通過(guò)測(cè)試的概率是，且乙通過(guò)測(cè)試的概率比丙大. （Ⅰ）求乙、丙兩人各自通過(guò)測(cè)試的概率分別是多少； （Ⅱ）求測(cè)試結(jié)束后通過(guò)的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望. 解（Ⅰ）設(shè)乙、丙兩人各自通過(guò)測(cè)試的概率分別是、依題意得： 即 或 （舍去）┅┅┅┅┅┅┅4分 所以乙、丙兩人各自通過(guò)測(cè)試的概率分別是、. ┅┅┅┅┅┅┅6分 （Ⅱ）因?yàn)? 所以= ┅┅┅┅┅┅┅12分 １９． （本題滿分12分） 如圖，已知在直四棱柱中，， ，． （I）求證：平面； （II）求二面角的余弦值． １９． 解法一：（I）設(shè)是的中點(diǎn)，連結(jié)，則四邊形為正方形， ．故，，，，即．……….. 2分 E B C D A F M H ……..3分平面， …….5分 （II）由（I）知平面， 又平面，， 取的中點(diǎn), 連結(jié)，又，則． 取的中點(diǎn)，連結(jié)，則,. 為二面角的平面角． ………8分 連結(jié)，在中，，， 取的中點(diǎn)，連結(jié)，， 在中，，，． ………..10分 ． 二面角的余弦值為． …..12分 解法二：（I）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，,. ……….. 2分 ，, ………..3分 z y x B C D A 又因?yàn)?所以，平面. ……..5分 （II）設(shè)為平面的一個(gè)法向量． 由，， 得 取，則． ……….7分 又，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量， 由，，得取，則，…….9分 設(shè)與的夾角為，二面角為，顯然為銳角， , ………..12分 ２０、18本小題14分） 請(qǐng)?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無(wú)效 請(qǐng)?jiān)诟黝}目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無(wú)效 .某公司生產(chǎn)陶瓷，根據(jù)歷年的情況可知，生產(chǎn)陶瓷每天的固定成本為14000元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，成本增加210元．已知該產(chǎn)品的日銷售量與產(chǎn)量之間的關(guān)系式為 ，每件產(chǎn)品的售價(jià)與產(chǎn)量之間的關(guān)系式為 ． （Ⅰ）寫(xiě)出該陶瓷廠的日銷售利潤(rùn)與產(chǎn)量之間的關(guān)系式； （Ⅱ）若要使得日銷售利潤(rùn)最大，每天該生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，并求出最大利潤(rùn)． ２０. 解：(Ⅰ)總成本為．1分 所以日銷售利潤(rùn) (Ⅱ)①當(dāng)時(shí)， ． 令，解得或．……７分 于是在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在時(shí)取到最大值，且最大值為30000；……９分 ②當(dāng)時(shí)，． 綜上所述，若要使得日銷售利潤(rùn)最大，每天該生產(chǎn)400件產(chǎn)品，其最大利潤(rùn)為30000元． D F B C P A 21．（本小題滿分12分） （Ⅰ）連結(jié)BD ∵PD⊥平面ABCD， ∴平面PDB⊥平面ABCD， 過(guò)點(diǎn)E作EO⊥BD于O，連結(jié)AO. 則EO∥PD，且EO⊥平面ABCD .∴∠AEO為異面直線PD，AE所成的角…………3分 ∵E是PB的中點(diǎn)，則O是BD的中點(diǎn)，且EO=PD=1. 在Rt△EOA中，AO=， . 即異面直線PD與AE所成角的大小為 …………………………… 4分 （Ⅱ）連結(jié)FO， ∵F是AD的中點(diǎn)， ∴OF⊥AD.∵EO⊥平面ABCD， 由三垂線定理，得EF⊥AD.又∵AD∥BC，∴EF⊥BC. ………………… 6分 連結(jié)FB.可求得FB = PF =則EF⊥PB.又∵PB∩BC = B，∴EF⊥平面PBC. …………………8分 （Ⅲ）取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G.則EG是FG在平面PBC內(nèi)的射影 ∵PD⊥平面ABCD， ∴PD⊥BC又DC⊥BC，且PD∩DC = D， ∴BC⊥平面PDC，∴BC⊥PC，∵EG∥BC，則EG⊥PC∴FG⊥PC ∴∠FGE是二面角F—PC—B的平面角 ………………………………………10分 在Rt△FEG中，EG=BC = 1，GF = ， ∴二面角F—PC—B的大小為…12分 說(shuō)明：如學(xué)生用向量法解題，則建立坐標(biāo)系給寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)給2分，第（1）問(wèn)正確給2分，第（2）問(wèn)正確給4分，第（3）問(wèn)正確給4分。 22．解：（I）因?yàn)?，成立，所以：? 由： ，得 ， 由：，得 解之得： 從而，函數(shù)解析式為：…………4分 （2）由于，，設(shè)：任意兩數(shù) 是函數(shù)圖像上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則這兩點(diǎn)的切線的斜率分別是： 又因?yàn)椋?，所以，，得：知? 故，當(dāng) 是函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)的切線不可能垂直…………9分 （3）當(dāng)： 時(shí)， 且 此時(shí) 當(dāng)且僅當(dāng)：即，取等號(hào)，故：…………12分