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1、第八章 立體幾何
第1講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖
一、選擇題
1. 下列四個(gè)幾何體中,幾何體只有主視圖和左視圖相同的是( )
A.①② B.①③
C.①④ D.②④
解析 由幾何體分析知②④中主視圖和左視圖相同.
答案 D
2.以下關(guān)于幾何體的三視圖的論述中,正確的是 ( ).
A.球的三視圖總是三個(gè)全等的圓
B.正方體的三視圖總是三個(gè)全等的正方形
C.水平放置的正四面體的三視圖都是正三角形
D.水平放置的圓臺(tái)的俯視圖是一個(gè)圓
解析 畫幾何體的三視圖要考慮視
2、角,但對(duì)于球無(wú)論選擇怎樣的視角,其三視圖總是三個(gè)全等的圓.
答案 A
3.將正方體(如圖(a)所示)截去兩個(gè)三棱錐,得到圖(b)所示的幾何體,則該幾何體的側(cè)視圖為 ( ).
解析 還原正方體后,將D1,D,A三點(diǎn)分別向正方體右側(cè)面作垂線,D1A的射影為C1B,且為實(shí)線,B1C被遮擋應(yīng)為虛線.
答案 B
4.若某幾何體的三視圖如圖所示,則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是( ).
解析 A,B的正視圖不符合要求,C的俯視圖顯然不符合要求,答案選D.
答案 D
5.一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形,則原平面四邊形的面積等于(
3、 ).
A.a2 B.2a2 C.a2 D.a2
解析 根據(jù)斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則,可以得出一個(gè)平面圖形的面積S與它的直觀圖的面積S′之間的關(guān)系是S′=S,本題中直觀圖的面積為a2,所以原平面四邊形的面積等于=2a2.故選B.
答案 B
6.一個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示,下面選項(xiàng)中,不可能是該錐體的俯視圖的是 ( ).
解析 選項(xiàng)C不符合三視圖中“寬相等”的要求.
答案 C
二、填空題
7.如圖所示,E、F分別為正方體ABCD-A1B1C1D1的面ADD1A1、面B
4、CC1B1的中心,則四邊形BFD1E在該正方體的面DCC1D1上的投影是________(填序號(hào)).
解析 B在面DCC1D1上的投影為C,F(xiàn)、E在面DCC1D1上的投影應(yīng)分別在邊CC1和DD1上,而不在四邊形的內(nèi)部,故①③④錯(cuò)誤.
答案 ②
8.如圖,網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1,在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖,則這個(gè)多面體最長(zhǎng)的一條棱的長(zhǎng)為________.
解析 (構(gòu)造法)由主視圖和俯視圖可知幾何體是
正方體切割后的一部分(四棱錐C1- ABCD),還原
在正方體中,如圖所示.多面體最長(zhǎng)的一條棱即
為正方體的體對(duì)角線,如圖即AC1.由正方體棱長(zhǎng)
AB=2知最長(zhǎng)棱
5、AC1的長(zhǎng)為2.
答案 2
9.利用斜二測(cè)畫法得到的:
①三角形的直觀圖一定是三角形;
②正方形的直觀圖一定是菱形;
③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形;
④菱形的直觀圖一定是菱形.
以上正確結(jié)論的序號(hào)是________.
解析 由斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知①正確;②錯(cuò)誤,是一般的平行四邊形;③錯(cuò)誤,等腰梯形的直觀圖不可能是平行四邊形;而菱形的直觀圖也不一定是菱形,④也錯(cuò)誤.
答案?、?
10.圖(a)為長(zhǎng)方體積木塊堆成的幾何體的三視圖,此幾何體共由________塊木塊堆成;圖(b)中的三視圖表示的實(shí)物為________.
圖(a) 圖(b)
6、解析 (1)由三視圖可知從正面看到三塊,從側(cè)面看到三塊,結(jié)合俯視圖可判斷幾何體共由4塊長(zhǎng)方體組成.
(2)由三視圖可知幾何體為圓錐.
答案 4 圓錐
三、解答題
11.如下的三個(gè)圖中,上面的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖,它的主視圖和左視圖在下面畫出(單位:cm).
(1)在主視圖下面,按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖;
(2)按照給出的尺寸,求該多面體的體積;
解 (1)如圖.
(2)所求多面體的體積
V=V長(zhǎng)方體-V正三棱錐=446-2
=(cm3).
12.已知圓錐的底面半徑為r,高為h,且正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)接
7、于圓錐,求這個(gè)正方體的棱長(zhǎng).
解 如圖所示,過(guò)內(nèi)接正方體的一組對(duì)棱作圓錐的軸截面,設(shè)圓錐內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為x,則在軸截面中,正方體的對(duì)角面A1ACC1的一組鄰邊的長(zhǎng)分別為x和x.∵△VA1C1∽△VMN,
∴=,∴x=.
即圓錐內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為.
13.正四棱錐的高為,側(cè)棱長(zhǎng)為,求側(cè)面上斜高(棱錐側(cè)面三角形的高)為多少?
解 如圖所示,在正四棱錐S-ABCD中,
高OS=,側(cè)棱SA=SB=SC=SD=,
在Rt△SOA中,
OA==2,∴AC=4.
∴AB=BC=CD=DA=2.
作OE⊥AB于E,則E為AB中點(diǎn).
連接SE,則SE即為斜高,
在Rt△SOE中,∵OE
8、=BC=,SO=,
∴SE=,即側(cè)面上的斜高為.
14. (1)如圖1所示的三棱錐的三條側(cè)棱OA、OB、OC兩兩垂直,那么該三棱錐的側(cè)視圖是圖2還是圖3?
(2)某幾何體的三視圖如圖4,問(wèn)該幾何體的面中有幾個(gè)直角三角形?
(3)某幾何體的三視圖如圖5,問(wèn)該幾何體的面中有幾個(gè)直角三角形?
解 (1)該三棱錐在側(cè)(右)投影面上的投影是一直角三角形,該三棱錐的側(cè)視圖應(yīng)是圖2.
(2)該幾何體是三棱錐,其直觀圖如圖所示,其中OA、OB、OC兩兩垂直,
∴△OAB、△OAC、△OBC都是直角三角形,但△ABC是銳角三角形.設(shè)AO=a,OC=c,OB=b,則AC=,BC=,AB=,∴cos∠BAC=>0,∴∠BAC為銳角.同理,∠ABC、∠ACB也是銳角.
綜上所述,該幾何體的面中共有三個(gè)直角三角形.
(3)該幾何體是三棱錐,其直觀圖如圖所示,其中,AB⊥BC,AB⊥BD,BD⊥CD,∴DC⊥面ABD,∴DC⊥AD,
∴△ACD也是直角三角形.
∴該幾何體的面中共有四個(gè)直角三角形.