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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 4.6兩角和與差的正弦余弦正切（第六課時） 大綱人教版必修 ●教學(xué)目標(biāo) (一)知識目標(biāo) 1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式； 2.公式：asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)(其中cos＝，sin＝，θ為任意角); (二)能力目標(biāo) 1.熟練掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運用； 2.理解公式：asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)(其中cos＝，sin＝，θ為任意角)； 3.靈活應(yīng)用上述公式解決相關(guān)問題. (三)德育目標(biāo) 1.培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識； 2.提高學(xué)生的思維素質(zhì). ●教學(xué)重點 利用兩角和與差的正、余弦公式將asinθ＋bcosθ形式的三角函數(shù)式化為某一個角的三角函數(shù)形式. ●教學(xué)難點 使學(xué)生理解并掌握將asinθ＋bcosθ形式的三角函數(shù)式化為某一個角的三角函數(shù)形式，并能靈活應(yīng)用其解決一些問題. ●教學(xué)方法 由特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，從而歸納總結(jié)，進(jìn)一步得到一般結(jié)論.(啟發(fā)誘導(dǎo)式) ●教具準(zhǔn)備 幻燈片兩張 第一張：(4.6.6 A) cosθcos＋sinθsin＝cos(θ－) cosθcos－sinθsin＝cos(θ＋) sinθcos＋cosθsin＝sin(θ＋) sinθcos－cosθsin＝sin(θ－) 第二張：(4.6.6 B) 練習(xí)題： 1.求證： (1)sinα＋cosα＝sin(α＋) (2)cosθ＋sinθ＝sin(θ＋) (3)(sinx＋cosx)＝2cos(x－) 2.利用和(差)角公式化簡： (1)sinx＋cosx (2)3sinx－3cosx (3)sinx－cosx (4)sin(－x)＋cos(－x) ●教學(xué)過程 Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 (打出幻燈片4.6.6 A，學(xué)生觀察) ［師］同學(xué)們，觀察這些關(guān)系式，不難看出這是我們前面所推導(dǎo)出的兩角和與差的正余弦公式的倒寫形式.有時，直接利用這種形式可使問題簡化，這節(jié)課，我們就來探討一下它的運用. Ⅱ.講授新課 ［師］首先，我們一起來看這樣一個題目. ［例1］求證cosα＋sinα＝2sin(＋α) ［師］大家可否先試證一下? ［生］(板書)證明：右邊＝2sin(＋α) ＝2(sincosα＋cossinα) ＝2(cosα＋sinα)＝左邊 ［師］(結(jié)合學(xué)生所證，展開講解)由于同學(xué)們對兩角和的正弦公式比較熟悉，所以要證此式容易想到從右邊往左邊推證，只要將右邊按照兩角和的正弦公式展開，化簡便可推出左邊. ［師］也可這樣考慮： 左邊＝cosα＋sinα ＝2(cosα＋sinα) ＝2(sincosα＋cossinα) ＝2sin(＋α)＝右邊 (其中令＝sin，＝cos) ［例2］求證cosα＋sinα＝2cos(－α) 分析：要證此式，可從右邊按照兩角差的余弦公式展開，化簡整理可證此式. 若從左邊推證，則要仔細(xì)分析，構(gòu)造形式 即：左＝cosα＋sinα＝2(cosα＋sinα)＝2(coscosα＋sinsinα)＝2cos(－α) (其中令＝cos，＝sin) ［師］綜合上兩例可看出對于左式cosα＋sinα可化為兩種形式2sin(＋α)或2cos(－α)，右邊的兩種形式均為一個角的三角函數(shù)形式.那么，對于asinα＋bcosα的式子是否都可化為一個角的三角函數(shù)形式呢? ［師］推導(dǎo)公式： asinα＋bcosα＝(sinα＋cosα) 由于()2＋()2＝1 sin2θ＋cos2θ＝1 (1)若令＝sinθ，則＝cosθ ∴asinα＋bcosα＝(sinθsinα＋cosθcosα)＝cos(θ－α) 或原式＝cos(α－θ) (2)若令＝cos，則＝sin ∴asinα＋bcosα ＝(sinαcos＋cosαsin) ＝sin(α＋) 例如：2sinθ＋cosθ＝(sinθ＋cosθ) 若令cos＝，則sin＝ ∴2sinθ＋cosθ＝(sinθcos＋cosθsin) ＝sin(θ＋) 若令＝sinβ，則＝cosβ ∴2sinθ＋cosθ＝(cosθcosβ＋sinθsinβ) ＝cos(θ－β)或原式＝cos(β－θ) 看來，asinθ＋bcosθ均可化為某一個角的三角函數(shù)形式，且有兩種形式. Ⅲ.課堂練習(xí) (打出幻燈片4.6.6 B) ［生］(自練) 練習(xí)題： 1.證明：(1)sinα＋cosα＝sin(α＋) 證法一：左邊＝sinαcos＋cosαsin ＝sin(α＋)＝右邊 證法二：右邊＝sinαcos＋cosαsin ＝sinα＋cosα＝左邊 (2)cosθ＋sinθ＝sin(θ＋) 證法一：左邊＝(cosθ＋sinθ)＝(sincosθ＋cossinθ) ＝sin(θ＋)＝右邊 證法二：右邊＝(sinθcos＋cosθsin) ＝(sinθ＋cosθ) ＝cosθ＋sinθ＝左邊 (3)(sinx+cosx)=2cos(x－) 證法一：左邊＝(sinx＋cosx) ＝2(sinx＋cosx) ＝2(cosxcos＋sinxsin) ＝2cos(x－)＝右邊 證法二：右邊＝2cos(x－) ＝2(cosxcos＋sinxsin) ＝2(cosx＋sinx) ＝(cosx＋sinx)＝左邊 2.解：(1)sinx＋cosx ＝sinxcos＋cosxsin ＝sin(x＋) 或：原式＝sinxsin＋cosxcos＝cos(x－) (2)3sinx－3cosx ＝6(sinx－cosx) ＝6(sinxcos－cosxsin) ＝6sin(x－) 或：原式＝6(sinsinx－coscosx) ＝－6cos(x＋) (3)sinx－cosx＝2(sinx－cosx) ＝2sin(x－) ＝－2cos(x＋) (4)sin(－x)＋cos(－x) ＝［sin(－x)＋cos(－x)］ ＝［sinsin(－x)＋coscos(－x)］ ＝cos［－(－x)］＝cos(x－) 或：原式＝［sin(－x)cos＋cos(－x)sin］ ＝sin［(－x)＋］ ＝sin(－x) Ⅳ.課時小結(jié) ［師］通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，要在熟練掌握兩角和與差的余弦、正弦、正切公式的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)并理解公式：asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋) (其中cos＝，sin＝) mcosα＋nsinα＝cos(α－β) (其中cosβ＝，sinβ＝) 進(jìn)而靈活應(yīng)用上述公式對三角函數(shù)式進(jìn)行變形，解決一些問題. Ⅴ.課后作業(yè) (一)課本P41 7.(1)，(2) 8.(1)~(5). (二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容 課本P39例6 2.預(yù)習(xí)提綱 怎樣分析、解決一些綜合性題目? ●板書設(shè)計 4.6.6 兩角和與差的余弦、正弦、正切(六) 公式及推導(dǎo) 例題 復(fù)習(xí)回顧