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2019年高考數(shù)學一輪復習 第八章 平面解析幾何 課時分層作業(yè) 四十八 8.4 直線與圓、圓與圓的位置關系 文 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.若過點A(4,0)的直線l與曲線(x-2)2+y2=1有公共點,則直線l的斜率的取值范圍為 (　　) A.(-,) B.[-,] C. D. 【解析】選D.設直線l方程為y=k(x-4),則由題意知,≤1,所以-≤k≤. 2.設圓M的方程為(x-3)2+(y-2)2=2,直線L的方程為x+y-3=0,點P的坐標為(2,1),那么 (　　) A.點P在直線L上,但不在圓M上 B.點P在圓M上,但不在直線L上 C.點P既在圓M上,又在直線L上 D.點P既不在圓M上,也不在直線L上 【解析】選C.因為把點P的坐標代入直線L方程,得2+1-3=0,所以點P在直線上,把點P的坐標代入圓M的方程,得(2-3)2+(1-2)2=2,,所以點P在圓M上.所以點P既在圓M上,又在直線L上. 【變式備選】直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關系為 (　　) A.相切 B.相交但直線不過圓心 C.直線過圓心 D.相離 【解析】選B.圓心為(0,0),到直線y=x+1即x-y+1=0的距離d==,而0<<1,但是圓心不在直線y=x+1上,所以直線與圓相交,但直線不過圓心. 3.已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,則實數(shù)a的值是 (　　) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 【解析】選B.因為圓心(-1,1)到直線x+y+2=0的距離為=,又截得的弦長為4,所以圓的半徑為r==,所以2-a=6,所以a=-4. 【變式備選】設A,B為直線y=x與圓x2+y2=1的兩個交點,則|AB|= (　　) A.1 B. C. D.2 【解析】選D.直線y=x過圓x2+y2=1的圓心C(0,0),則|AB|=2. 4.已知圓C的半徑為2,圓心在x軸的正半軸上,直線3x+4y+4=0與圓C相切,則圓C的方程為 (　　) A.x2+y2-2x-3=0 B.x2+y2+4x=0 C.x2+y2+2x-3=0 D.x2+y2-4x=0 【解析】選D.由已知可設圓心為(a,0)(a>0),因為直線3x+4y+4=0與圓C相切,所以=2,解得a=2,所以圓的方程為(x-2)2+y2=4,即x2+y2-4x=0. 【變式備選】直線l:y=kx+1與圓O:x2+y2=1相交于A,B兩點,則“k=1”是“△OAB的面積為”的 (　　) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【解析】選A.如圖, 當k=1時,△OAB的面積為,但是當k=-1時,△OAB的面積也為,所以“k=1”是“△OAB的面積為”的充分不必要條件. 5.直線l與圓x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B兩點,若弦AB的中點為(-2,3),則直線l的方程為 (　　) A.x+y-3=0 B.x+y-1=0 C.x-y+5=0 D.x-y-5=0 【解析】選C.設直線的斜率為k,又弦AB的中點為(-2,3),所以直線l的方程為kx-y+2k+3=0,由x2+y2+2x-4y+a=0得圓的圓心坐標為(-1,2),所以圓心到直線的距離為,所以=,解得k=1,所以直線l的方程為x-y+5=0. 【變式備選】過點(-4,0)作直線l與圓x2+y2+2x-4y-20=0交于A,B兩點,若|AB|=8,則直線l的方程為 (　　) A.5x+12y+20=0 B.5x+12y+20=0或x+4=0 C.5x-12y+20=0 D.5x-12y+20=0或x+4=0 【解析】選B.圓的標準方程為(x+1)2+(y-2)2=25, 由|AB|=8知,圓心(-1,2)到直線l的距離d=3. 當直線l的斜率不存在,即直線l的方程為x=-4時,符合題意.當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x+4),即kx-y+4k=0,則有=3,所以k=-.此時直線l的方程為5x+12y+20=0. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.已知AC,BD為圓O:x2+y2=4的兩條相互垂直的弦,垂足為M(1,),則四邊形ABCD的面積的最大值為________. 【解析】設圓心O到AC,BD的距離分別為d1,d2,則+=OM2=3. 四邊形ABCD的面積是S = |AC||BD| = 2≤8-(+)=5. 答案:5 7.直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長度相等的四段弧,則a2+b2=________. 【解析】由題設可知圓心到直線的距離為==,所以a2+b2=2. 答案:2 8.過原點O作圓x2+y2-6x-8y+20=0的兩條切線,設切點分別為P,Q,則線段PQ的長為________. 【解析】由已知得圓的方程是(x-3)2+(y-4)2=5,如圖, 又由圓的切線性質(zhì)得|CP|=,|CO|=5, 得|PO|=2,因為PQ⊥CO, 所以|PA||OC|=|CP||OP|,所以|PA|=2,所以|PQ|=4. 答案:4 【變式備選】直線l1和l2是圓x2+y2=2的兩條切線.若l1與l2的交點為(1,3),則l1與l2的夾角的正切值等于________. 【解析】如圖, 設A,B是切點,所以l1與l2的夾角的正切值為tan 2∠APO===. 答案: 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.已知點A(1,a),圓x2+y2=4. (1)若過點A的圓的切線只有一條,求a的值及切線方程. (2)若過點A且在兩坐標軸上截距相等的直線被圓截得的弦長為2,求a的值. 