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2019-2020年高一數學 4.3任意角的三角函數（第三課時） 大綱人教版必修 ●教學目標 (一)知識目標 1.單位圓的概念; 2.有向線段的概念; 3.正弦線、余弦線、正切線. (二)能力目標 1.理解并掌握單位圓、有向線段的概念; 2.正確利用與單位圓有關的有向線段，將任意角α的正弦、余弦、正切函數值表示出來，即用正弦線、余弦線、正切線表示出來. (三)德育目標 通過三角函數的幾何表示，使學生進一步加深對數形結合思想的理解，拓展思維空間. ●教學重點 正弦、余弦、正切函數值的幾何表示. ●教學難點 正弦、余弦、正切函數值的幾何表示. ●教學方法 講授法 講清楚單位圓的概念，有向線段的概念，本節(jié)內容中的有向線段與坐標軸是平行的，使學生弄清楚線段的正負與坐標軸正反方向之間的對應，以及線段的數量與三角函數值之間的對應.對于理解正弦線、余弦線、正切線是突破難點的關鍵所在. ●教具準備 幻燈片一張：本節(jié)課教案后面的預習提綱. 多媒體課件：課本P14圖4－12，在平面直角坐標系中，作出單位圓，角α的終邊，標出單位圓與角α的終邊的交點P(x，y），過P向x軸作垂線，垂足為M，過點A（1，0）作單位圓的切線與角α的終邊或終邊的反向延長線交于點T(利用現(xiàn)代教育技術手段的優(yōu)勢，邊講述邊作圖，使學生看得清楚，聽得明白). ●教學過程 Ⅰ.課題導入 ［師］上節(jié)課，我們研究了三角函數在各象限內的符號，學習了將任意角的三角函數化成0到360角的三角函數的一組公式，前面還分析討論了三角函數的定義域，這些內容的研究，都是建立在任意角的三角函數定義之上的，這些知識在以后我們繼續(xù)學習“三角”內容時，是經常、反復運用的，請同學們務必在理解的基礎上要加強記憶.由三角函數的定義我們知道，對于角α的各種三角函數我們都是用比值來表示的，或者說是用數來表示的，今天我們再來學習正弦、余弦、正切函數的另一種表示方法——幾何表示法(板書課題) Ⅱ.講授新課 ［師］為了幾何表示的需要，我們先來看單位圓的概念：以原點為圓心，單位長為半徑的圓稱為單位圓.(板書)單位長——如1 cm、1 dm、1m、1 km等等，都是1個單位長，它們的單位雖不同，但長度都是1個單位長.即單位圓的半徑是1(個單位長). （使用多媒體課件，教師邊敘述邊作圖). 在平面直角坐標系內，作單位圓，設任意角α的頂點在原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P(x，y），x軸的正半軸與單位圓相交于A（1，0），過P作x軸的垂線，垂足為M；過A作單位圓的切線，這條切線必平行于y軸(垂直于同一條直線的兩直線平行)，設它與角α的終邊或其反向延長線交于點T. 顯然，線段OM的長度為｜x｜，線段MP的長度為｜y｜，它們都只能取非負值. 當角α的終邊不在坐標軸上時，我們可以把OM、MP都看作帶有方向的線段： 如果x＞0，OM與x軸同向(利用多媒體課件的優(yōu)勢，將①圖、④圖中的OM從O到M運動，讓學生看清楚后再“定格”，運動的方向說明與x軸同向)，規(guī)定此時OM具有正值x；如果x＜0，OM與x軸正向相反(即反向)，(將課件上②圖、③圖中的OM從O到M運動，讓學生看清楚后再“定格”，運動的方向說明與x軸反向)，規(guī)定此時OM具有負值x，所以不論哪一種情況，都有OM＝x. 如果y＞0，把MP看作與y軸同向，規(guī)定此時MP具有正值y；如果y＜0，把MP看作與y軸反向，規(guī)定此時MP具有負值y，所以不論哪一種情況，都有MP＝y(tǒng)(與前面所述相同，談到MP與y軸同向或反向時，仍作從M到P的演示，讓學生觀察)，由上面所述，OM、MP都是帶有方向的線段，這種被看作帶有方向的線段叫做有向線段(板書). 于是，根據正弦、余弦函數的定義，就有 sinα＝＝y(tǒng)＝MP cosα＝＝x＝OM 這兩條與單位圓有關的有向線段MP、OM分別叫做角α的正弦線、余弦線(板書). 類似地，我們把OA、AT也看作有向線段，那么根據正切函數的定義和相似三角形的 知識，就有tanα＝＝AT 這條與單位圓有關的有向線段AT，叫做角α的正切線(板書). 注意：(1)當角α的終邊在y軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存在. (2)當角α的終邊在x軸上時，正弦線、正切線都變成點. (3)正弦線、余弦線、正切線都是與單位圓有關的有向線段，所以作某角的三角函數線時，一定要先作單位圓. (4)線段有兩個端點，在用字母表示正弦線、余弦線、正切線時，要先寫起點字母，再寫終點字母，不能顛倒；或者說，含原點的線段，以原點為起點，不含原點的線段，以此線段與x軸的公共點為起點. (5)三種有向線段的正負與坐標軸正反方向一致，三種有向線段的數量與三種三角函數值相同. 正弦線、余弦線、正切線統(tǒng)稱為三角函數線. Ⅲ.課堂練習 課本P15練習1、2. Ⅳ.課時小結 本節(jié)課我們學習了單位圓的概念，有向線段的定義，正弦線、余弦線、正切線的定義，這三種三角函數線都是一些特殊的有向線段，其之所以特殊，一是其與坐標軸平行(或重合)，二是其與單位圓有關，這些線段分別都可以表示相應三角函數的值，所以說它們是三角函數的一種幾何表示. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P20習題4.3 1、2. （二）1.預習內容 課本P24同角三角函數的關系至例3結束. 2.預習提綱(打出幻燈片) (1)同角三角函數關系式是怎樣得到的? (2)它們的成立有條件嗎?若有，是什么? (3)怎樣記憶同角三角函數的基本關系. (4)同角三角函數的基本關系有哪幾個方面的應用. (5)例1、例2是同一類型嗎?這兩例有區(qū)別嗎?區(qū)別在哪里? ●板書設計 4.3.3 三角函數的一種幾何表示 課題：…… 練習 單位圓的定義. 有向線段的定義. 正弦線、余弦線、正切線的定義. 注意：①… ②… ③… ④… ⑤… 小結