2019-2020年高中數(shù)學(xué) 1.1 空間幾何體 1.1.3 圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球自我小測(cè) 新人教B版必修2 1．若A，B為球面上相異兩點(diǎn)，則通過A，B所作的大圓有(　　) A．1個(gè) B．無數(shù)個(gè) C．一個(gè)也沒有 D．1個(gè)或無數(shù)個(gè) 2．下列命題中錯(cuò)誤的是(　　) A．以矩形一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫作圓柱 B．以直角三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體叫作圓錐 C．以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體叫作圓錐 D．以等腰三角形的底邊上的高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面圍成的幾何體叫作圓錐 3．上、下底面面積分別為36π和49π，母線長為5的圓臺(tái)，其兩底面之間的距離為(　　) A．4 B． C． D． 4．頂點(diǎn)在同一球面上的正四棱柱ABCDA′B′C′D′中，AB＝1，AA′＝，則A，C兩點(diǎn)間的球面距離為(　　) A． B． C．π D．π 5．在圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正三棱錐，過一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖形是(　　) 6．如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的軸截面對(duì)應(yīng)的等腰三角形的底角是(　　) A．30 B．45 C．60 D．90 7．已知OA為球O的半徑，過OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M．若圓M的面積為3π，則球O的半徑等于__________． 8．某地球儀上北緯30緯線的長度為12π cm，則該地球儀的半徑是__________cm． 9．如圖所示，圓柱OO′的底面半徑為2 cm，高為4 cm，且P為母線B′B的中點(diǎn)，∠AOB＝120，則一只螞蟻從A點(diǎn)沿圓柱表面爬到P點(diǎn)的最短路程為__________． 10．如圖所示組合體是由哪些幾何體組成的？ 11．軸截面為正三角形的圓錐叫做等邊圓錐．已知某等邊圓錐的軸截面面積為，求該圓錐的底面半徑、高和母線長． 12．設(shè)地球的半徑為R，在北緯45緯線圈上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，A在西經(jīng)40經(jīng)線上，B在東經(jīng)50經(jīng)線上，求A，B兩點(diǎn)間緯線圈的劣弧長及A，B兩點(diǎn)間的球面距離． 參考答案 1．解析：(1)若A，B兩點(diǎn)的連線經(jīng)過球心O，則經(jīng)過A，B的大圓有無數(shù)個(gè)；(2)若A，B兩點(diǎn)的連線不經(jīng)過球心O，由立體幾何知識(shí)知，不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，O確定一個(gè)圓，此時(shí)大圓只有一個(gè)． 答案：D 2．解析：直角三角形繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)才能形成圓錐，如果繞其斜邊旋轉(zhuǎn)則形成的是兩個(gè)圓錐的組合體． 答案：B 3．解析：圓臺(tái)的母線長l、高h(yuǎn)和上、下兩底面圓的半徑r，R滿足關(guān)系式l2＝h2＋(R－r)2，求得h＝，即兩底面之間的距離為． 答案：D 4．解析：如圖所示，設(shè)球的半徑為R，則有R＝＝1，連接AC，連接AC′與A′C交于點(diǎn)O，則O為外接球的球心． 在△AOC中，AO＝OC＝1，AC＝，所以∠AOC＝90． 所以A，C兩點(diǎn)間的球面距離為＝． 答案：B 5．答案：D 6．解析：設(shè)圓錐的底面半徑是r，母線長是l．如圖所示，2πr＝πl(wèi)， 所以2r＝l，所以＝． 所以軸截面對(duì)應(yīng)的等腰三角形的頂角為60，因此底角為60． 答案：C 7．解析：因?yàn)閳AM的面積為3π， 所以圓M的半徑r＝． 設(shè)球的半徑為R，由圖可知，R2＝＋3， 所以R2＝3．所以R2＝4．所以R＝2． 答案：2 8．解析：設(shè)地球儀上北緯30緯線所在圓的半徑為rcm，則有2πr＝12π． 所以r＝6(cm)． 設(shè)地球儀的半徑為R cm，則＝cos30＝． 所以R＝(cm)． 答案： 9．解析：將圓柱側(cè)面沿母線A′A剪開展開成平面圖，如圖所示，則易知最短路程為平面圖中線段AP的長． 在Rt△ABP中，AB＝4π＝(cm)，PB＝2cm， 所以AP＝＝(cm)． 即這只螞蟻從A點(diǎn)沿圓柱表面爬到P點(diǎn)的最短路程為cm． 答案：cm 10．解：(1)正三棱柱內(nèi)挖去一個(gè)圓柱． (2)圓錐挖去一個(gè)圓柱． 11．解：如圖為等邊圓錐的軸截面，設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l，則在軸截面△SAB中，有OB＝r，SO＝h，SB＝l，且∠SBO＝60． 在Rt△SOB中，h＝，l＝2r，所以S△SAB＝ABSO＝rh＝， 根據(jù)題意得＝，解得r＝1， 所以l＝2r＝2，h＝＝． 即該圓錐的底面半徑為1，高為，母線長為2． 12．解：如圖所示，設(shè)45緯線圈中心為O1，地球中心為O，則∠AO1B＝40＋50＝90． 又因?yàn)镺O1⊥⊙O1所在平面，所以O(shè)O1⊥O1A，OO1⊥O1B． 又因?yàn)辄c(diǎn)A，B在北緯45緯線圈上，所以∠OBO1＝∠OAO1＝45． 所以O(shè)1A＝O1B＝O1O＝OAcos 45＝R． 在Rt△AO1B中，因?yàn)锳O1＝BO1， 所以AB＝AO1＝R．所以△AOB為等邊三角形．所以∠AOB＝60． 所以在45緯線圈上，A，B兩點(diǎn)間緯線圈的劣弧長為AO1＝R＝． 在球面上，A，B兩點(diǎn)間的球面距離的長為AO＝R(此時(shí)是大圓上的一段劣弧長)． 所以A，B兩點(diǎn)間緯線圈的劣弧長為，A，B兩點(diǎn)間的球面距離為．