【解析】(1)由于過點A的圓的切線只有一條, 則點A在圓上,故12+a2=4,所以a=. 當a=時,A(1,),易知所求切線方程為x+y-4=0; 當a=-時,A(1,-),易知所求切線方程為x-y-4=0. (2)設過點A的直線方程為x+y=b,則1+a=b,即a=b-1, 又圓心(0,0)到直線x+y=b的距離d=, 所以+=4,則b=, 因此a=b-1=-1. 10.已知定點M(0,2),N(-2,0),直線l:kx-y-2k+2=0(k為常數(shù)). (1)若點M,N到直線l的距離相等,求實數(shù)k的值. (2)對于l上任意一點P,∠MPN恒為銳角或零角,求實數(shù)k的取值范圍. 【解析】(1)因為點M,N到直線l的距離相等, 所以l∥MN或l過MN的中點. 因為M(0,2),N(-2,0),所以直線MN的斜率kMN=1, MN的中點坐標為C(-1,1).又因為直線l:kx-y-2k+2=0過定點D(2,2), 所以當l∥MN時,k=kMN=1;l過MN的中點時, k=. 綜上可知,k的值為1或. (2)因為對于l上任意一點P,∠MPN恒為銳角, 所以l與以MN為直徑的圓相離,即圓心(-1,1)到直線l的距離大于半徑, 所以d=>,解得k<-或k>1. 1.(5分)在平面直角坐標系xOy中,直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=4相交于A,B兩點,則弦AB的長等于 (　　) A.3 B.2 C. D.1 【解析】選B.圓心(0,0)到直線3x+4y-5=0的距離為d==1,所以弦AB的長等于2=2. 【變式備選】過原點且傾斜角為60的直線被圓x2+y2-4y=0所截得的弦長為 (　　) A. B.2 C. D.2 【解析】選D. x2+y2-4y=0,即x2+(y-2)2=4, 所以A(0,2),OA=2,A到直線ON的距離是1, 所以ON=,所以弦長為2. 2.(5分)若圓(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上有且僅有兩個點到直線4x-3y-2=0的距離為1,則半徑長r的取值范圍是 (　　) A.(4,6) B.[4,6) C.(4,6] D.[4,6] 【解析】選A.因為圓心(3,-5)到直線的距離為d==5,所以滿足題意的半徑r的取值范圍是(4,6). 3.(5分)在圓x2+y2-2x-6y=0內(nèi),過點E(0,1)的最長弦和最短弦分別是AC和BD,則四邊形ABCD的面積為 (　　) A.5 B.10 C.15 D.20 【解析】選B.圓x2+y2-2x-6y=0的圓心為M(1,3),半徑為,因為過點E(0,1)的最長弦AC為圓的直徑,所以|AC|=2,最短的弦BD垂直于AC,且E為BD的中點,如圖, |ME|=,|MB|=,所以|BE|=,所以弦長|BD|=2,所以四邊形ABCD的面積為|AC||BD|=22=10. 【變式備選】已知圓M:(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1,直線l:y=kx,下面四個命題: ①對任意實數(shù)k與θ,直線l和圓M相切; ②對任意實數(shù)k與θ,直線l和圓M有公共點; ③對任意實數(shù)θ,必存在實數(shù)k,使得直線l與圓M相切; ④對任意實數(shù)k,必存在實數(shù)θ,使得直線l與圓M相切. 其中真命題的序號是________________. 【解析】圓心坐標為(-cos θ,sin θ),d== =|sin(θ+φ)|≤1.②④正確. 答案:②④ 4.(12分)已知半徑為5的動圓C的圓心在直線l:x-y+10=0上. (1)若動圓C過點(-5,0),求圓C的方程. (2)是否存在正實數(shù)r,使得動圓C滿足與圓O:x2+y2=r2相外切的圓有且僅有一個?若存在,請求出r;若不存在,請說明理由. 【解析】(1)依題意可設動圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=25,其中(a,b)滿足a-b+10=0. 又因為動圓C過點(-5,0),故(-5-a)2+(0-b)2=25. 解方程組 得或 故所求圓C的方程為(x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25. (2)圓O的圓心(0,0)到直線l的距離d==5. 當r滿足r+5d,即r>5-5時,與圓O:x2+y2=r2相外切的圓有兩個. 綜上,當r=5-5時,動圓C中滿足與圓O:x2+y2=r2相外切的圓有且僅有一個. 5.(13分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,點A(0,3),直線l:y=2x-4,設圓C的半徑為1,圓心在l上. (1)若圓心C也在直線y=x-1上,過點A作圓C的切線,求切線的方程. (2)若圓C上存在點M,使|MA|=2|MO|,求圓心C的橫坐標a的取值范圍. 【解析】(1)由 得圓心C為(3,2),因為圓C的半徑為 1,所以圓C的方程為:(x-3)2+(y-2)2=1, 顯然切線的斜率一定存在,設所求圓C的切線方程為y=kx+3,即kx-y+3=0, 所以=1,所以|3k+1|=,所以2k(4k+3)=0,所以k=0或k=-, 所以所求圓C的切線方程為:y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0. (2)因為圓C的圓心在直線l:y=2x-4上,所以,設圓心C為(a,2a-4) , 則圓C的方程為:(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1, 又因為|MA|=2|MO|,所以設M為(x,y),則=2,整理得:x2+(y+1)2=4,設為圓D, 所以點M應該既在圓C上又在圓D上,即:圓C和圓D有交點, 所以|2-1|≤≤|2+1|, 由5a2-12a+8≥0得a∈R, 由5a2-12a≤0得0≤a≤, 綜上所述,a的取值范圍為.