2019-2020年高一數(shù)學(xué)圓的一般方程 新課標(biāo) 人教版2.doc
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2019-2020年高一數(shù)學(xué)圓的一般方程 新課標(biāo) 人教版2 學(xué)習(xí)目標(biāo) 主要概念: 圓的一般方程――()。 軌跡方程-----是指點動點M的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式。 教材分析 一、重點難點 本節(jié)教學(xué)重點是掌握圓的一般方程,以及用待定系數(shù)法求圓的一般方程,難點是二元二次方程與圓的一般方程的關(guān)系及求動點的軌跡方程。 二、教材解讀 本節(jié)教材的理論知識有問題提出、探索研究、思考交流三個板塊組成。編寫形式上采用了特殊到一般,由具體到抽象的認(rèn)知方式。 第一板塊 問題提出 解讀 方程表示什么圖形?方程表示什么圖形? 對給出的方程通過配方,化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式,第一個方程為,它表示以(1,-2)為圓心,2為半徑的圓;第二個方程為,由于不存在點的坐標(biāo)滿足這個方程,所以它不表示任何圖形。 第二板塊 探索研究 解讀 方程在什么條件下表示圓? 配方得。(1)當(dāng)時,方程表示以為圓心,為半徑的圓; (2)當(dāng)時,方程表示一個點 ; (3) 當(dāng)時,方程不表示任何圖 形。 關(guān)于的二元二次方程 成為圓方程的充要條件是(1)和的系數(shù)相同且不等于0,即A=C0;(2)沒有這樣的二次項,即B=0;(3) 。 對于圓的一般方程,要熟練地通過配方法,求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑。 根據(jù)已知條件求圓的方程,仍然采用待定系數(shù)法,但要注意的是待定的方程是設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程還是設(shè)一般方程,這要根據(jù)已知條件而定。 第三板塊 思考交流 解讀 1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程各有什么特點? 2、課本P.129例4解完后,問:與例2的方法比較,你有什么體會? 1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特征明顯;圓的一般方程表明圓的方程是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯。圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以相互轉(zhuǎn)化。 2、讓學(xué)生通過對同一個類似問題的兩種解法的比較,一方面加深對解題方法的理解;另一方面促使學(xué)生養(yǎng)成解題后反思的良好習(xí)慣. 拓展閱讀 O P x y 設(shè)圓O的圓心在原點,半徑是,圓O與軸的正半軸的交點是(如圖)。設(shè)點在圓O上從開始按逆時針方向運動到達(dá)點P,。我們看到,點P的位置與旋轉(zhuǎn)角有密切的關(guān)系。當(dāng)確定時,點P在圓O上的位置也隨著確定;當(dāng)變化時,點P在圓O上的位置也隨著變化。如果點P的坐標(biāo)是,根據(jù)三角函數(shù)的定義,點P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是的函數(shù),即 , ① 并且對于的每一個允許值,由方程組①所確定的點P都在圓O上。 我們把方程組①叫做圓心為原點、半徑為的圓的參數(shù)方程,是參數(shù)。 圓心為、半徑為的圓可以看成由圓心為原點O、半徑為的圓按向量平移得到的。 容易求得此圓的參數(shù)方程為 ,(為參數(shù)) ② 相對于圓的參數(shù)方程來說,前面學(xué)過的直接給出圓上點的坐標(biāo)關(guān)系的方程,叫做圓的普通方程。 在圓的有些問題中,借助于圓的參數(shù)方程,能夠使問題變得容易解決。例如:已知實數(shù)滿足等式,求的最值。 解:設(shè),則 = ,∴,∴ ∴的最大值為,最小值為。 網(wǎng)站點擊 典型例題解析 例1:已知方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個圓,求k的取值范圍。 點撥由二元二次方程成為圓方程的條件,得到關(guān)于k的不等式。 解答方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個圓, ∴,解得 ∴當(dāng)時,方程x2+y2+2kx+4y+3k+8=0表示一個圓。 總結(jié)在圓的一般方程中,系數(shù)D、E、F必須滿足。 變式題演練 若(2m2+m-1)x2+(m2-m+2)y2+m+2=0的圖形表示一個圓,則m的值是___。 答案:-3 例2:求經(jīng)過三點A(1,-1)、B(1,4)、C(4,-2)的圓的方程。 點撥利用圓的一般方程,尋找關(guān)于D、E、F的方程組。 解答設(shè)所求圓的方程為, A(1,-1)、B(1,4)、C(4,-2)三點在圓上,代入圓的方程并化簡,得 ,解得D=-7,E=-3,F(xiàn)=2 ∴所求圓的方程為。 總結(jié)待定系數(shù)法是求圓的方程最常見的方法,但是在求圓的方程時是設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程還是設(shè)一般方程,要由已知條件確定。