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1、4.2 單 位 圓 與 周 期 性 4.3單 位 圓 與 正 弦 函 數(shù) 、 余 弦 函 數(shù) 的 基 本 性 質 (1,0)O PM xy 前 面 我 們 學 習 了 周 期現(xiàn) 象 ， 角 的 一 邊 可 以 繞 角的 頂 點 旋 轉 ， 得 到 了 終 邊相 同 的 角 ， 如 圖 所 示 ， 今天 我 們 學 習 正 弦 函 數(shù) 、 余弦 函 數(shù) 的 周 期 性 及 性 質 . 觀 察 右 圖 ， 在 單 位 圓 中 ， 由 任 意 角的 正 弦 函 數(shù) 、 余 弦 函 數(shù) 定 義 不 難 得 到 下列 事 實 ： 終 邊 相 同 的 角 的 正 弦 函 數(shù) 值 相等 ， 即 ；終 邊 相

2、 同 的 角 的 余 弦 函 數(shù) 值 相 等 ，即 .sin(x 2k ) sin x,k Z cos(x 2k ) cosx,k Z 探 究 點 1 周 期 函 數(shù) 把 這 種 隨 自 變 量 的 變 化 呈 周 期 性 變 化 的 函 數(shù) 叫 作周 期 函 數(shù) . 正 弦 函 數(shù) 、 余 弦 函 數(shù) 是 周 期 函 數(shù) ， 稱 為 正 弦 函 數(shù) 、 余 弦 函 數(shù) 的 周 期 . 例 如 ， 等 都 是 它 們 的 周 期 .其中 是 正 弦 函 數(shù) 、 余 弦 函 數(shù) 正 周 期 中 最 小 的 一個 ， 稱 為 最 小 正 周 期 . 2k (k Z,k 0) 4 , 2 ,2 ,4

3、 2 一 般 地 ， 對 于 函 數(shù) f(x)， 如 果 存 在 非 零 實 數(shù) T ，對 定 義 域 內 的 任 意 一 個 x值 ， 都 有f(x+T)=f(x), 我 們 就 把 f(x)稱 為 周 期 函 數(shù) ， T稱 為 這 個 函 數(shù) 的 周期 .說 明 ： 若 不 加 特 別 說 明 ， 本 書 所 指 周 期 均 為 函 數(shù) 的最 小 正 周 期 . 特 別 提 醒 ： 1.T是 非 零 常 數(shù) . 2.任 意 x D都 有 x+T D,T 0， 可 見 函 數(shù) 的 定 義 域無 界 是 成 為 周 期 函 數(shù) 的 必 要 條 件 . 3.任 取 x D， 就 是 取 遍 D

4、中 的 每 一 個 x， 可 見 周 期性 是 函 數(shù) 在 定 義 域 上 的 整 體 性 質 .理 解 定 義 時 ， 要 抓住 每 一 個 x都 滿 足 f(x+T)=f(x)成 立 才 行 . 4.周 期 也 可 推 進 ， 若 T是 f(x)的 周 期 ， 那 么 2T也 是y=f(x)的 周 期 . 1.函 數(shù) f(x)=c(c為 常 數(shù) ) , x R， 問 函 數(shù) f(x)是 不 是 周 期 函 數(shù) ， 若 是 ， 有 無 最 小 正 周 期 .答 :是 ， 無 最 小 正 周 期 .2.等 式 sin(30 +120 )=sin30 是 否 成 立 ？ 如果 成 立 ， 能 否

5、 說 明 120 是 正 弦 函 數(shù) y=sinx,x R的 一 個 周 期 ？ 為 什 么 ？答 :成 立 ， 不 能 說 明 ， 因 為 不 符 合 定 義 中 的 每一 個 x.思 考 例 求 下 列 三 角 函 數(shù) 值 ： （ 1） （ 2）49cos )611sin( 解 ： （ 1） 224cos)24cos(49cos 練 習 求 下 列 三 角 函 數(shù) 值 319sin )431cos( 23 22216sin)26sin()611sin( （ 2） 探 究 點 2： 正 弦 函 數(shù) y=sin x、 余 弦 函 數(shù) y=cos x的 基 本 性 質 ：由 上 節(jié) 點 學 習