一般地,如果由已知條件易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需要利用圓心坐標(biāo)或半徑列方程,常選用標(biāo)準(zhǔn)方程;如果已知條件與圓心坐標(biāo)、半徑無直接關(guān)系,常選用一般方程。 變式題演練 已知ABC的頂點坐標(biāo)分別是A(1,1)、B(3,1)、C(3,3),求ABC外接圓的方程。 答案:容易發(fā)現(xiàn)ABC 是以AC為斜邊的直角三角形,故ABC外接圓應(yīng)是以AC為直徑的圓,∴ABC外接圓的方程為=0,即。 例3:若實數(shù)滿足,則的最大值是__________。 點撥因為的幾何意義是表示原點到點P(x, y)的距離的平方,而點P(x, y)在圓上,故可利用幾何法先求出原點到圓上的點之間的最大距離,然后再求出的最大值。 解答由,得 ∴點P(x, y)在以(-2,1)為圓心,半徑r=3的圓C上, , ∴原點到圓上的點P(x, y)之間的最大距離為|OC|+r=+3 ∴的最大值為。 總結(jié)反思本題的求解過程可看出:不管點P與圓C的位置關(guān)系怎樣,點P到半徑為r的圓C上的點之間的最大距離恒為|PC|+r。同理可得,點P到半徑為r的圓C上的點之間的最小距離恒為||PC|-r|。 變式題演練 已知點和圓,一束光線從點經(jīng)過軸反射到圓周的最短路程是 ( ) A、 B、 C、 D、 答案:D 例4:已知一曲線是與兩個定點O(0,0)、A(,0)()距離的比為()的點的軌跡,求此曲線的方程,并判斷曲線的形狀。 點撥利用曲線上的任一點到兩個定點的距離之比為,尋找動點橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)滿足的條件。 解答設(shè)M是曲線上的任意一點,點M到點O、A的距離之比為, ∴,化簡,得 且>0,∴ ∴ ∴所求曲線的方程是,它表示一個圓。 總結(jié)1、由本例可知,圓除了看作是平面內(nèi)動點到定點的距離等于定長的點的軌跡外,還可以看作是動點到兩個定點的距離的比為常數(shù)(常數(shù)不為1)的動點的軌跡。 2、“軌跡”與“軌跡方程”是不同的兩個概念,前者是圖形,要指出形狀、位置、大?。ǚ秶┑忍匦?;后者是方程(等式),不僅要給出方程,還要指出變量的取值范圍。 3、在探求點的軌跡時,可先用信息技術(shù)工具探究軌跡的形狀,對問題有一個直觀的了解,然后再從本質(zhì)上分析軌跡形成的原因,找出解決問題的方法,制訂合理的解題策略。 變式題演練 過圓外一點Q向圓O:作割線,交圓于A、B兩點,求弦AB中點M的軌跡。 答案:設(shè)M(x,y),連OM,則OMAB,∴點M的軌跡為以O(shè)Q為直徑的圓,∴弦AB中點M的軌跡方程是=0,即(),∴弦AB中點M的軌跡是圓?。ǎ?。 知識結(jié)構(gòu) 知識點圖表 圓的一般方程二元二次方程成為圓方程的條件圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程的特點 學(xué)法指導(dǎo) 1、用待定系數(shù)法求圓方程的大致步驟是:(1)根據(jù)題意,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程; (2)根據(jù)條件列出關(guān)于或D、E、F的方程組;(3)解出或D、E、F,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。 2、“曲線”和“方程”是動點運動規(guī)律在“形”和“數(shù)”方面的反映。在解析幾何的問題中,求動點的軌跡方程是一種常見題型。求動點的軌跡方程的常用方法有: (1)直接法:應(yīng)用解析幾何中公式,根據(jù)已知條件直接列出動點M的兩個坐標(biāo)之間的等量關(guān)系,從而求得動點的軌跡方程(如例3)。 (2)代入法:已知點P在已知曲線上運動,動點M隨著點P的變化而變化,而點P的坐標(biāo)又可設(shè)法用動點M的坐標(biāo)表示,那么為了要得到動點M的軌跡方程,只需把用M的坐標(biāo)所表示的P點的坐標(biāo)代入已知的曲線方程中,即可求出動點M的軌跡方程(如課本P.129例5)。 (3)定義法:先根據(jù)已知條件判斷動點的軌跡所表示的曲線的類型,再利用已知曲線的方程求出所求動點的軌跡方程。如變式題演練3,因M為圓O的弦AB的中點,故OMAB,因此點M的軌跡是以O(shè)Q為直徑的圓。 (4)參數(shù)法:當(dāng)動點M的兩個坐標(biāo)之間的等量關(guān)系不易直接得到時,可先引進(jìn)一個中間變量(參數(shù))分別表示動點M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo),間接地把動點M的兩個坐標(biāo)聯(lián)系起來,然后消去參數(shù),求得動點M的軌跡方程。例如:過定點P引動直線分別交于A、B兩點,求線段AB中點M的軌跡方程。此題中的動點M是隨著的變化而變化,而又過定點P,故的變化實質(zhì)是由斜率的變化而引起的,所以可引進(jìn)斜率作為參數(shù),用表示出A、B的坐標(biāo),由此用表示出M的坐標(biāo),消去參數(shù)即可得動點M的軌跡方程。答案:。 求動點的軌跡方程時,要做到滿足曲線方程的兩個要求,防止遺留和多余。- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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