6、知 道 ： 定 義 域 為 全 體 實 數(shù) R（ 1） 定 義 域 (1,0)OP(cos x,sin x) xM xy（ 2） 值 域 、 最 大 （ 小 ） 值觀 察 下 圖 ， 設 任 意 角 x的 終 邊 與 單 位 圓 交 于 點P(cos x,sin x)，當 自 變 量 x變 化 時 ， 點 P的 橫 坐標 是 cos x， |cos x| 1， 縱坐 標 是 sin x,|sin x| 1這 說 明 ， 正 弦 函 數(shù) 、 余 弦 函 數(shù) 的 值 域 為 -1,1 x - 2k k Z 12 當 （ ） 時 ， 正 弦 函 數(shù) 取 得 最 小 值 .x 2k k Z 12 當

7、（ ） 時 ， 正 弦 函 數(shù) y=sin x取 得 最 大 值 ；x 2k k Z cos 1 當 （ ） 時 ， 余 弦 函 數(shù) y= x取 得 最 大 值 ；x (2k 1) k Z 1 當 （ ） 時 ， 正 弦 函 數(shù) 取 得 最 小 值 . (4)單 調 性觀 察 右 圖 ， 在 單 位 圓 中 ， 設 任意 角 x的 終 邊 與 單 位 圓 交 于 點P(cos x,sin x)， 因 此 ， 正 弦 函 數(shù) 在 區(qū) 間 上 是 增 加 的 ， 在 區(qū)間 上 是 減 少 的 . 2,2 23,2 思 考 ： 在 單 位 圓 中 余 弦 函 數(shù) 的 單 調 性 又 是 如 何呢 ？

8、 例 1.寫 出 下 列 函 數(shù) 取 最 大 值 、 最 小 值 時 的 自 變 量 x的 集 合 ， 并 說 出 最 大 值 、 最 小 值 分 別 是 什 么 .(1)y cosx 1,x R. (2)y 3sinx,x R.解 ： (1)因 為 y=cos x+1， x R的 最 大 值 、 最 小 值 由y=cosx決 定 ， 所 以 使 函 數(shù) 取 得 最 大值 的 的 集 合 為 y cosx 1,x Rx x x 2k ,k , Z 使 函 數(shù) 取 得 最 小 值 的 的 集 合 為y cosx 1,x R x x x 2k ,k , Z 最 大 值 為 1 1 2. 最 小 值

9、 為 1 1 0. 所 以 使 函 數(shù) 取 得 最 大 值 的的 集 合 是 最 大 值 為 3.x x 2k ,k ,2 Zy 3sinx,x Rx x k ,k2 Z（ 2） 函 數(shù) y=sin x， x R取 得 最 大 值 、 最 小 值 時 ，函 數(shù) 則 取 得 最 小 值 、 最 大 值 ，y 3sinx,x R使 函 數(shù) 取 得 最 小 值 的的 集 合 是 ， 最 小 值 為 -3.y 3sinx,x R 2k , 2k (k )2 2 Z3 2k , 2k (k )2 2 Z 2k ,k2 Z 1.對 于 函 數(shù) 與 y=-2sin x,當 x=_時 ， y取 最 大 值 _， 當 x=_時 ， y取 最 小 值 _.2 2k ,k2 Z-2 - 2k ,k2 Z 2.求 下 列 函 數(shù) 的 值 域 : 2k , 2k (k )2 2 Z3 2k , 2k (k )2 2 Z 2k , 2k 1 (k ) Z（ ） 2k-1 ,2k (k ) Z（ ） 1.了 解 周 期 函 數(shù) 的 定 義 .2.知 道 正 弦 函 數(shù) 、 余 弦 函 數(shù) 都 是 周 期 函 數(shù) ， 并 知道 它 的 最 小 正 周 期 為 2.3.理 解 正 弦 函 數(shù) 、 余 弦 函 數(shù) 的 基 本 性 質回 顧 本 節(jié) 課 的 收 獲